아르틴-테이트 보조정리

대수학에서 에밀 아르틴과 존 테이트의 이름을 딴 아르틴-테이트 보조정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.^[1]

A를 정류자 노메트리안 링으로 ${\displaystyle \mathrm{하고}}$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ C ${\displaystyle B\subset C}$의 정류자 알헤브라가 A 위에 있도록 한다.C가 A보다 유한한 유형이고 C가 B보다 유한한 경우 B는 A보다 유한한 유형이다.

(여기서 "유한 유형의"은 "완료 생성된 대수"를 의미하고, "완료된"은 "완료 생성된 모듈"을 의미한다.)보조정리기는 E에 의해 도입되었다.아르틴과 J.1951년^[2] 힐버트의 Nullstellensatz에 대한 증거를 제시하기 위해 테이트.

보조정리법은 C가 B보다 유한하고 C가 노메테리아 고리라면 B는 노메테리아 고리라고 하는 에킨-나가타 정리와 비슷하다.

증명

다음 증거는 아티야-맥도날드에서 찾을 수 있다.^[3]Let ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ generate ${\displaystyle C}$ as an ${\displaystyle A}$-algebra and let ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ generate ${\displaystyle C}$ as a ${\displaystyle B}$-module.그러면 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\descript {\text{and}}\data.y_{j}y}=\sum _{k}b_{ijk}y}y_{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}\sum}$

with ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B}$. Then ${\displaystyle C}$ is finite over the ${\displaystyle A}$-algebra ${\displaystyle B_{0}}$ generated by the ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}}$. Using that ${\displaystyle A}$ and hence ${\$$displaystyle B_{0}}$ is Noetherian, also ${\displaystyle B}$ is finite over ${\displaystyle B_{0}}$. Since ${\displaystyle B_{0}}$ is a finitely generated ${\displaystyle A}$-algebra, also ${\displaystyle B}$ is a finitely generated ${\displaystyle A}$-algebra.

노메테리아 필요

A가 노메테리아인이라는 가정이 없다면 아르틴-테이트 보조정리부의 진술은 더 이상 사실이 아니다.실제로, 노메테리아 링 A가 아닌 모든 링에 대해, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 ${\displaystyle (,x}$) ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle b}$ x${\displaystyle }$+ $){\displaystyle (a,x)(b,y)=(ab,bx+ay$을 선언함으로써${\displaystyle }$C = ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystystyle$ C=$A\oplus A}$에 A-algebra 구조를 정의할 수 있다.그런 다음 미세하게 생성되지 않은$$ ${\displaystyle \mathrm{이상}}$ I ${\displaystyle \subset }$ A ${\displaystyle$I\$subset A}$에 대해 $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle B}$ ${\a\oplus$I\$subset$ C$$$}$은 A에 대해 유한한 유형이 아니지만 보조정리에서와 같은 모든 조건이 충족된다.

참조

외부 링크

• http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma