아라카와-카네코 제타 함수

수학에서 아라카와-카네코 제타 함수는 리만 제타 함수의 일반화로서 다로그리템 함수의 특별한 값을 생성한다.

정의

제타 함수 ${\displaystyle {\xi k}_{}s}$) ${\displaystyle \xi _{k}s}$은(는) 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle \xi _{k}={\frac {1}{\감마(s)}\int _{0}^{0}{t^{s-1}:1}}\frac {t^{{t}-1}\mathrm {Li} _{k}(1-e^{-t}}), dt\}}}}}}}$

여기서 Li는_k k번째 다각측량이다.

${\displaystyle \mathrm {Li} _{k}(z)=\sum _{n=1}^{n=1}{n^{n}}{n^{k}\}}$

특성.

() > ${\displaystyle \Re (s)>0}$ 및 ${\displaystyle {\xi }_{}}$k (${\displaystyle s)}${\$displaystyle \xi _{k}}}$의 통합 수렴은 전체 함수로 전체 복합 평면에 대한 분석적 연속성을 가진다.

특수 케이스 k = 1은 $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (s}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \xi _{1}(s)=s\zeta(s+1)$을 부여하며, 여기서$$ $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta}$은 리만 제타 기능이다.

특수 케이스 s = ${\displaystyle 1}$은 또한 ${\displaystyle {\xi }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \zeta }$( k${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$)$\displaystyle \xi _{k}(1)=\zeta (k+1)$을 주는데 여기서$$ $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$은 리만 제타 기능이다.

정수의 값은 다음과 같은 방법으로 다중 제타 함수 값과 관련된다.

${\displaystyle \xi _{k}(m)=\zeta _{m}^{*}(k,1,\ldots ,1)}$

어디에

${\displaystyle \zeta _{n}^{*}(k_{1},\dots ,k_{n-1},k_{n})=\sum _{0<m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{n}}{\frac {1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{n-1}^{k_{n-1}}m_{n}^{k_{n}}}}\ .}$

참조

• Kaneko, Masanobou (1997). "Poly-Bernoulli numbers". J. Théor. Nombres Bordx. 9: 221–228. Zbl 0887.11011.
• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999). "Multiple zeta values, poly-Bernoulli numbers, and related zeta functions". Nagoya Math. J. 153: 189–209. MR 1684557. Zbl 0932.11055.
• Coppo, Marc-Antoine; Candelpergher, Bernard (2010). "The Arakawa–Kaneko zeta function". Ramanujan J. 22: 153–162. Zbl 1230.11106.