번스타인의 정리(대략적 이론)

근사설에서 번스타인의 정리는 잭슨의 정리와 반대되는 것이다.^[1]이런 유형의 첫 결과는 1912년 세르게이 번스타인에 의해 증명되었다.^[2]

삼각 다항식별 근사치의 경우 결과는 다음과 같다.

Let f: [0, 2π] → C는 2π 주기 함수로, r은 자연수라고 가정하고, 0 < α < 1. 숫자 C(f) > 0과 삼각 다항식 {P_n}_{n ≥ n0}의 순서가 있는 경우 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \deg \,P_{n}=n~,\quad \sup _{0\leq x\leq 2\pi }f(x)-P_{n(x) \leq {C(f){n^{r+\alpha},},},},},},}$

그 다음 f = P_n0 + φ. 여기서 φ은 경계 r번째 파생상품으로 α-Hölder 연속이다.

참고 항목

• 번스타인의 무기력한 정리
• 건설함수이론

참조