블로흐 방정식

물리학과 화학에서, 특히 핵자기공명(NMR), 자기공명영상(MRI), 전자 스핀공명(ESR)에서, 블로흐 방정식은 이완시간₁ T와₂ T가 존재하는 시간의 함수로서 핵자기화 M = (M_x, M_y, M_z)을 계산하는 데 사용되는 거시적 방정식의 집합이다.펠릭스 블로흐가 1946년에 도입한 현상학적 방정식들이다.^[1]때때로 그것들은 핵자기화 운동 방정식이라고 불린다.그것들은 맥스웰-블록 방정식과 유사하다.

실험실(스테이션) 기준 프레임에서

M(t) = (M_x(t), M_y(t), M_z(t)을 핵자화(nuclear magnetization)로 한다.그리고 Bloch 방정식은 다음과 같이 읽는다.

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}=\gamma(\mathbf {M})(t)\time\mathbf {B}(t)_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}:}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}=\gamma(\mathbf {M})(t)\time\mathbf {B}(t)_{y}-{\frac {M_{y}(t)}}{T_{2}}:}}}$

${\dplaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma(\mathbf {M})(t)\time\mathbf {B}(t)_{z}-{\frac {M_{z}-M_{0}}}}}}}{{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}T_{1}:{1}}$

여기서 γ은 자석비, B(t) = (B_x(t), B_y(t), B₀ + ΔB_z(t)는 핵이 경험하는 자기장이다.자기장 B의 z 성분은 두 가지 용어로 구성되기도 한다.

• 하나, 둘₀, 시간은 일정하지만
• 다른 하나 ΔB_z(t)는 시간 의존적일 수 있다.그것은 자기 공명 영상에 존재하며 NMR 신호의 공간 디코딩을 돕는다.

M(t) × B(t)는 이 두 벡터의 교차 제품이다.M은₀ 안정상태의 핵자기화(예를 들어 t → ∞)이다. 즉, t → );

물리적 배경

이완(T와₁ T₂ → ∞ 둘 다) 없이 위의 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}=\gamma(\mathbf {M})(t)\times \mathbf {B}(t)_{x}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}=\gamma(\mathbf {M})(t)\times \mathbf {B}(t)_{y}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}=\gamma(\mathbf {M})(t)\times \mathbf {B}(t)_{z}}}}}}}}$

또는 벡터 표기법:

${\d\frac {d\mathbf {M}(t)}{dt}=\gamma \mathbf {M}(t)\times \mathbf {B}(t)}$

이것은 외부 자기장 B에서 핵자기화 M의 라모어 전처리 방정식이다.

완화 조건,

${\displaystyle \left(-{\frac {M_{x}})}{{n1}{n1}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}}{{}}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}}{{0}}}}}{{0}}}}}{{}}}}}}{T_{1}}\오른쪽)}$

핵자기화 M의 횡방향 및 종방향 이완의 확립된 물리적 과정을 나타낸다.

거시적 방정식으로

이러한 방정식은 미미하지 않다: 그것들은 개별 핵자기 모멘트의 운동 방정식을 설명하지 않는다.이것들은 양자역학의 법칙에 의해 지배되고 묘사된다.

Bloch 방정식은 거시적인 것이다: 그들은 표본에 있는 모든 핵자기 모멘트를 합쳐서 얻을 수 있는 거시적인 핵자기화 운동 방정식을 설명한다.

대체 양식

Bloch 방정식에서 벡터 제품 브래킷을 열면 다음과 같다.

${\dplaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}=\gamma \left(M_{y})(t){z_{z_{z}(t)B_{y}(t)\right)-{\frac {M_{x}(t)}(t)-{d}}}}}t)}t)}{T_{2}}:}}}$

${\dplaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}=\gamma \left(M_{z})(t){x}(t)-M_{x}(t)B_{z}(t)\right)-{\frac {M_{y}(t)}(t)}(t)}t)}t)}t)}}t)}{T_{2}}:}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}=\gamma \left(M_{x})(t)-{y}(t)-{y}B_{x}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T_{1}:{1}}$

위 양식은 가정할 때 더욱 단순화된다.

${\displaystyle M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{\}{\cHB}=B_{x}+iB_{y}\,}$

여기서 i = √-1.어떤 대수학 후에 다음과 같은 것을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}$${T_{2$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}:{1}}$

어디에

${\displaystyle \stackrel{}{M_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{x_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{y_{}}\text{'}}$는 = ${\displaystyle M_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}${\$displaystyle {\overline {M_{xy}}=M_{x}-iM_{y$

M의_xy 복잡한 결합이다.M의_xy 실제 부분과 가상 부분은 각각 M과_x M에_y 해당한다.M은_xy 때때로 횡방향 핵자기화라고 불린다.

행렬 양식

Bloch 방정식은 행렬-벡터 표기법으로 다시 표시할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\왼쪽({\begin{array}{c_{x}\\)M_{y}\\M_{z}\end{array}\오른쪽)=\왼쪽({\begin{array}-{ccc}-{\frac {1}{1}{T_{2}}:}&\감마 B_{z}-\감마 B_{y}\\\\\감마 B_{z}&-{\frac {1}{{1}{T_{2}}:}&\감마 B_{x}\\\감마 B_{y}&-\감마 B_{x}&-{\frac {1}{{1}{{}}}{{}}}}}{{\frac}{1}{}}}}{}}}}}}{{}}}}}}}}}}T_{1}}\end{array}\오른쪽)\왼쪽({\begin{array}{c_{x}\\\M_{y}\\\M_{z}\end{array}\오른쪽)+\\좌측({\begin{array}{c}0\\\\frac{M_{0}}}{{\fr}}}}{{0}}}}}}}{\begin}}}}}}}}왼쪽T_{1}}\end{array}\오른쪽)}$

회전하는 기준 프레임에서

회전하는 기준 프레임에서는 핵자기화 M의 행동을 이해하는 것이 더 쉽다.이것이 동기를 부여한 것이다.

T₁₂, T → ∞의 Bloch 방정식 해법

다음과 같이 가정하십시오.

• t = 0에서 횡방향 핵자기화 M_xy(0)은 일정한 자기장 B(t) = (0, 0, B₀)를 경험한다.
• B는₀ 양수;
• 세로 및 가로 방향 이완(T와₁ T₂ → ∞)이 없다.

그런 다음 Bloch 방정식을 다음과 같이 단순화한다.

${\$$B_{0$

${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{M_{}}{}}$ z${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{t}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\dM_{z}(t)}{dt}=0}$.

이것들은 두 개의 선형 미분방정식이다.이들의 해결책은 다음과 같다.

${\$$M_{xy}(0)e^{-i\감마 B_{0}t$

$displaystyle M_{z}(t)=$$M_{0}={\text{const}\,}$.

따라서 횡방향 자기화 M은_xy 각도 주파수₀ Ω = bB를₀ 시계방향으로 하여 z축을 중심으로 회전한다(이것은 지수의 음수 기호로 인한 것이다).종방향 자기화, M은_z 시간 내에 일정하게 유지된다.이것은 또한 실험실 기준(정지 상태의 관찰자)에서 가로 자기화가 관찰자에게 나타나는 방법이다.

M_xy(t)은 M_x(t)과 M_y(t)의 관측 가능한 수량으로 다음과 같이 번역된다: 이후

${\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{z0}t}=M_{xy}(0)\왼쪽[\cos(\cos(\omega _{0}t)-i\sin(\omega _{0}t)\오른쪽]}$

그때

$displaystyle M_{x}(t)={\text{Re}\{$$M_{xy}(0)\cos(\omega _{0}t$

${\displaystyle {}_{}\text{M}}$ ${\displaystyle y_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 임${\displaystyle }$( M ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- M ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) sin ⁡ $({$y$})(t)={\textyle M_{y$}($t)={\imm}\lift(M_{$xy$})(오른쪽$)=-$M_{xy}($0)\$sin(\0}}}},$ , $,,$ ,, .

여기서 Re(z)와 Im(z)은 복잡한 숫자 z의 실제와 가상 부분을 반환하는 함수다.이 계산에서 M(0_xy)은 실수라고 가정했다.

기준의 회전 프레임으로 변환

이전 절의 결론: z축을 따라 일정한 자기장 B에서 가로 자기화₀ M은 각 주파수_xy Ω으로 이 축을₀ 중심으로 시계방향으로 회전한다.만약은 관찰자가 동일한 축 주위를 시계 방향으로 각 진동 수 Ω과 회전, Mxy에게 또는 그에게 각 주파수 ω0-Ω과 회전이다. 만약 이 관찰자가 동일한 축 주위를 시계 방향으로 각 진동 수 ω0과 회전했다 특히, 가로 방향 자화 Mxy면 h. 나오나는 st무전기의

이는 다음과 같은 방법으로 수학적으로 표현할 수 있다.

• (x, y, z) 실험실(또는 고정된) 기준 프레임의 데카르트 좌표계를 허용하고
• (x′, y′, z′) = (x′, y′, z)는 각주파수 Ω으로 기준 실험실 프레임의 z축을 중심으로 회전하는 데카르트 좌표계다.이것을 기준의 회전 프레임이라고 한다.이 기준 프레임의 물리적 변수는 프라임으로 표시된다.

명백하게:

${\$$M_{z}(t)\,}$.

M_xy′(t)란 무엇인가?이 섹션의 시작 부분에 있는 주장을 수학적 방법으로 표현:

${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= e${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{I\Omega }}^{}}$ t ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\$ .

기준의 회전 프레임에서 가로자석의 운동방정식

M_xy′(t)의 운동 방정식은 무엇인가?

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'(t)}$

기준 실험실 프레임의 Bloch 방정식에서 대체한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\end{aigned}}}$

그러나 앞의 절에서 가정하면: B_z((t) = B_z(t) = B₀ + ΔB_z(t)와_z M(t) = M_z((t)이다. 위의 방정식으로 대체:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\Delta B_{z}(t))-M_{z}'(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=-i\gamma B_{0}M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}'(t)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=i(\오메가 -\오메가 _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\end{aigned}}}$

이 방정식의 오른쪽에 있는 항들의 의미는 다음과 같다.

• i (Ω - Ω₀) M³_xy(t)은 각도 주파수 Ω으로 회전하는 기준 프레임의 Larmor 항이다.Ω = Ω이면₀ 0이 된다는 점에 유의하십시오.
• -i γ_z ΔB(t_xy) Mt(t) 용어는 자기장 불균형(ΔB(t)이 횡방향 핵자기화에 미치는 영향(ΔB_z(t)로 표현됨)을 기술하며, T를₂^* 설명하는 데 사용된다.이것은 또한 MRI 뒤에 있는 용어인데, 그라데이션 코일 시스템에 의해 생성된다.
• i γ B_xy′(t) M_z(t)은 핵자기화에 대한 RF장(B_xy′(t) 인자)의 영향을 설명한다.예를 들어 아래를 참조하십시오.
• - M³_xy(t) / T는₂ 가로 자석의 일관성 상실을 설명한다.

마찬가지로 기준의 회전 프레임에서 M의_z 운동 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {dM_{z}'(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}(t)}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}:{1}}$

기준 회전 프레임에 있는 방정식의 시간 독립형

외부 필드의 형식이 있는 경우:

${\displaystyle B_{x}(t)=B_{1}\cos \omega t}$

${\displaystyle B_{y}=-B_{1}\sin \omega t}$

${\$$B_{0$

다음을 정의한다.

${\displaystyle ϵ}$= ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $=\gamma B_{1}$및 : ${\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 0 -${\displaystyle {}_{}\Omega }$ ${\displaystyle \Delta =\0$}\$gamma B_\0}-\omega$},$$

그리고 (행렬-행렬 표기법으로):

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\왼쪽({\begin{array}{c'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}\right}=\왼쪽({\begin{array}-{ccc}-{\frac {1}{1}{{}}}{{\frac}{1}{{{}}}}{}}}}{}}}}}}}{T_{2}}:}&\델타 &0\\-\델타 &-{\frac {1}{T_{2}}:}&\epsilon \\0&-\epsilon &-{\frac {1}{T_{1}}\end{array}\오른쪽)\왼쪽({\begin{array}{c'_{x}\\\M'_{y}\\\M'_{z}\end{array}\오른쪽)+\\\좌측({\begin}{c}0\0\\\\frac{M_{0}}}{{{0}}}}}{\begin}}}}{\begin}}}}}}}}}}}{{{{{{{T_{1}}\end{array}\오른쪽)}$

간단한 솔루션

횡방향 핵자기화 M의_xy 이완

다음과 같이 가정하십시오.

• 핵자기화는 z 방향 B_z′(t) = B_z(t) = B(t) = B의₀ 일정한 외부 자기장에 노출된다.따라서 Ω₀ = γB₀, ΔB_z(t) = 0.
• RF는 없다, 즉 B_xy' = 0이다.
• 기준의 회전 프레임은 각도 주파수 Ω = Ω으로₀ 회전한다.

그런 다음, 횡방향 핵자기화를 위한 운동 방정식인 회전 기준 프레임에서_xy M'(t)은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}=-{\frac {M_{xy}}}{}}}{{pracT_{2}}:}}$

이것은 선형 일반 미분방정식이며 그 해법은

${\$$M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2$

여기서 M_xy'(0)은 시간 t = 0에서 회전 프레임의 횡방향 핵 자기화다.이것이 미분 방정식의 초기 조건이다.

기준의 회전 프레임이 Larmor 주파수(이것은 위의 가정 Ω = Ω의₀ 물리적 의미)에서 정확하게 회전할 때, 횡방향 핵자기화 벡터인_xy M(t)이 정지해 있는 것으로 나타난다.

종방향 핵자기화 완화_z M

다음과 같이 가정하십시오.

• 핵자기화는 z 방향 B_z′(t) = B_z(t) = B(t) = B의₀ 일정한 외부 자기장에 노출된다.따라서 Ω₀ = γB₀, ΔB_z(t) = 0.
• RF는 없다, 즉 B_xy' = 0이다.
• 기준의 회전 프레임은 각도 주파수 Ω = Ω으로₀ 회전한다.

그리고 종방향 핵자성을 위한 운동 방정식인 기준의 회전 프레임에서 M_z(t)은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}=-{{\frac {M_{z}(t)-M_{z,\mathrm {eq}{{1}}}}}}}}}}}}{T_{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이것은 선형 일반 미분방정식이며 그 해법은

${\displaystyle M_{z}=M_{z,\mathrm {eq}-}-[M_{z,\mathrm {eq} }-M_{z}(0)]e^{-t/T_{1}:{1}}$

여기서 M_z(0)은 시간 t = 0에서 회전 프레임의 종방향 핵 자화다.이것이 미분 방정식의 초기 조건이다.

90° 및 180° RF 펄스

다음과 같이 가정하십시오.

• 핵자기화는 z 방향 B_z′(t) = B_z(t) = B(t) = B의₀ 일정한 외부 자기장에 노출된다.따라서 Ω₀ = γB₀, ΔB_z(t) = 0.
• t = 0에서는 일정한 진폭과 주파수 Ω의₀ RF 펄스가 적용된다.즉 B'(_xyt) = B'_xy는 일정하다.이 맥박의 지속시간은 τ이다.
• 기준의 회전 프레임은 각도 주파수 Ω = Ω으로₀ 회전한다.
• T와₁ T₂ → ∞. 사실상 τ T와₁ T를₂ 의미한다.

그런 다음 0 ≤ t ≤의 경우:

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}=i\감마 B_{xy}''M_{z}(t)\end{aigned}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}=i{{\fracma }{2}}\좌측(M'_{xy})(t){\overline {B'_{xy}-{xy}}-{xy}-{xy}}B'_{xy}\오른쪽)$

참고 항목

• Bloch-Torrey 방정식은 Bloch 방정식의 일반화로서 확산에 의한 자화 전달에 의한 추가 항을 포함한다.^[2]

참조

추가 읽기

• 찰스 키텔, 솔리드 스테이트 물리학 소개, 존 와일리 & 선스, 제8판(2004년), ISBN 978-0-471-41526-8.13장은 자기공명에 관한 것이다.