게르스텐하버 대수

수학과 이론 물리학에서 게르스텐하버 대수(항균 대수 또는 브레이드 대수라고도 함)는 머레이 게르스텐하버(1963년)가 발견한 대수 구조로, 슈퍼커트 링과 등급이 매겨진 리 초알제브라 구조를 결합한 것이다.바탈린-빌코비스키 형식주의에서 사용된다.그것은 드 돈더-로 알려진 해밀턴식 형식주의의 일반화에도 나타난다.Weyl 이론은 미분양식에 정의된 일반화된 포아송 대괄호들의 대수다.

정의

게르스텐하버 대수는 포아송 정체성을 만족하는 정도 -1의 Lie 괄호를 가진 단계별 계산 대수다.모든 것이 일반적인 초거대 사인 규약을 만족시키기 위해 이해된다.더 정확히 말하면 대수학에는 두 가지 제품이 있는데, 하나는 보통 곱으로 쓰고 하나는 [,]로 쓴 것이고, 다른 하나는 도라고 하는 Z 그라데이션(이론 물리학에서는 때때로 유령 번호라고 부른다)이 있다.원소 a의 정도는 가 나타낸다.이것들은 정체성을 만족시킨다.

• ab = a + b(제품의 도 0)
• [a,b] = a + b - 1 (거짓말 괄호는 도 -1)
• (ab)c = a(BC) (제품은 연관성이 있음)
• ab = (-1) ^{a b} ba(제품은 (슈퍼) 정류)
• [a,bc] = [a,b]c + (-1)^{( a −1) b} b[a,c](Poisson ID)
• [a,b] = -(1)^{( a −1)( b −1)} [b,a] (리 브래킷의 비대칭)
• [a,[b,c] = [a,b],c] + (-1)[^{( a −1)( b −1)}b,[a,c] (거짓말괄호에 대한 자코비 아이덴티티)

게르스텐하버 알제브라는 푸아송 슈퍼알제브라와 다른 점이 있는데, 이는 리 브라켓이 도 0이 아니라 도 -1을 가지고 있다는 점이다.자코비 정체성은 대칭적인 형태로도 표현될 수 있다.

${\displaystyle(-1)^{(-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(b -1)}[b,[c,a]]+(1)^{(c -1)}[c, [a,b]=0.7,}$

예

• 게르스텐하버는 대수 A의 호치차일드 코호몰로지 H^*(A,A)가 게르스텐하버 대수라는 것을 보여주었다.
• 바탈린-빌코비스키 대수에는 두 번째 순서 Δ 연산자를 잊어버린 경우, 게르스텐하버 대수학(Gerstenhaber 대수학)이 있다.
• 리 대수학의 외부 대수학은 게르스텐하버 대수학이다.
• 포아송 다지관의 미분형은 게르스텐하버 대수학을 형성한다.
• 다지관의 멀티플렉터 장은 슈텐-니젠후이스 브래킷을 사용하여 게르스텐하버 대수를 형성한다.

참조

• Gerstenhaber, Murray (1963). "The cohomology structure of an associative ring". Annals of Mathematics. 78 (2): 267–288. doi:10.2307/1970343. JSTOR 1970343.
• Getzler, Ezra (1994). "Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories". Communications in Mathematical Physics. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th/9212043. Bibcode:1994CMaPh.159..265G. doi:10.1007/BF02102639.
• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2001) [1994], "Poisson algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kanatchikov, Igor V. (1997). "On field theoretic generalizations of a Poisson algebra". Reports on Mathematical Physics. 40 (2): 225–234. arXiv:hep-th/9710069. Bibcode:1997RpMP...40..225K. doi:10.1016/S0034-4877(97)85919-8.