드브랑제 정리

복소해석학에서 드브랑제의 정리 또는 비버바흐 추측은 복소평면의 열린 단위 디스크를 복소평면에 주입적으로 매핑하기 위해 복소함수에 필요한 조건을 부여하는 정리입니다. 그것은 루트비히 비버바흐(Ludwig Bieberbach, 1916)에 의해 포즈를 취했고, 마침내 루이 드 브랑스(Louis de Branges, 1985)에 의해 증명되었습니다.

이 문장은 ${\displaystyle {단위}_{}}$ 디스크를 복소 평면에 매핑하는 단가 함수의 테일러 계수 ${\display$ $a_$${n}}$에 관한 것으로, ${\displaystyle 항상}$ 0 = 0 {\display a_${0$}=0} 및 1 = 1 {\display a_{1}=1}이 되도록 정규화됩니다. 즉, 우리는 개방 단위 디스크에 정의된 함수를 고려하는데, 이 함수는 형태의 테일러 급수와 동형이고 주입식(단가)입니다.

${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}$

그러한 함수를 슐라이히트라고 합니다. 그 다음 정리는 다음과 같습니다.

${\displaystyle a_{n} \leq n\quad {\text{for all}} n\geq 2.}$

Koebe 함수(아래 참조)는 모든 n {\displaystyle n}에 $대하여$ ${\displaystyle n}$ = ${\$$displaystyle$ a_{$n$}=n인 함수이며, 이는 schlicht이므로 n {\display n}번째 계수의 절대값에 대한 더 엄격한 한계를 찾을 수 없습니다.

슐라이히트 함수

정규화들은

${\displaystyle a_{0}=0\{\text{and}}\ a_{1}=1}$

그것을 의미합니다.

${\displaystyle f(0)=0\{\text{and}}\ f'(0)=1.}$

이는 항상 아핀 변환을 통해 얻을 수 있습니다: 열린 단위 디스크에$$ 정의된 임의의 주입 홀로포머 $함수{\displaystyle }$ g$${\$displaystyle$ g$}$부터 시작하여 설정

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.}$

이러한 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$는 리만 매핑 정리에 나타나기 때문에 관심이 있습니다$$.

Schlicht 함수는 $일대일$이고 f${\displaystyle (0)}$ = 0${\$$displaystyle$ f$(0$)= 0} ${\displaystyle \mathrm{및}}$ f'(0) = 1 {\displaystyle f'(0)= 1}을 만족하는 분석 $함수$ f ${\displaystyle f}$로 정의됩니다. Schlicht 함수의 계열은 회전된 Koebe 함수입니다.

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

with ${\displaystyle \alpha }$ a complex number of absolute value ${\displaystyle 1}$. If ${\displaystyle f}$ is a schlicht function and ${\displaystyle a_{n} =n}$ for some ${\displaystyle n\geq 2}$, then ${\displaystyle f}$ is a rotated Koebe function.

드브랑제 정리의 조건은 함수가 슐리히트라는 것을 보여주기에 충분하지 않습니다.

${\displaystyle f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4}$

다음을 보여줍니다. 단위 디스크에서 동형이며 모든 $n$ ${\displaystyle n}$에 ${\displaystyle 대해}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n} \leq$ n$\}$을 만족하지만 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2}$+ z${\displaystyle }$) = ${\displaystyle f}$( - 1 / 2 - z ) {\displaystyle f (-1/2+z) = f (-1/2-z)} 이므로 주입식이 아닙니다.

역사

역사에 대한 조사는 Koepf(2007)에 의해 제공됩니다.

비버바흐(1916)는 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \le {}_{}}$ 2 ${\displaystyle a_{2} \leq$ 2$}$를 증명했고$,$ ${\displaystyle \le {}_{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n} \leq$ n$}$이라는 추측을 진술했습니다$.$ 뢰너(1917)와 네반린나(1921)는 별과 같은 함수에 대한 추측을 독립적으로 증명했습니다. 그 후 찰스 뢰너(Löwner (1923)는 뢰너 방정식을$$사용하여 3${\displaystyle {}_{}}$≤ ${\displaystyle 3}${\$display a_{3} \leq 3}$을 증명했습니다. 그의 연구는 대부분의 후기 시도에 의해 사용되었으며 슈람-로너 진화론에서도 적용됩니다.

리틀우드(1925, 정리 20)는$모든$ n $displaystyle$ n}에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$≤$$n ${\displaystyle$a_${n}$ \$leqen$}${\displaystyle {임}_{}}$을 증명하여 비버바흐 추측이 ${\displaystyle \mathrm{e}}$=2${\displaystyle .}718$… {\$display$ e=2의 인자까지 참임을 보여주었습니다.$718\ldots}$ 여러 저자들은$$ 나중에 $e{\displaystyle }${\$displaystyle$ e$}$ 아래의 부등식에서 상수를 줄였습니다$.$

$f{\displaystyle (z)}$ = $z$${\displaystyle }$+$$⋯ {\$displaystyle$ f(z) = z+\cdots }가 슐리히트 함수인 경우 φ (z) = z ( f (z 2 ) / z 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \varphi(z) = z(f(z^{2})/z^{1/2}}는 홀수 슐리히트 함수입니다. Paley and Littlewood(1932)는 테일러 계수가 모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle b_{k}\leq 14}$를 만족한다는 것을 보여주었습니다$.$ 그들은 비버바흐 추측의 자연스러운 일반화로서$$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle$ $14$$}$가 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$}$로 대체될$$ 수 있다고 추측했습니다. 리틀우드-팰리 추측은 코시 부등식을 사용한 비버바흐 ${\displaystyle {추측}_{}}$을 쉽게 암시하지만, 곧 페케트 & 세그 ő(1933)에 의해 반증되었으며, 그는 ${\displaystyle \mathrm{b5}}$=${\displaystyle }$1${\displaystyle }$/${\displaystyle }$2 +${\displaystyle exp}$⁡($$- 2 / 3) = 1.013 … {\displaystyle b_{5} = 1/ 2+\exp (-2/ 3) = 1.013\ldots}, 그리고 이것이 가능한 $최대{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$5 {\$displaystyle b_{$5}} 값입니다$.$ Isaak Milin은 나중에 ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 14}$를 $1{\displaystyle .14}$ ${\displaystyle 1.14}$로 대체할$$ 수 있음을 보여주었습니다$.$ and Hayman showed that the numbers ${\displaystyle b_{k}}$ have a limit less than ${\displaystyle 1}$ if ${\displaystyle f}$ is not a Koebe function (for which the ${\displaystyle b_{2k+1}}$ are all ${\displaystyle 1}$). 따라서 한계는 항상 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$보다 작거나 같으며$,$ 이는 Littlewood와 Paley의 추측이 유한한 수의 계수를 제외한 모든 계수에 대해 참임을 의미합니다. 로버트슨(Robertson, 1936)은 리틀우드와 팰리의 추측의 약한 형태를 발견했습니다.

로버트슨 추측은 다음과 같이 말합니다.

${\displaystyle \phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots }$

는 ${\displaystyle {단위}_{}}$ 디스크의 홀수 슐릿 함수로 b ${\displaystyle 1}$ = 1$${\$displaystyle$ b_{1} = 1 이며, 모든 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n} b_{2k+1} ^{2}\leq n.}$

로버트슨은 그의 추측이 여전히 비버바흐 추측을 암시할 만큼 충분히 강하다는 것을 관찰하고 $n$=${\displaystyle 3}$ ${\$displaystyle n=3}에 대해 그것을 증명했습니다. 이 추측은 계수 자체가 아니라 계수의 다양한 2차 함수를 경계한다는 핵심 아이디어를 도입했는데, 이는 슐라이히트 함수의 특정 힐베르트 공간에서 요소의 경계 규범과 동일합니다.

There were several proofs of the Bieberbach conjecture for certain higher values of ${\displaystyle n}$, in particular Garabedian & Schiffer (1955) proved ${\displaystyle a_{4} \leq 4}$, Ozawa (1969) and Pederson (1968) proved ${\displaystyle a_{6} \leq 6}$, 그리고 Pederson & Schiffer (1972)는 ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}\le {}_{}}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle a_{5} \leq$ 5$}$를 증명했습니다$.$

Hayman(1955)은 ${\displaystyle n{}_{}}$/ n ${\displaystyle a_{n}/n}$의 극한이 존재하고$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$가 Koebe 함수가 아닌 이상$$$$ 절대값이 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$}$ 미만임을 증명했습니다. 특히 이것은 임의의 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대해 비버바흐 추측에 대해 기껏해야 유한한 수의 예외가 있을$$ 수 있음을 보여주었습니다.

밀린 추측은 단위 디스크의 각 슐라이히트 함수에 대하여, 그리고 모든 $양$의$$정수 n {\$displaystyle$ n$}$에 대하여$,$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k \gamma _{k} ^{2}-1/k)\leq 0}$

여기서 로그 계수$$γ n ${\$$displaystyle \$gamma$$_{n}} off ${\$$displaystyle$ f}는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.}$

밀린(Milin, 1977)은 레베데프-밀린 부등식을 이용하여 밀린 추측이 로버트슨 추측을 의미하고, 따라서 비버바흐 추측을 의미한다는 것을 보여주었습니다.

최종적으로 드 브랜즈(1987)는 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 ${\displaystyle \le {}_{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n} \leq$ n$}$을 증명했습니다$.$

드브랑제의 증명

증명은 전체 함수의 힐베르트 공간 유형을 사용합니다. 이 공간들에 대한 연구는 복잡한 분석의 하위 분야로 성장했고 그 공간들은 드 브란지스 공간이라고 불리게 되었습니다. 드브랑제는 로그 계수에 대해 더 강한 밀린 추측(1977년 밀린)을 증명했습니다. 이것은 이미 이상한 일가 함수에 대한 로버트슨 추측(Robertson 1936)을 암시하는 것으로 알려져 있었고, 이는 다시 슐리히 함수에 대한 비버바흐 추측(Bieberbach 1916)을 암시하는 것으로 알려져 있었습니다. 그의 증명은 뢰너 방정식, 야코비 다항식에 대한 애스키-가스퍼 부등식, 지수화된 멱급수에 대한 레베데프-밀린 부등식을 사용합니다.

드 브랑스는 야코비 다항식에 대한 추측을 일부 부등식으로 축소하고 처음 몇 개를 손으로 검증했습니다. 월터 고츠키는 드 브란지스(처음 30개 정도의 계수에 대한 비버바흐 추측을 증명함)에 대해 컴퓨터로 이러한 부등식을 더 확인한 다음 리처드 애스키에게 유사한 부등식을 알고 있는지 물었습니다. Askey는 Askey & Gasper(1976)가 8년 전에 필요한 부등식을 증명했고, 이로 인해 de Branges는 자신의 증명을 완성할 수 있었다고 지적했습니다. 첫 번째 버전은 매우 길고 약간의 실수가 있어 약간의 회의를 일으켰지만 1984년 드 브란제스가 방문했을 때 레닌그라드 기하함수 이론 세미나(레닌그라드 슈테클로프 수학 연구소) 회원들의 도움으로 수정되었습니다.

DeBranges는 ν = 0 {\$displaystyle$ \n에 대해 다음과 같은 결과를 증명했습니다.$u$ $=$ 0} 은 밀린 추측(따라서 비버바흐 추측)을 의미합니다. ν> -3 / 2 {\$displaystyle$ \n이라고 가정합니다.$u >-3/2}$ 및$$$σ$ n ${\displaystyle \$$sigma$ _{n}}은 $양$의$정수$ n ${\displaystyle$ n}에 대한 실수로$,$ $제한$이 0 ${\displaystyle$ 0}이므로 다음과 같습니다.

${\displaystyle \rho_{n}={\frac {\Gamma(2\n)u+n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})}$

는 음수가 아니며 증가하지 않으며 제한이 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}$입니다$.$ ${\displaystyle \mathrm{그렇다면}}$ 모든 리만 매핑 함수 $F{\displaystyle (}$z)${\displaystyle }$= $z$+ ⋯$${\displaystyle F(z) = z+\cdots}에 대하여 단위 디스크에서 다음과 같은 값을 갖습니다.

${\displaystyle {\frac {F(z)^{\nu}-z^{\nu}}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu+n}$

의 최대치

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\n)u +n)\sigma _{n} a_{n} ^{2}}$

는 Koebe $함수{\displaystyle }$z${\displaystyle }$/ (${\displaystyle 1}$-${\displaystyle {}^{}}$z ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle z$/ (1 - z$)^{2}}$에 의해 달성됩니다$.$

1985년에 칼 피츠제럴드와 크리스티안 폼메렌케(Fitz Gerald & Pommerenke (1985))가 증명의 단순화된 버전을 발표했고, 제이콥 코레바(Korevaar, 1986)가 더 짧은 설명을 발표했습니다.

참고 항목

• 그룬스키 행렬
• 페케트-세그 ő 부등식
• 슈바르츠 보조정리

참고문헌

• Askey, Richard; Gasper, George (1976), "Positive Jacobi polynomial sums. II", American Journal of Mathematics, 98 (3): 709–737, doi:10.2307/2373813, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373813, MR 0430358
• Baernstein, Albert; Drasin, David; Duren, Peter; et al., eds. (1986), The Bieberbach conjecture, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 21, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. xvi+218, doi:10.1090/surv/021, ISBN 978-0-8218-1521-2, MR 0875226
• Bieberbach, L. (1916), "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln", Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl.: 940–955
• Conway, John B. (1995), Functions of One Complex Variable II, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94460-9
• de Branges, Louis (1985), "A proof of the Bieberbach conjecture", Acta Mathematica, 154 (1): 137–152, doi:10.1007/BF02392821, MR 0772434
• de Branges, Louis (1987), "Underlying concepts in the proof of the Bieberbach conjecture", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 25–42, MR 0934213
• Drasin, David; Duren, Peter; Marden, Albert, eds. (1986), "The Bieberbach conjecture", Proceedings of the symposium on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture held at Purdue University, West Lafayette, Ind., March 11—14, 1985, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society, vol. 21, pp. xvi+218, doi:10.1090/surv/021, ISBN 0-8218-1521-0, MR 0875226
• Fekete, M.; Szegő, G. (1933), "Eine Bemerkung Über Ungerade Schlichte Funktionen", J. London Math. Soc., s1-8 (2): 85–89, doi:10.1112/jlms/s1-8.2.85
• FitzGerald, Carl; Pommerenke, Christian (1985), "The de Branges theorem on univalent functions", Trans. Amer. Math. Soc., 290 (2): 683, doi:10.2307/2000306, JSTOR 2000306
• Garabedian, P. R.; Schiffer, M. (1955). "A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Fourth Coefficient". Journal of Rational Mechanics and Analysis. 4: 427–465. ISSN 1943-5282. JSTOR 24900366.
• Goluzina, E.G. (2001) [1994], "Bieberbach conjecture", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Grinshpan, Arcadii Z. (1999), "The Bieberbach conjecture and Milin's functionals", The American Mathematical Monthly, 106 (3): 203–214, doi:10.2307/2589676, JSTOR 2589676, MR 1682341
• Grinshpan, Arcadii Z. (2002), "Logarithmic Geometry, Exponentiation, and Coefficient Bounds in the Theory of Univalent Functions and Nonoverlapping Domains", in Kuhnau, Reiner (ed.), Geometric Function Theory, Handbook of Complex Analysis, vol. 1, Amsterdam: North-Holland, pp. 273–332, doi:10.1016/S1874-5709(02)80012-9, ISBN 0-444-82845-1, MR 1966197, Zbl 1083.30017.
• Hayman, W. K. (1955), "The asymptotic behaviour of p-valent functions", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 5 (3): 257–284, doi:10.1112/plms/s3-5.3.257, MR 0071536
• Hayman, W. K. (1994), "De Branges' Theorem", Multivalent functions, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 110 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0521460263
• Koepf, Wolfram(2007), Bieberbach's 추측, 드브랑제와 와인스타인 함수 및 아스키-가스퍼 부등식
• Korevaar, Jacob (1986), "Ludwig Bieberbach's conjecture and its proof by Louis de Branges", The American Mathematical Monthly, 93 (7): 505–514, doi:10.2307/2323021, ISSN 0002-9890, JSTOR 2323021, MR 0856290
• Littlewood, J. E. (1925), "On Inequalities in the Theory of Functions", Proc. London Math. Soc., s2-23: 481–519, doi:10.1112/plms/s2-23.1.481
• Littlewood, J.E.; Paley, E. A. C. (1932), "A Proof That An Odd Schlicht Function Has Bounded Coefficients", J. London Math. Soc., s1-7 (3): 167–169, doi:10.1112/jlms/s1-7.3.167
• Löwner, C. (1917), "Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises /z/ < 1, die durch Funktionen mit nicht verschwindender Ableitung geliefert werden", Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, 69: 89–106
• Löwner, C. (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I", Math. Ann., 89: 103–121, doi:10.1007/BF01448091, hdl:10338.dmlcz/125927, JFM 49.0714.01
• Milin, I. M. (1977), Univalent functions and orthonormal systems, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 0369684 (1971년 러시아어판 번역)
• Nevanlinna, R. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Ofvers. Finska Vet. Soc. Forh., 53: 1–21
• Ozawa, Mitsuru (1 January 1969). "On the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient". Kodai Mathematical Journal. 21 (1): 97–128. doi:10.2996/kmj/1138845834.
• Pederson, Roger N. (December 1968). "A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient". Archive for Rational Mechanics and Analysis. 31 (5): 331–351. doi:10.1007/BF00251415.
• Robertson, M. S. (1936), "A remark on the odd schlicht functions", Bulletin of the American Mathematical Society, 42 (6): 366–370, doi:10.1090/S0002-9904-1936-06300-7
• Pederson, R.; Schiffer, M. (1972). "A proof of the Bieberbach conjecture for the fifth coefficient". Archive for Rational Mechanics and Analysis. 45 (3): 161–193. doi:10.1007/BF00281531.

더보기

• Liu, Xiaosong; Liu, Taishun; Xu, Qinghua (2015). "A proof of a weak version of the Bieberbach conjecture in several complex variables". Science China Mathematics. 58 (12): 2531–2540. doi:10.1007/s11425-015-5016-2. S2CID 122080390.