비함-미들턴-리바인 교통 모델

Biham-Middleton-Levine 트래픽 모델은 자체 구성 셀룰러 오토마톤 트래픽 흐름 모델입니다. 무작위 출발 위치가 있는 격자 위의 점으로 표시된 여러 대의 자동차로 구성되어 있으며, 각 자동차는 아래 방향으로만 이동하는 자동차(이 기사에서 파란색으로 표시됨)와 오른쪽 방향으로만 이동하는 자동차(이 기사에서 빨간색으로 표시됨)의 두 가지 유형 중 하나일 수 있습니다. 두 종류의 자동차가 교대로 움직입니다. 한 바퀴 돌 때마다 해당 차종의 모든 차가 다른 차에 막히지 않으면 한 걸음씩 전진합니다. 보다 단순한 Rule 184 모델의 2차원 아날로그로 간주될 수 있습니다. 그것은 아마도 상전이와 자기 조직화를 보여주는 가장 간단한 시스템일 것입니다.^[1]

역사

Biham-Middleton-Levine 교통 모델은 Ofer Biham, A에 의해 처음으로 공식화되었습니다. 1992년 앨런 미들턴과 도브 레빈.^[2] Biham et al.은 교통량의 밀도가 증가함에 따라 교통량의 정상 상태 흐름이 갑자기 원활한 흐름에서 완전한 정체로 바뀐다는 것을 발견했습니다. 2005년 Raissa D'Souza는 일부 트래픽 밀도의 경우, 정체와 원활한 흐름의 주기적인 배열을 특징으로 하는 중간 단계가 있다는 것을 발견했습니다.^[3] 같은 해, Angel, Holroid, Martin은 1에 가까운 밀도의 경우 시스템이 항상 잼을 일으킨다는 것을 최초로 엄격하게 증명했습니다.^[4] 이후 2006년 팀 오스틴과 이타이 벤자민니는 N면의 정사각형 격자에 대해 N/2보다 적은 차가 있으면 모델이 항상 최대 속도에 도달하도록 자체 구성된다는 것을 발견했습니다.^[5]

격자공간

일반적으로 자동차는 토러스와 위상적으로 동등한 정사각형 격자 위에 놓입니다. 즉, 오른쪽 가장자리에서 벗어난 자동차는 왼쪽 가장자리에 다시 나타나고, 아래 가장자리에서 벗어난 자동차는 위쪽 가장자리에 다시 나타납니다.

사각형 대신 사각형 격자에 대한 연구도 있었습니다. 코프라임 치수가 있는 직사각형의 경우, 중간 상태는 세부적인 기하학적 구조를 가진 자기 조직화된 잼 및 자유 흐름 밴드이며, 시간에 따라 주기적으로 반복됩니다.^[3] 비동전 사각형에서 중간 상태는 주기적인 상태가 아니라 일반적으로 무질서합니다.^[3]

상전이

모델의 단순성에도 불구하고 매우 구별 가능한 두 가지 단계, 즉 걸림 단계와 자유 흐름 단계가 있습니다.^[2] 적은 수의 자동차의 경우, 이 시스템은 일반적으로 원활한 교통 흐름을 달성하기 위해 자체적으로 구성됩니다. 반대로 차량이 많으면 단 한 대의 차량도 움직이지 않을 정도로 시스템이 막히게 됩니다. 일반적으로 정사각형 격자에서 전이밀도는 격자에 가능한 공간이 32% 정도 있을 때입니다.^[6]

144×89 직사각형 격자에서 28%의 통행밀도를 갖는 자유유동상

트래픽 밀도가 60%인 144×89 직사각형 격자에서 관측된 전지구적 걸림 위상

중간상

중간 단계는 전이 밀도에 가깝게 발생하며, 걸림 단계와 자유 흐름 단계의 특징을 결합합니다. 주로 두 가지 중간 단계, 즉 무질서(메타 안정적일 수 있음)와 주기적(안정적일 수 있음)이 있습니다.^[3] 코프라임 차원의 직사각형 격자에서는 주기적인 궤도만 존재합니다.^[3] 2008년에는 정사각형 격자에서도 주기적인 중간 단계가 관찰되었습니다.^[7] 그러나 사각형 격자에서 무질서한 중간 단계는 더 자주 관찰되며 전이 영역에 가까운 밀도를 지배하는 경향이 있습니다.

교통량밀도가 38%인 144×89 직사각형 격자에서 관찰되는 주기적인 중간상

교통량밀도가 39%인 144×89 직사각형 격자에서 무질서한 중간상이 관찰됨

엄밀한 분석

모델의 단순성에도 불구하고 엄격한 분석은 매우 사소한 것입니다.^[6] 그럼에도 불구하고 비함-미들턴-리바인 교통 모델에 대한 수학적 증명이 있었습니다. 지금까지의 증명은 트래픽 밀도의 극단에 국한되어 있습니다. 2005년, Alexander Holroid et al은 충분히 1에 가까운 밀도의 경우, 시스템이 무한히 자주 움직이는 자동차가 없을 것이라는 것을 증명했습니다.^[4] 2006년에 팀 오스틴과 이타이 벤자민니는 자동차의 수가 정사각형 격자에 대한 모서리 길이의 절반보다 작으면 항상 자유롭게 흐르는 단계에 도달할 것이라는 것을 증명했습니다.^[5]

방향을 잡을 수 없는 표면

모델은 일반적으로 배향 가능한 토러스에 대해 연구되지만, 클라인 병에 격자를 구현하는 것은 가능합니다.^[8] 빨간 차가 오른쪽 가장자리에 도달하면, 그들은 수직으로 뒤집힌 것을 제외하고는 왼쪽 가장자리에 다시 나타납니다. 맨 아래에 있는 차들은 이제 맨 위에 있고, 그 반대도 마찬가지입니다. 보다 공식적으로 $모든$ ∈ $y\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ { $y\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ , $y\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ $y\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ - 1 } ${\displaystyle$ y\ $in$ \ $lbrace$ 0 $,\ldots,N-1$ rbrace}에 대해 $(N-1,y)$ ( $,y$ ) ${\displaystyle ($ N-1,y)}에서 나가는 빨간색 자동차가 $(0,N-y-1)$ $(0,N-y-1)$ - $(0,N-y-1)$ y - 1) ${\displaystyle$ ( $0,$ N $(0,N-y-1)$ y-1)}에 들어갑니다. 실제 투사면에서 구현하는 것도 가능합니다.^[8] 빨간색 자동차를 뒤집는 것 외에도 파란색 자동차에서도 동일하게 수행됩니다. $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ ∈ { $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ , $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ - 1 $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ } ${\displaystyle$ x\ $in \lbrace$ 0 $,\ldots,$ N-1 $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ rbrace }에 대해 $(x,N-1)$ $(N-x-1,0)$ $(x,N-1)$ N $(x,N-1)$ - 1) ${\displaystyle ($ x, N-1)}에서 나가는 파란색 자동차가 $(N-x-1,0)$ - x $(N-x-1,0)$ - 1 $,$ 0) ${\displaystyle (N$ - $(N-x-1,0)$ x-1, 0)}에 들어갑니다.

클라인 병에 있는 계의 행동은 실제 사영 평면에 있는 것보다 토러스에 있는 것과 훨씬 더 유사합니다.^[8] 클라인 병 설정의 경우 밀도 함수로서의 이동성이 토러스의 경우보다 약간 빨리 감소하기 시작하지만 임계점보다 큰 밀도에 대해서는 동작이 유사합니다. 실제 사영 평면에서의 이동성은 0에서 임계점까지의 밀도에 대해 더 점진적으로 감소합니다. 실제 사영 평면에서는 격자의 나머지 부분이 자유롭게 흐르더라도 격자의 모서리에 국부적인 잼이 형성될 수 있습니다.^[8]

임의화

BML-R이라고 불리는 BML 트래픽 모델의 무작위 변형은 2010년에 연구되었습니다.^[9] 주기적 경계에서, 각 단계 동안 동일한 색상의 모든 자동차를 한 번에 업데이트하는 대신 무작위 모델은 $L^{2}$ ${\$ $L$ $^{2}}$ 업데이트를 $L^{2}$ 수행합니다(여기서 $L$ ${\displaystyle$ L $}$ 은 $l$ 정사각형 격자의 측면 길이임). 매번 무작위 셀을 선택하고 자동차가 포함된 경우, 가능하면 다음 셀로 이동합니다. 이 경우, 무작위 모델의 비결정적 특성 때문에 일반적인 BML 트래픽 모델에서 관찰되는 중간 상태는 존재하지 않으며, 대신 걸림 단계에서 자유 유동 단계로의 전환이 급격합니다.

열린 경계 조건에서 한쪽 가장자리를 따라 주행하는 자동차가 다른 쪽을 감싸는 대신 왼쪽 가장자리와 위쪽 가장자리에 확률 $\alpha$ $\alpha$ 로 새 자동차를 $\alpha$ 추가하고 오른쪽 $\beta$ 가장자리와 아래쪽 $\beta$ β {\ $displaystyle$ \ $beta}$ 에서 각각 제거합니다. 이 경우 시스템 내의 자동차 수는 시간이 지남에 따라 변할 수 있으며 로컬 잼은 잼과 자유롭게 흐르는 영역이 공존하는 경우, 넓은 빈 공간을 포함하는 경우, 또는 대부분 한 종류의 자동차를 포함하는 경우와 같이 일반적인 모델과 매우 다르게 격자가 나타날 수 있습니다.^[9]

참고문헌

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외부 링크

Daniel Lu의 CUDA 구현
Jason Davies에 의한 WebGL 구현
Maciej Baron에 의한 자바스크립트 구현

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