재귀 베이시안 추정

확률론, 통계학, 기계학습에서 베이지스 필터라고도 하는 재귀적 베이지안 추정은 들어오는 측정과 수학적 프로세스 모델을 사용하여 시간에 따라 알 수 없는 확률밀도함수(PDF)를 재귀적으로 추정하기 위한 일반적인 확률론적 접근법이다. 이 과정은 베이지안 통계로 알려진 이전과 후방의 확률 연구 내에서 이론화된 수학적 개념과 모델에 크게 의존한다.

로봇공학에서

베이즈 필터는 로봇의 위치와 방향을 유추할 수 있도록 다중 믿음의 확률을 계산하기 위해 컴퓨터 공학에서 사용되는 알고리즘이다. 기본적으로 Bayes 필터는 가장 최근에 획득한 센서 데이터를 기반으로 로봇이 좌표계 내에서 가장 가능성이 높은 위치를 지속적으로 업데이트할 수 있도록 한다. 이것은 재귀 알고리즘이다. 예측과 혁신의 두 부분으로 구성된다. 변수가 정규 분포를 따르고 전환이 선형이면 베이즈 필터는 칼만 필터와 동일해진다.

간단한 예에서, 그리드 전체로 이동하는 로봇은 주변 환경에 대한 정보를 제공하는 여러 가지 다른 센서를 가질 수 있다. 로봇이 제자리(0,0)에 있다는 확신을 가지고 시작할 수 있다. 그러나 원래 위치에서 점점 멀어질수록 로봇은 위치에 대한 확률을 지속적으로 낮출 수 있다. 베이즈 필터를 사용하면 현재 위치에 대한 로봇의 믿음에 확률을 할당할 수 있으며, 추가 센서 정보를 통해 그 확률을 지속적으로 업데이트할 수 있다.

모델

참 상태 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) 관찰되지 않은 마르코프 프로세스로 가정하며, $측정{\displaystyle }$ z ${\displaystyle z}$은(는) HMM(Hidden Mar코프 모델)의 관측치. 다음 그림은$$ HMM의 베이지안 네트워크를 나타낸다.

마르코프 가정 때문에, 바로 앞의 것이 주어진 현재의 참 상태의 확률은 다른 이전의 주들과 조건부로 독립적이다.

${\displaystyle p({\textbf {x}_{k-1}{\textbf {x}}{x-1}{\textbf {x}},\textbf {x}},\textbf {x}{0}}=pp\textbf {x}{x}}{x_{k-1}}}}}}}}}$

마찬가지로 k-th timestep에서의 측정은 현재 상태에만 의존하므로 현재 상태가 주어진 다른 모든 상태와는 조건부로 독립적이다.

${\displaystyle p({\textbf {z}_{k}{\textbf {x}_{k}{\textbf{x-1}, {\textbf{x-1}, {\textbf {z}}{x}}}, {\textbf {x}}}}, {\textbf}}$

이러한 가정을 사용하여 HMM의 모든 상태에 대한 확률 분포를 간단하게 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k},{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{k})=p({\textbf {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\textbf {z}}_{i} {\textbf {x}}_{i})p({\textbf {x}}_{i} {\textbf {x}}_{i-1}).}$

그러나 상태 x를 추정하기 위해 Kalman 필터를 사용하는 경우, 관심 확률 분포는 현재 시간 단계까지 측정에서 조건화된 현재 상태와 연관된다. (이것은 이전 상태를 배제하고 측정 세트의 확률로 나누어 달성된다.)

이는 Kalman 필터의 예측 및 업데이트 단계를 확률적으로 작성하도록 유도한다. 예측 상태와 관련된 확률 분포는 $가능$한 모든 x k -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 걸쳐 (k - 1)-th timestep에서 k-th로 전환과 관련된 확률 분포의 곱(통합)이다$.$

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k} {\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {x}}_{k} {\textbf {x}}_{k-1})p({\textbf {x}}_{k-1} {\textbf {z}}_{1:k-1})\,d{\textbf {x}}_{k-1}}$

업데이트의 확률 분포는 측정 우도 및 예측 상태의 산물에 비례한다.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k} {\textbf {z}}_{1:k})={\frac {p({\textbf {z}}_{k} {\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k} {\textbf {z}}_{1:k-1})}{p({\textbf {z}}_{k} {\textbf {z}}_{1:k-1})}}\propto p({\textbf {z}}_{k} {\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k} {\textbf {z}}_{1:k-1})}$

분모

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k} {\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {z}}_{k} {\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k} {\textbf {z}}_{1:k-1})d{\textbf {x}}_{k}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$에 대해 일정한 값을 가지므로, 실제로 무시할 수 있는 계수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \ $}$을(를) 항상 대체할 수 있다$.$ 분자는 통합이어야 하기 때문에 계산된 다음 간단히 정규화할 수 있다.

적용들

• 다변량 정규 분포를 위한 재귀적 베이지안 필터인 Kalman 필터
• 미립자 필터, 순차 몬테카를로(SMC) 기반 기법, 이산형 포인트 세트를 사용하여 PDF를 모델링함
• PDF를 결정론적 이산형 그리드로 세분화하는 그리드 기반 추정기

순차 베이지안 필터링

순차적 베이지안 필터링은 관찰된 값이 시간에 따라 변하는 경우에 대한 베이지안 추정을 확장한 것이다. 시간에 따라 진화하는 관측 변수의 실제 값을 추정하는 방법이다.

메서드의 이름은 다음과 같다.

필터링

과거 및 현재 관측치가 주어진 현재 값을 추정할 때,

평활화

과거 및 현재 관측치가 주어진 과거 값을 추정할 때

예측

과거 및 현재 관측치가 주어진 예상 미래 가치를 추정할 때

순차적 베이지안 필터링의 개념은 제어와 로봇공학에서 광범위하게 사용된다.

외부 링크

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• Särkkä, Simo (2013). Bayesian Filtering and Smoothing (PDF). Cambridge University Press.