번스타인의 문제

미분 기하학에서 번스타인의 문제는 다음과 같다:R에ⁿ⁻¹ 있는 함수의 그래프가 R에ⁿ 있는 최소 표면이라면, 이것은 함수가 선형이라는 것을 의미하는가?이는 최대 8의 치수 n에서는 사실이지만 최소 9의 치수 n에서는 거짓이다.문제는 1914년 n=3 사건을 해결한 세르게이 나타노비치 번스타인의 이름이다.

성명서

f가 n - 1 실제 변수의 함수라고 가정하자.f의 그래프는 R의ⁿ 표면이며, 이것이 최소 표면이라는 조건은 f가 최소 표면 방정식을 만족하는 것이다.

\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0

번스타인의 문제는 이 방정식을 푸는 전체 함수(Rⁿ⁻¹ 전체에서 정의한 함수)가 반드시 도-1 다항식인지를 묻는다.

역사

번스타인(1915–1917)은³ R의 최소 표면이기도 한 R의² 실제 함수의 그래프는 반드시 평면이어야 한다는 번스타인의 정리를 증명했다.

플레밍(1962년)은³ R에 비 평면 영역 축소 원뿔이 없다는 사실에서 이를 추론해 번스타인의 정리에 대한 새로운 증거를 제시했다.

De Giorgi(1965)는 R에ⁿ⁻¹ 비 평면 영역 축소 원뿔이 없다면 R에ⁿ 번스타인의 정리 아날로그가 참이며, 특히 R에 참임을⁴ 암시한다.

알그렌(1966)은 R에서⁴ 원뿔을 최소화하는 비플래너(non-planar)가 없다는 것을 보여주었고, 따라서 번스타인의 정리를⁵ R로 확장시켰다.

시몬스(1968년)는⁷ R에서 원뿔을 최소화하는 비계획적 원뿔이 없다는 것을 보여주었고, 따라서 번스타인의 정리를 R로⁸ 확장시켰다.그는 또한 R에서⁸ 지역적으로 안정된 원뿔의 예를 들며 그들이 세계적으로 지역 축소화 되어있는지 물었다.

봄비에리, 드 조르기와 기우스티(1969)는 시몬스의 원뿔이 실제로 세계적으로 최소화하고 있음을 보여주었고, n n9의 R에는ⁿ 최소이지만 하이퍼플레인이 아닌 그래프가 있음을 보여주었다.이는 시몬스의 결과와 결합하여 번스타인의 정리의 아날로그가 최대 8차원에서는 참이고, 더 높은 차원에서는 거짓임을 보여준다.구체적인 예로는 표면 $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ { $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ ∈ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ : $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ + $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ + x $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ + $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ = $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ + $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ + $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ + $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ 8 $\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$ ${\displaystyle \{x\in \mathb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{$ 2_{ $2$ } $}^{2}+x_{3$ $}^{2}+x_{4$ $}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6$ $}^{2}+x_{7$ $}^{2}+x_{8$ $}^{2}\}}$ .

참조

Almgren, F. J. (1966), "Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein's theorem", Annals of Mathematics, Second Series, 84: 277–292, doi:10.2307/1970520, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970520, MR 0200816
번스타인, S.N(1915–1917),"수르 une théorème 드 géometrie 것은 ses 애플리케이션 aux équations(형 elliptique partielles dérivées",가.속짱. 수학.우크라이나 공화국 동부의 도시, 15:번스타인, 세르지(1927년)에서38–45 독일어 번역"Über ein geometrisches 정리 세느 Anwendung auf partiellen Differentialgleichungen vomelliptischen 다이 und 황줄돔 종", Mathematische Zeitschrift(독일어로), 스프링거 베를린/하이델베르크, 26:551–558, doi:10.1007/BF01475472, ISSN 0025-5874.
Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E. (1969), "Minimal cones and the Bernstein problem", Inventiones Mathematicae, 7: 243–268, doi:10.1007/BF01404309, ISSN 0020-9910, MR 0250205
De Giorgi, Ennio (1965), "Una estensione del teorema di Bernstein", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 19: 79–85, MR 0178385
Fleming, Wendell H. (1962), "On the oriented Plateau problem", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, 11: 69–90, doi:10.1007/BF02849427, ISSN 0009-725X, MR 0157263
Sabitov, I. Kh. (2001) [1994], "Bernstein theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Simons, James (1968), "Minimal varieties in riemannian manifolds" (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 88: 62–105, doi:10.2307/1970556, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970556, MR 0233295
Straume, E. (2001) [1994], "Bernstein problem in differential geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

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