규범 잔류 이형성 정리

수학에서 규범 잔류 이형성 정리는 밀너 K 이론과 갈루아 코호몰로지 관련 오랜 숙고된 결과물이다.그 결과는 비교적 기초적인 공식성을 가지며 동시에 추상대수학, 이차형태론, 대수 K이론, 동기이론 등과는 무관해 보이는 많은 이론들의 입증에 있어서 핵심적인 고비를 나타낸다.그 정리는 어떤 프라임 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$과 어떤 $자연수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대해 어떤 진술이 참임을 주장한다$.$ 존^[1] 밀너는 이 $정리$가 ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle \ell =2}$과 $모든{\displaystyle }$ n ${\displaystystytyn}$에 $대해$ 진실일 것이라고 추측했고, 이 문제는$$밀노르의 추측하게 되었다.일반적인 경우는 스펜서 블로흐와 가토^[2] 가쓰야에 의해 추측되었고, L-기능의 가치에 대한 블로흐-카토 추측과 구별하기 위한 '블록-카토 추측' 또는 동기가 되는 '블록-카토 추측'으로 알려지게 되었다.^[3]규범 잔류 이소모르프스키는 마르쿠스 로스트의 많은 고도로 혁신적인 결과를 사용하여 블라디미르 보에보드스키에 의해 증명되었다.

성명서

For any integer ℓ invertible in a field ${\displaystyle k}$ there is a map ${\displaystyle \partial :k^{\times }\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })}$ where ${\displaystyle \mu _{\ell }}$ denotes the Galois module of ℓ-th roots of unity in some separable closure of k.이형성 $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}{\ell }^{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$) ${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times$}}^{\$ell$}^{\$cong H^{1}(k,\mu _{\ell })}}$을 유도한다$.$$이것$이 K 이론과 관련이 있다는 첫 번째 힌트는 k ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$}}}이(가) 그룹 K₁(k)라는$$ 것이다.텐서 제품을 가져다가 étal cohomology의 곱셈을 적용하면 맵 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \partial }$이(가) 맵에$$ 확장된다.

${\displaystyle \partial ^{n}}k^{\time }\cdots \otimes k^{\time }\wrightarrow H_{\rm {{\acute{e}}}}^{n}(k,\mu _{\ell ^{\otimesn}).}$

이 지도에는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle k\setminus \{0,1\},$$\partial {\displaystyle {\mathrm{}}^n}$(${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle }$, , , ,${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle a}$,${\displaystyle }$)$${\$displaysty \partial$^{$n}(\ldots ,a,\ldots )$의 모든 요소가 사라지는$$ 속성이 있다.이것이 밀너 K 이론의 결정적인 관계다.구체적으로, Milnor K-이론은 링의 등급이 매겨진 부분으로 정의된다.

${\displaystyle K_{*}^{M}(k)=T(k^{\time }/(\{a\otimes (1-a)\colon a\in k\setminus \{0,1\}\}),}$

여기서 $T{\displaystyle ({}^{}}$ $){\displaystyle T(k^{\timees }}}}$는 승수 그룹 $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$의 텐서 $대수$이며, quot(1${\displaystyle }$-${\displaystyle a)}$ ${\displaysty a\otimes(1-a$ 형식의 모든 요소에 의해 생성되는 양면 이상이다.따라서 맵 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}^n}$ ${\$ 인자는$$ 맵을 통해 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle \partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H_{\rm {{\acute{e}t}}^{n}(k,\mu _{\ell ^{\otimesn})).}$

이 지도를 갈루아 기호 또는 노름 잔여 지도라고 한다.^[4][5][6]모드-변환 계수를 가진 étal cohomology는 --torsion 그룹이기 때문에, 이 $지도$는 ${\displaystyle {}_{}^{}}$M ( k${\displaystyle }$) /${\displaystyle }${ ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)/\ell$}}을 통한 인자를 추가한다$.$

규범 잔류물 이형성 정리(또는 Bloch-Kato 추측)는 k로 환산할 수 없는 필드 k와 정수 ℓ에 대해 규범 잔류물 맵을 명시하고 있다.

${\displaystyle \filename ^{nK_{n}^{M}(k)/\ell \to H_{\rm {{\acute{e}t}^{n}(k,\mu _{\ell _}^{\otimes n}}}}}}}}}}}$

Milnor K-이론적 형식에서 Etale cohomology에 이르는 것은 이형상이다.사례 ℓ = 2는 밀노르 추측이고, 사례 n = 2는 메르쿠르예프-수슬린 정리다.^[6][7]

역사

한 분야의 étal cohomology는 Galois cohomology와 동일하므로, 그 추측이란 필드 k의 Milnor K-group의 cotth coorsion(--divalle 원소의 하위집단에 의한 quotth cohomology)과 통일의 ℓ번째 뿌리의 Galois 모듈에 계수가 있는 k의 Galohomology를 동일시한다.추측의 요점은 밀노르 K-그룹에는 쉽게 볼 수 있지만 갈루아 코호몰로지에는 볼 수 없는 성질이 있고, 그 반대의 경우도 마찬가지라는 것이다; 규범 잔류 이소모르피즘 정리는 이소모르피즘의 한 쪽에 있는 물체에 적용할 수 있는 기법을 이소모르피즘의 다른 쪽에 있는 물체에 적용하는 것을 가능하게 한다.

n이 0인 경우는 사소한 것이고, n = 1인 경우는 힐버트의 정리 90에서 쉽게 따라온다.사례 n = 2와 ℓ = 2는 (Merkurjev 1981) harv 오류: no target: CITREFMerkurjev1981 (도움말)에 의해 증명되었다.중요한 진전은 케이스 n = 2와 ℓ 임의였다.이 경우는 (Merkurjev & Suslin 1982) harv 에러: no target: CITREFMerkurjevSuslin1982 (도움말)에 의해 증명되었으며, Merkurjev-Suslin 정리라고 알려져 있다.이후 Merkurjev와 Suslin은 독립적으로 사례 n = 3과 ℓ = 2 (Merkurjev & Suslin 1991) harv error: no target: CITREFMerkurjevSuslin1991 (도움말) harv erv error: no target: CITREFRESTREFROST.

"정상 잔류물"이라는 명칭은 ${\displaystyle {원래\mathrm{}}_{}}$ 힐버트 기호(${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}},{\displaystyle }$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (a_{1},a_{2})$를 가리키며, K의 브라워 그룹에서 값을 취한다$($현장에 모든 roots-th 루트가 포함된 경우).여기서 그것의 용도는 표준 지역 계급장 이론과 유사하며 (아직 개발되지 않은) "높은" 계급장 이론의 일부가 될 것으로 예상된다.

규범 잔류 이형성 정리는 퀼렌-리히텐바움 추측을 내포하고 있다.그것은 한때 베일린슨-리히텐바움 추측이라고 일컬어졌던 정리에 해당한다.

증거의 역사

밀노르의 추측은 블라디미르 보에보드스키에 의해 증명되었다.^{[8][9][10][11]}후에 보에보드스키는 일반적인 블로흐-카토 추측을 증명했다.^[12][13]

증거의 출발점은 리히텐바움(1983) 하브텍스트 오류로 인한 일련의 추측이다: 대상 없음: CITREFLichtenbaum1983(도움말)과 베일린슨(1987) 하브텍스트 오류: 대상 없음: CITREFBeilinson1987(도움말).그들은 동기부여 콤플렉스의 존재를 추측했다. 동기부여 코호몰로지(cohomology)가 동기부여 코호몰로지(cohomology)와 관련이 있는 피복의 콤플렉스였다.이들 단지의 추측 특성 중에는 3가지 특성이 있었는데, 하나는 자리스키 코호몰로지(Zariski cohomology)를 밀노르의 K-이론에 연결하고, 하나는 단결의 뿌리에 있는 계수를 가진 코호몰로지(Cohomology)와 연결하며, 다른 하나는 자리스키 코호몰로지(Zariski cohomology)를 그들의 에 연결한다.이 세 가지 특성은 매우 특별한 경우로서, 규범 잔여 지도가 이형성이어야 한다는 것을 암시했다.그 증명의 본질적인 특징은 귀납 단계가 블록카토 추측의 진술뿐만 아니라 베이린슨-리히텐바움 추측의 많은 부분을 포함하는 훨씬 일반적인 진술들을 알아야 하는 "중량"(추측에서 코호몰로지 집단의 치수와 동일)에 유도를 사용한다는 것이다.귀납 단계를 증명하기 위해 증명되는 진술이 강화되어야 한다는 것은 종종 유도에 의한 증거에서 발생한다.이 경우에 필요한 강화는 매우 많은 양의 새로운 수학의 개발을 필요로 했다.

밀노르의 추측에 대한 가장 초기 증거는 1995년 보에보스키의^[8] 사전 인쇄물에 수록되어 있으며 모라바 K-이론의 대수적 유사성이 있어야 한다는 생각에서 영감을 얻는다(이 대수학 모라바 K-이론들은 후에 시모네 보르게시에^[14] 의해 건설되었다).1996년 사전 인쇄에서 보에보드스키는 대신 대수적 자갈을 도입하고 그 당시 증명되지 않았던 그들의 속성 일부를 사용함으로써 그림에서 모라바 K-이론을 제거할 수 있었다(이 속성들은 나중에 증명되었다).1995년과 1996년의 프리프린트의 구조는 현재 정확한 것으로 알려져 있지만, 밀노르의 추측에 대한 최초의 완성된 증거는 다소 다른 계획을 사용했다.

완전한 블로흐-카토 추측의 증거가 뒤따르는 것도 계책이다.1996년 프리프린트가 등장한 지 몇 달 만에 보보드스키가 고안한 것이다.이 계획을 실행하기 위해서는 동기식 호모토피 이론 분야에서 상당한 발전을 이루어야 할 뿐만 아니라 특정한 특성 리스트를 가진 대수적 품종을 만드는 방법을 찾아야 했다.동기적 호모토피 이론으로부터 증명에는 다음이 필요했다.

1. 스페니어의 기본 성분의 동기 아날로그 구성부드러운 투사적 대수적 다양성 위에 동기적 영역으로부터 동기적 정상 다발의 톰 공간까지의 형태론으로서 동기적 기본 등급의 형태의 화이트헤드 이중성.
2. Steenrod 대수학의 동기 아날로그의 구성.
3. 동기가 부여된 Steenrod 대수학은 특성 0의 영역에 걸쳐 동기가 부여된 코호몰로지에서의 모든 생물학적 코호몰로지 연산을 특징으로 한다는 명제의 증명.

처음 두 개의 건축물은 2003년까지 Voevodsky에 의해 개발되었다.1980년대 후반부터 알려진 결과와 결합해 밀너 추측을 비난하기에 충분했다.

또한 2003년에 보에보드스키는 일반 정리의 증거가 거의 들어 있는 사전 인쇄물을 웹에 게재했다.그것은 원래의 계획을 따랐지만 세 가지 진술의 증거를 놓치고 있었다.이 중 두 진술은 동기식 Steenrod 운영의 특성과 관련되었고 위의 세 번째 사실을 요구한 반면, 세 번째 진술은 "정상 품종"에 대한 당시 알려지지 않은 사실을 요구하였다.이들 품종이 필요로 했던 성질은 1997년 보보드스키가 직접 제조한 것이었고, 품종 자체는 1998~2003년 마르쿠스 로스트가 만들었다.그들이 필요한 재산을 가지고 있다는 증거는 안드레이 수슬린과 세바 조호비츠키에 의해 2006년에 완성되었다.

위의 세 번째 사실은 동기적 호모토피 이론에서 새로운 기법의 개발을 필요로 했다.제한이나 콜리미트를 가지고 통근하는 것으로 상정되지 않은 펑터가 일정한 형태의 물체 사이에 약한 등가성을 보존하고 있음을 증명하는 것이 목적이었다.주요 어려움 중 하나는 취약한 동등성 연구에 대한 표준 접근법이 부스필드-퀼런 인자화 시스템과 모델 카테고리 구조에 기초하고 있으며, 이러한 접근방식은 부적절하다는 것이었다.다른 방법들을 개발해야 했고, 이 작업은 2008년에야 보보드스키에 의해 완성되었다.^{[citation needed]}

이러한 기법을 개발하는 과정에서, 보에보스키의 2003년 사전 인쇄에서 증거 없이 사용된 첫 번째 문장이 거짓이라는 것이 명백해졌다.그 진술서의 수정된 형식을 수용하기 위해 증거를 약간 수정해야 했다.Voevodsky가 동기부여가 되는 Eilenberg-MacLane 공간에 대한 주요 이론들의 마지막 세부사항들을 계속해서 알아내는 동안, Charles Weibel은 수정해야 할 증거에서 그 장소를 수정하는 접근법을 발명했다.바이벨은 2009년에도 보에보스키의 건축물과 그가 발견한 수정 사항을 결합한 내용을 요약한 논문을 발표하였다.^{[citation needed]}

베이린슨-리히텐바움 추측

Let X be a smooth variety over a field containing ${\displaystyle 1/\ell }$. Beilinson and Lichtenbaum conjectured that the motivic cohomology group ${\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbf {Z} /\ell )}$ is isomorphic to the étale cohomology group ${\disp$레이스타일 $H_{\rm {{\acute{e}t}^{p}($X$,\mu _{\ell ^{\otimes q}).$이 추측은 이제 증명되었고, 규범 잔류 이형성 정리와도 맞먹는다.

참조

참고 문헌 목록

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• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 124. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
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