보크너-리츠 평균

Bochner-Riesz 평균은 Fourier 시리즈와 Fourier 통합의 합치를 고려할 때 조화 분석에 자주 사용되는 만족도 방법이다.살로몬 보치너에 의해 리에즈 평균의 수정으로서 도입되었다.

정의

정의

${\displaystyle (\xi )_{+}={\presid{case}\xi,&{\mbox{if_}}\xi >0\0,&\mbox{mbox}}}.\end{case}}}$

Let ${\displaystyle f}$ be a periodic function, thought of as being on the n-torus, ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$, and having Fourier coefficients ${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$ for ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}$. Then the Bochner–Riesz means of complex order ${\displaystyle \delta }$$($ > ${\displaystyle$ R>$0}$ 및 Re () >0displaystyle R>$0$$}$의 ({\$displaystyle$ B_${R}^{\delta }f$$})$은$({\displaystystyle {\re}(\delta )$로 정의된다

${\displaystyle B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset { k \leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\left(1-{\frac { k ^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot \theta }.}$

함수 f을 Rn에 4개인,{\displaystyle f}푸리에 변환 f^(ξ){\displaystyle{\hat{f}}(\xi)과(^{n}}}, 복잡한 주문 δ{\delta\displaystyle}의 Bochner–Riesz 수단, SR}f{\displaystyle S_{R}^{\delta}f δ(어디 R>0{\disp.놓다$스타일 R>0}$과)> ${\displaystyle {\mbox{Re}(\delta )>0$은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{ \xi \leq R}\left(1-{\frac { \xi ^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .}$

콘볼루션 운영자에 대한 적용

> ${\displaystyle \delta >0}$ $및$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$= 1 ${\displaystyle n=1$ S$$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ $B$ R ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$displaysty $B_{$R$}^{\delta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$이와 같이, 이러한 경우, 거의 모든 곳에서 보슈너-리제스 간 융합이 이루어지고 있다는 점을 고려할 때, ${\displaystyle L^{}}$ p ${\$ 공간에서의$$ 기능에 대한 의미들을 고려할 때 푸리에 시리즈/통합의 거의 모든 곳에 대한 융합(${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$= 0 ${\displaysty \delta$= $0})$의 문제보다 훨씬 간단하다.$$

더 높은 차원에서는, 특히, 콘볼루션 커널은 "더 나쁜 행동"이 된다.

${\displaystyle \req {\tfrac {n-1}{2}}:}$

커널은 더 이상 통합할 수 없다.여기서, 거의 모든 곳에 융합을 확립하는 것은 그에 상응하여 더욱 어려워진다.

보크너-리츠 추측

또 다른 질문은 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$과($와{\displaystyle }$) 어떤$$$$p {\$displaystyle$ $p}$ L$p{p$$}$ 함수의 Bochner-Riesz를 표준으로 수렴하는 것이다.${\displaystyle \mathrm{p<img\; alt="L^\{p\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/cf2317aaca1ecee4b8ccf667bc1001059eae5850"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.642ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="92">}}p{\displaystyle }$ 2 ${\displaystyle n\$$geq$ 2$}$이$($$가{\displaystyle )}$ p ≠ 2 ${\displaystyle \delta =0$에 해당하는 정규 구형 표준 수렴이 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$에서 실패하므로 이 문제는 기본적으로 중요하다$.$이것은 찰스 페퍼먼이 1971년에 발표한 논문에서 보여졌다.^[1]

By a transference result, the ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ problems are equivalent to one another, and as such, by an argument using the uniform boundedness principle, for any particular ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$, ${\displaystyle L$$^{p}}$ ${\displaystyle \delta }$의 경우 두 경우 ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 규범$$ 수렴이 뒤따른다$.{\displaystyle }$ 여기서$$ (${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle \xi {}_{}^{}}$2) + ${\$$1-$$\xi$$^{$$2$})$_{+}^{\delta$ $}}}}}}}}}}}$은 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$displaystydown $Fourier$ 곱셈 연산자의 기호다.

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$${\displaystyle n=2}$의 경우 해당 문제는 완전히 해결되었지만, $n{\displaystyle 3}$ 3 ${\displaystyle$ n$\geq$3$\}$의 경우 부분적으로만 답변되었다.The case of ${\displaystyle n=1}$ is not interesting here as convergence follows for ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ in the most difficult ${\displaystyle \delta =0}$ case as a consequence of the ${\displaystyle L^{p}}$ boundedness of the Hilbert transform and an argument of Marcel Riesz.

$\Delta {\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \delta (p$ "중요 지수"를 다음과 같이 정의하십시오.

${\displaystyle max}$( ${\displaystyle n\mathrm{}}$1 /${\displaystyle \mathrm{p}}$ -${\displaystyle 1}$ / 2${\displaystyle }$-${\displaystyle 1\mathrm{}}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \max(n$1/$p-1/2 -1/2$,0$)}$.

그러자 보치너-리츠 추측에 의하면

$\displaystyle \displaystyle\\displays$

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$경계$$ 푸리에 승수 연산자에 필요한 충분한 조건이다.그 조건이 필요한 것으로 알려져 있다.^[2]

참조

추가 읽기

• Lu, Shanzhen (2013). Bochner-Riesz Means on Euclidean Spaces (First ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4458-76-4.
• Grafakos, Loukas (2008). Classical Fourier Analysis (Second ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-09431-1.
• Grafakos, Loukas (2009). Modern Fourier Analysis (Second ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-09433-5.
• Stein, Elias M. & Murphy, Timothy S. (1993). Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-03216-5.