오류 분석(수학)

수학에서 오류 분석은 문제에 대한 해결책에 존재할 수 있는 오류의 종류와 수량, 또는 불확실성에 대한 연구다. 이 문제는 수치 분석과 통계와 같은 적용 분야에서 특히 두드러진다.

수치모델링의 오류해석

실제 시스템의 수치 시뮬레이션 또는 모델링에서, 오류 분석은 모델에 대한 매개변수가 평균에 따라 달라짐에 따라 모델의 출력 변화와 관련이 있다.

예를 들어, 시스템에서 두 $z\,=\,f(x,y).$ z = $z\,=\,f(x,y).$ ( $z\,=\,f(x,y).$ , $z\,=\,f(x,y).$ ) . $displaystyle z\,=\,f(x,y$ )의 함수로 모델링 $.$ x{\displaystyle)}의 수치 오류의 전파와 y{이\displaystyle}(평균 가치를)¯{\displaystyle{\bar{x}}}와 y¯{\displaystyle{\bar{y}}})은 z{z\displaystyle}(비열한 z에 ¯{\displaystyle{\bar{z}}})에 아무렇게나 흔들면 저에}오류 분석을 다룬다.[1]

수치 분석에서 오류 분석은 전방 오류 분석과 후방 오류 분석으로 구성된다.

전달오류분석

Forward error analysis involves the analysis of a function $z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})$ which is an approximation (usually a finite polynomial) to a function $z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})$ to d근사치의 오차에 대한 한계에 대한 etermine. 즉, $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ - z $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ . ${\displaystyle$ 0 $\,\leq$ \, $z-z' \,\leq \,\epsilon$ $}$ 과 $\epsilon$ 같은 ${\\\displaystystyle$ ^[2] $\}$ 를 찾으려면 검증된 숫자로 전진 오차의 평가가 필요하다 $0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .$ .

역오차분석

Backward error analysis involves the analysis of the approximation function $z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),$ to determine the bounds on the parameters $a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}$ $a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}$ 결과 $z'\,=\,z.$ $z'\,=\,z.$ = $z'\,=\,z.$ ${\displaystyle$ z $'\,=\,z.}$

제임스 H에 의해 개발되고 대중화된 이론인 역오류 분석. Wilkinson은 수치 함수를 구현하는 알고리즘이 수치적으로 안정적이라는 것을 입증하는 데 사용될 수 있다.^[4] 기본적인 접근방식은 반올림 오류로 인해 계산된 결과가 정확하게 정확하지는 않지만, 약간 혼란스러운 입력 데이터가 있는 인근 문제에 대한 정확한 해결책임을 보여주는 것이다. 필요한 섭동이 입력 데이터의 불확실성 순서에 따라 작을 경우, 결과는 어떤 의미에서 데이터 "예비"만큼 정확하다. 그런 다음 알고리즘은 후진 안정성으로 정의된다. 안정성은 주어진 숫자 절차의 반올림 오류에 대한 민감도의 측정이다. 반대로, 주어진 문제에 대한 함수의 조건 번호는 입력의 작은 섭동에 대한 함수의 고유 민감도를 나타내며, 문제를 해결하기 위해 사용되는 구현과는 무관하다.^[5]

적용들

위성위치확인시스템

위성 위치 확인 시스템을 사용하여 계산된 오류의 분석은 GPS의 작동 방식을 이해하고 예상되는 크기의 오류를 파악하는데 중요하다. 위성위치확인시스템은 수신기 시계 오류 및 기타 효과에 대해 보정을 하지만 여전히 수정되지 않은 잔여 오류가 있다. 위성위치확인시스템(GPS)은 1970년대 미국 국방부(DOD)가 만들었다. 그것은 미군과 일반 대중 모두에게 항해에 널리 이용되게 되었다.

분자역학 시뮬레이션

분자역학(MD) 시뮬레이션에서는 위상 공간의 부적절한 샘플링이나 간헐적으로 발생하는 사건 때문에 오류가 발생하는데, 이는 측정값의 무작위 변동으로 인한 통계적 오류로 이어진다.

변동 속성 $A$ 의 일련의 $M$ 측정의 경우, 평균값은 다음과 같다.

\langle A\angle ={\frac {1}{M}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }}

이러한 $M$ 측정값이 독립적일 때 평균 $⟨ A ⟩$ 의 분산은 다음과 같다.

\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}\sigma ^{2}(A),

그러나 대부분의 MD 시뮬레이션에서 수량 A $사이$ 에는 서로 다른 시기에 상관관계가 있으므로, 유효 독립 측정 횟수가 실제로 $M$ 보다 적기 때문에 평균 $⟨ A ⟩$ 의 분산이 과소평가될 것이다. 그러한 상황에서 우리는 다음과 같이 분산을 재작성한다.

\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{1}{M}\sigma ^{2}A\좌측[1+2\sum _{\mu{M}\우측)\phi _{{\mu }}}}}}}}}}}}

여기서 $\phi _{\mu }$ $\phi _{\mu }$ ${\$ 은 $\phi_{\mu}$ (는) 에 의해 정의된 자기 상관 함수임

\phi _{\mu }={\langle A_{0}\langle -\langle A\rangele ^{2}}:{\langle A^{2}\langle -\langle A\angle ^{2}}.

그런 다음 자동 상관 함수를 사용하여 오류 막대를 추정할 수 있다. 다행히도, 우리는 블록 평균을 바탕으로 한 훨씬 더 간단한 방법을 가지고 있다.^[6]

과학적 데이터 검증

측정은 일반적으로 오차의 양이 적으며, 동일한 항목을 반복적으로 측정하면 일반적으로 판독치에 약간의 차이가 발생한다. 이러한 차이는 분석될 수 있으며, 알려진 수학적 및 통계적 특성을 따를 수 있다. 일련의 데이터가 가설(즉, 그러한 측정에서 일반적으로 발생할 수 있는 오류의 양이 나타나지 않는 경우)에 너무 충실한 것으로 보이면 데이터가 위조되었을 수 있다는 결론을 도출할 수 있다. 오류 분석만으로는 일반적으로 데이터가 위조 또는 조작되었음을 입증하기에 충분하지 않지만, 위법 의혹을 확인하는 데 필요한 근거 자료를 제공할 수 있다.

참고 항목

참조

^ James W. Haefner (1996). Modeling Biological Systems: Principles and Applications. Springer. pp. 186–189. ISBN 0412042010.
^ 터커, W. (2011년) 검증된 숫자: 엄격한 계산에 대한 간략한 소개. 프린스턴 대학 출판부.
^ Francis J. Scheid (1988). Schaum's Outline of Theory and Problems of Numerical Analysis. McGraw-Hill Professional. pp. 11. ISBN 0070552215.
^ James H. Wilkinson; Anthony Ralston(ed); Edwin D. Reilly(ed); David Hemmendinger(ed) (8 September 2003). "Error Analysis" in Encyclopedia of Computer Science. pp. 669–674. Wiley. ISBN 978-0-470-86412-8. Retrieved 14 May 2013. {{cite book}}: author2= 일반 이름 포함(도움말)
^ Bo Einarsson (2005). Accuracy and reliability in scientific computing. SIAM. pp. 50–. ISBN 978-0-89871-815-7. Retrieved 14 May 2013.
^ D. C. 라파포트, 케임브리지 대학 출판부의 분자역학 시뮬레이션 기술.

외부 링크

[1] 오류 분석에 관한 모든 것.

[1] James W. Haefner (1996). Modeling Biological Systems: Principles and Applications. Springer. pp. 186–189. ISBN 0412042010.

[2] 터커, W. (2011년) 검증된 숫자: 엄격한 계산에 대한 간략한 소개. 프린스턴 대학 출판부.

[3] Francis J. Scheid (1988). Schaum's Outline of Theory and Problems of Numerical Analysis. McGraw-Hill Professional. pp. 11. ISBN 0070552215.

[RalstonReilly2003-4] James H. Wilkinson; Anthony Ralston(ed); Edwin D. Reilly(ed); David Hemmendinger(ed) (8 September 2003). "Error Analysis" in Encyclopedia of Computer Science. pp. 669–674. Wiley. ISBN 978-0-470-86412-8. Retrieved 14 May 2013. {{cite book}}: author2= 일반 이름 포함(도움말)

[Einarsson2005-5] Bo Einarsson (2005). Accuracy and reliability in scientific computing. SIAM. pp. 50–. ISBN 978-0-89871-815-7. Retrieved 14 May 2013.

[6] D. C. 라파포트, 케임브리지 대학 출판부의 분자역학 시뮬레이션 기술.

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