비버턴-홀트 모델

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더 비버튼-Holt 모델은 이전 세대 개인 수의 함수로 t + 1 세대 개인의 기대 n _t+1(또는 밀도)을 제공하는 고전적인 이산 시간 모집단 모델이다.

${\displaystyle n_{t+1}={\frac {R_{0}n_{t}}{1+n_{t}/M}}}}$

여기서 R은₀ 세대당 확산률로 해석되며 K = (R₀ - 1) M은 환경의 운반용량이다. 더 비버튼-홀트 모델은 비버튼&홀트(1957)가 어업이라는 맥락에서 도입했다. 후속 작업은 공모전(Brannstöm & Sumpter 2005), 연도 내 자원 제한 경쟁(Geitz & Kisdi 2004) 또는 밀도 의존적 분산에 의해 연결된 소스싱크 맬서스 패치의 결과(Bravo de la Parra et al. 2013)와 같은 다른 가정 하에서 모델을 도출했다. 더 비버튼-Scramble 경쟁을 포함하도록 Holt 모델을 일반화할 수 있다(Ricker 모델, Hassell 모델, Maynard Smith-Slatkin 모델 참조). 또한 개인의 공간 군집화를 반영하는 매개변수를 포함할 수도 있다(Brannström & Sumpter 2005 참조).

비선형임에도 불구하고 이 모델은 사실 1/n의 비균형 선형 방정식이기 때문에 명시적으로 해결할 수 있다. 해결책은^{[citation needed]}

${\displaystyle n_{t}={\frac {Kn_{0}}{n_{0}+(K-n_{0})R_{0}^{-t}}}.}$

이 구조 때문에 모델은 Verhulst가 도입한 인구 증가의 연속 시간 로지스틱 방정식의 이산 시간 아날로그로 간주할 수 있다. 비교를 위해 로지스틱 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}=rN\left(1-{\\frac {N}{K}\right),}$

그리고 그 해결책은

${\displaystyle N(t)={\frac {KN(0)}{N(0)+(K-N(0))e^{-rt}}}.}$

참조

• Beverton, R. J. H.; Holt, S. J. (1957), On the Dynamics of Exploited Fish Populations, Fishery Investigations Series II Volume XIX, Ministry of Agriculture, Fisheries and Food

• Brännström, Åke; Sumpter, David J. T. (2005), "The role of competition and clustering in population dynamics" (PDF), Proc. R. Soc. B, 272 (1576), pp. 2065–2072, doi:10.1098/rspb.2005.3185, PMC 1559893, PMID 16191618

• Bravo de la Parra, R.; Marvá, M.; Sánchez, E.; Sanz, L. (2013), "Reduction of discrete dynamical systems with applications to dynamics population models" (PDF), Math Model Nat Phenom, 8 (6), pp. 107–129

• Geritz, Stefan A. H.; Kisdi, Éva (2004), "On the mechanistic underpinning of discrete-time population models with complex dynamics", J. Theor. Biol., 228 (2), pp. 261–269, doi:10.1016/j.jtbi.2004.01.003, PMID 15094020

• Ricker, W. E. (1954), "Stock and recruitment", J. Fisheries Res. Board Can., 11, pp. 559–623