베셀 포텐셜

수학에서 베셀 전위는 리에츠 전위와 유사하지만 무한대에서 더 나은 붕괴 특성을 가진 전위(프리드리히 빌헬름 베셀의 이름)이다.

s가 양의 실제 부품을 가진 복잡한 숫자인 경우, 주문 s의 Besel 잠재력은 연산자다.

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}}$

여기서 Δ는 Laplace 연산자이며 부분적인 힘은 Fourier 변환을 사용하여 정의된다.

유카와 전위는 3차원 공간에서$$ $s{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle s=2}$에 대한 베셀 전위의 특별한 경우다.

푸리에 공간에서의 표현

베셀 잠재력은 푸리에 변환에서 곱셈에 의해 작용한다: 각 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ d ${\$^{$d}}}}}$

${\displaystyle {\mathcal{F}(I-\Delta )^{-s/2}u(\xi )={\frac {{}{F}u(\xi )}{{{2}}{{{+4\pi ^}\vertxi \{2}}^{s/2}}.}$

적분표현

> ${\displaystyle s>0}$일 때 ${\displaystyle {}^{}}$ $d{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 베셀 전위는 다음과 같이 나타낼 수 있다$$.

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,}$

여기서 베셀 커널 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 정수식에 의해$$ $x{\displaystyle }$∈ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle x\in \mathb$ {$R} ^{d}\setminus \{0\}}}}$에 대해 정의된다$$.

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$은 감마 함수를 나타낸다$$.베셀 커널은 또한 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과^[2] ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ x ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${${\displaystyle }$0$}$ {\$displaystyle x\$in \$mathb {R}^{d}\setminus$\{$0\}}}$에 대해 나타낼 수 있다.

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{{{d-1}{2}}^{\frac {s}{2}}:00}\감마({\frac {s}{2}})\감마({\frac {d-s+1}{2}})}\int_{0}^{0}{{0}^{\vert x\vert t}{\big(}t+{t^{2}}:{{\big)}^{\frac {d-s-1}{2}}:}^{{{}}^{\mathrmat}}}}}}}}}}$

이 마지막 표현은 변형된 베셀 함수의 관점에서 더욱 간결하게 쓰여질 수 있으며,^[3] 이 경우 잠재력은 다음과 같은 이름을 얻게 된다.

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{1}{2^{(s-2)/2}^{d/2}\감마({\frac {s}{2}})}K_{d-s)/2}(\vert x\)\vert ^{{s-d)/2}.}$

점증약학

원점에서 ${\displaystyle x}$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \vert x\vert \to 0$^[4]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\d-s}{2}}:}{2^{d-s}\pi ^{s/2}\vert ^{d-s}}(1+o(1))\cHB {\text{{}만약 }$

${\displaystyle G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }(1+o(1)),}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\gamma({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}(1+o(1))\cHB{\text{}s}d.}$

특히 < s< <{\$displaystyle 0>$이 되면베셀 전위는 리에츠 전위로서 점증적으로 작용한다.

무한대에서는 ${\displaystyle x}$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \vert x\vert \infit$ $\},$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).}$

참고 항목

• 리에즈 포텐셜
• 분수 통합
• 소볼레프 공간
• 분수 슈뢰딩거 방정식
• 유카와 포텐셜

참조

• Duduchava, R. (2001) [1994], "Bessel potential operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Grafakos, Loukas (2009), Modern Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 250 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR 2463316
• Hedberg, L.I. (2001) [1994], "Bessel potential space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Bessel potential", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8