베넷의 부등식

확률론에서, 베넷의 불평등은 독립 랜덤 변수의 합이 어떤 특정한 양보다 더 기대값에서 벗어날 확률에 상한을 제공한다.베넷의 불평등은 1962년 뉴사우스웨일스 대학의 조지 베넷에 의해 증명되었다.^[1]

성명서

X₁, …X는_n 분산이 유한한 독립 랜덤 변수로서 (단순하지만 일반성의 상실이 없는 경우) 모두 0의 기대값을 갖는다고 가정한다.Further assume X_i ≤ a almost surely for all i, and define ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})}$ and ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2}).$$}$ 그러면$$ t ≥ 0에 대해

${\displaystyle \Pr \왼쪽(S_{n}}>t\오른쪽)\leq \exp \left(-{\frac {\sigma ^{2}}:{a^{2}}:h}왼쪽({\frac {at}{\sigma ^}\rig)\rig)\rig)}$

여기서 h(u) = (1 + u)log(1 + u) – u.^[2][3]

일반화 및 기타 한계와의 비교

일반화는 프리드먼(1975년)과 팬, 그라마, 류(2012년)^[4][5]가 각각 베넷의 불평등과 그 개선을 마팅게일 버전으로 본다.

호프딩의 불평등은 총계가 거의 확실히 제한되어 있다고 가정할 뿐이고, 베넷의 불평등은 총계의 분산이 거의 확신에 찬 한계와 비교하여 작을 때 약간의 개선을 제공한다.그러나 호프딩의 불평등은 가우스 이하의 꼬리를 수반하는 반면, 베넷의 불평등은 일반적으로 푸아소니아 꼬리를 가지고 있다.^{[citation needed]}

베넷의 불평등은 번스타인의 불평등과 가장 유사하며, 그 중 첫 번째 불평등 역시 분산적인 면에 집중을 주고 있으며 개별적인 면에 거의 구속되어 있다.베넷의 불평등은 이 구속보다 강하지만 계산하기가 더 복잡하다.^[3]

두 불평등에서, 다른 불평등이나 제한적 이론과는 달리, 성분 변수가 동일하거나 유사한 분포를 갖는다는 요구사항은 없다.^{[citation needed]}

예

각 X가_i 확률 p를 갖는 독립 이항 랜덤 변수라고 가정합시다.그러자 베넷의 불평등은 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n_{n}>pn+t\right)\leq \exp \left(-nph\왼쪽)({\frac {t}{np}\오른쪽)\right)).}$

$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \mathrm{10n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t\$${\displaystyle geq\frac{}{}}$ $10np$ $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{t}{}}$)${\displaystyle t\frac{}{}}$ ${\displaystyle \log \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2n}{}}$ ${\displaystyle h({\frac {t}{np}})\geq {\frac$ {$2np}\log {\$frac ${t}{np$}}}, 따라서$$$?$

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n_{i}}>pn+t\right)\leq \left({\frac {t}{np}\right)^{-t/2}}$

$t{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle \mathrm{10n}}$ $[\displaystyle t\geq 10np}$의 경우$.$

By contrast, Hoeffding's inequality gives a bound of ${\displaystyle \exp(-2t^{2}/n)}$ and the first Bernstein inequality gives a bound of ${\displaystyle \exp(-{\frac {t^{2}}{2np+2t/3}})}$. For ${\displaystyle t\gg np}$, Hoeffding's inequality gives${\displaystyle \exp(-\Theta (t^{2}/n))}$, Bernstein gives ${\displaystyle \exp(-\Theta (t))}$, and Bennett gives ${\displaystyle \exp(-\Theta (t\log {\frac {t}{np}}))}$.

참고 항목

• 집중 불평등 - 무작위 변수에 대한 꼬리가 잡히는 요약.

참조