균일경계원리

수학에서, 균일한 경계성 원리 또는 바나흐-슈타인하우스 정리는 기능 분석의 근본적인 결과 중 하나이다.한-바나흐 정리, 오픈 맵핑 정리 등과 함께 필드의 초석 중 하나로 꼽힌다.그것의 기본 형태에서, 바나흐 공간인 연속 선형 연산자(따라서 경계 연산자)의 패밀리의 경우, 점 경계도는 연산자 표준에서 균일한 경계도와 동등하다고 주장한다.

이 정리는 1927년 스테판 바나흐와 휴고 스타인하우스에 의해 처음 출판되었으나, 한스 한에 의해서도 독자적으로 증명되었다.

정리

균일한 경계성 원리 — $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 을(를) 바나흐 공간, $Y$ $Y$ 을 $Y$ (를) 표준 벡터 공간으로 한다 $X$ . $F$ ${\displaystyle$ $F$ $}$ 이 $F$ (가) $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 에서 $X$ $Y$ . $Y$ 까지 $Y.$ 연속 선형 연산자의 집합이라고 가정하십시오.

\sup _{T\in F}\ T(x)\ _{Y}<\proft \quad{\text{}모든 }x\in X,

그때

\sup _{\stackrel {T\in F,}{\x\}\{Y}=\sup _{T\in F}\T\ _{B(X,Y)}}}

$X$ $X$ 의 완전성은 Baire 범주 정리를 사용하여 다음과 같은 짧은 증거를 가능하게 $X$ 한다.

증명

$X$ 를 바나흐의 공간이 되게 하라.모든 $x\in X,$ $x\in X,$ $x\in X,$ , ${\displaystyle x\in$ X $,}$ 에 대해,

\sup _{T\in F}\ T(x)\ _{Y}<\fty.

모든 정수 $n\in \mathbb {N} ,$ $n\in \mathbb {N} ,$ $n\in \mathbb {N} ,$ , $n\in \mathb {N},$ 에 $n\in \mathbb {N} ,$ 대해 다음 작업을 수행하십시오.

X_{n}=\왼쪽\{x\in X\ :\\\\sup _{T\in F}\T(x)\ _{Y}\leq n\right\}.

각 집합 $X_{n}$ $X_{n}$ ${\$ 은(는) 닫힌 집합이며 $X_{n}$ , 가정으로,

\bigcup _{n\in \mathb {N}}X_{n}=X\neq \varnothing.

는 사각형 완전한 계량 공간 X는 베르의 범주 정리까지{X\displaystyle,}에는 몇가지 m이 존재하 ∈ N{\displaystylem\in \mathbb{N}}가 Xm{\displaystyle X_{m}}이 사각형 내부, 즉이 존재하는 x0∈ Xm(X_{m}}과ε>0{\displayst.yle $\varepsilon >0}$ 그런 $\varepsilon >0$ 것

{B_{\varepsilon }(x_{0})}}~::=\좌측\{x\in X\,:\,\x_{0}\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}.

$u\in X$ X ${\displaystyle$ $\|u\|\leq 1$ $\in$ X $}$ 과 $u\in X$ (와 $)$ {\ $displaystyle$ \ $\leq$ 1}과 $($ $T\in F.$ T $\|u\|\leq 1$ u . $T\in F.$ 을(를) 연결한 후 다음을 $T\in F.$ 수행하십시오.

{\begin{aligned}\ T(u)\ _{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\ T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\ _{Y}&[{\text{ by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\ T(x_{0}+\varepsilon u)\right\ _{Y}+\left\ T(x_{0})\right\ _{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{{}}}\x_{0}+\varepsilon u,\x_{0}\in X_{m}]\\end{aigned}}}}}

$X$ $X$ 의 단위 볼에서 $u$ $u$ $u$ 을 $X$ (를) 압도하고 $T\in F$ $T\in F$ $T\in F$ $T\in F$ 을(를) 압도하면 다음과 $T\in F$ 같다.

\sup _{T\in F}\T\ _{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1m~<~\inflt.

바이어 정리(Sokal 2011)를 사용하지 않는 간단한 증명도 있다.

코롤러리

Corollary — If a sequence of bounded operators $\left(T_{n}\right)$ converges pointwise, that is, the limit of $\left(T_{n}(x)\right)$ exists for all $x\in X,$ then these pointwise limits define a bounded linear operator ${\display$ $스타일 T.}$

위의 코롤러리는 T $T_{n}$ ${\$ 이(가) 연산자 규범에서 $T$ $T$ ${\displaystyle T}($ 즉, 경계 집합에서 균일하게)로 $T_{n}$ 수렴된다고 주장하지 않는다.그러나 $\left\{T_{n}\right\}$ { $\left\{T_{n}\right\}$ $\left\{T_{n}\right\}$ ${\$ $T_{n}\$ $right$ $\}}}$ 은(는) 연산자 규범에 경계를 두고 $\left\{T_{n}\right\}$ 있으며, 한계 $연산자$ T ${\displaystyle T$ $}$ 은(는) 연속적인 $T$ 것으로, $3-\varepsilon$ " $3-\varepsilon$ - $\$ {\ $displaystyle$ 3- $\varepsilon$ $}"$ 의^{[clarification needed]} 추정치는 $T$ n $T_{n}$ ${\displaystyty T}$ 에 균일하게 $T$ 수렴한다는 $T_{n}$ 것을 보여준다.

Corollary — 표준 $공간$ Y ${\$ $displaystyle S\subseteq$ Y $}$ 에 있는 $S\subseteq Y$ 모든 약하게 경계된 부분 집합 $S\subseteq Y$ $S\subseteq Y$ $S\subseteq Y$ ${\$ $displaystyle Y}$ 이(가) 경계됨 $Y$ .

실제로, $S$ $S$ 의 요소는 Banach 공간 $X:=Y^{\prime },$ $X:=Y^{\prime },$ $X:=Y^{\prime },$ $X:=Y^{\prime },$ , ${\displaystyle X:$ 에 대해 점 경계된 연속 선형 형태의 패밀리를 정의한다 $S$ . $=Y^{\prime },}$ which is the continuous dual space of $Y.$ By the uniform boundedness principle, the norms of elements of $S,$ as functionals on $X,$ that is, norms in the second dual $Y^{\prime \prime },$ are bounded.그러나 모든 $s\in S,$ $s\in S,$ , ${\displaystyle s\in$ S $,}$ 에 대해 두 번째 이중의 표준은 $s\in S,$ Han-Banach 정리의 $Y,$ 로 $Y,$ Y, $Y$ 의 표준과 일치한다.

$L(X,Y)$ ( $L(X,Y)$ , Y $L(X,Y)$ ) $L(X,Y)$ 은(는) 연산자 표준이 부여된 $Y,$ $X$ $X$ 에서 $X$ Y, ${\displaystyle$ Y $}$ 까지의 연속 연산자를 나타낸다 $L(X,Y)$ .집합 $F$ {\ $displaystyle F}$ 이( $L(X,Y),$ ) $L(X,Y),$ $L(X,Y),$ , Y $L(X,Y),$ ) $L(X,Y),$ , $L(X,Y)$ 에서 $L(X,Y),$ 바인딩되지 않은 경우 $F$ , 균일한 경계 원칙은 다음을 암시한다.

R=\좌측\{x\in X\ :\\\\sup \nolimits _{T\in F}\Tx\{Y}=\put \right\}\neq \varnothing.

실제로 $R$ ${\displaystyle$ $R$ $}$ 은 $R$ (는) $X$ . ${\displaystyle$ X $.}$ 에 조밀도가 있다 $X.$ . X{\ $displaystyle X}$ 에 $R$ $있는$ R{\ $displaystyle$ R}의 보수는 닫힌 집합의 계수 가능한 조합이다 $X$ . $\cup X_{n}.$ $\cup X_{n}.$ . ${\displaystystyle \cup X_{n}$ $}}$ 정리를 증명하는 데 사용되는 논거에 의해 $\cup X_{n}.$ 각 $X_{n}$ $X_{n}$ ${\$ 은(는) 어디에도 밀도가 $X_{n}$ 없다. 즉, 부분집합 $\cup X_{n}$ n ${\$ 는 첫 번째 범주의 것이다 $\cup X_{n}$ .따라서 $R$ $R$ 은(는) Baire 공간에서 첫 번째 범주의 하위 집합의 보완물이다 $R$ .Baire 공간의 정의에 의해 그러한 집합(comeagre 또는 잔차 집합이라고 함)은 밀도가 높다.그러한 추론은 특이점의 응축 원리로 이어져 다음과 같이 공식화할 수 있다.

Theorem — Let $X$ be a Banach space, $\left(Y_{n}\right)$ a sequence of normed vector spaces, and for every $n,$ let $F_{n}$ an unbounded family in ${\displaystyle L\left(X,Y_{n}\right).$ ${}$ 그러면 $L\left(X,Y_{n}\right).$ 세트

R:={\bigg \{}x\in X\ :\\\\\\text{}}모든 }n\mathb {N},\sup_{T\in F_}\{n}\tx\ _{Y_{n}}}=\infltigg \}}}}}}}}

잔차 집합이므로

X

.

{\displaystyle

X

.}

에서 밀도가 높음

증명

$R$ $R$ 의 보완은 계산 가능한 조합이다 $R$ .

\bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\\\\\supp\nolimits _{T\in F_{n}\}\Tx\{Y_{n}}\leq m\rig\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}

첫 번째 범주의 집합.따라서 잔존 세트

R

R

은 밀도가 높다

R

.

예제: Fourier 시리즈의 점적합성

$\mathbb {T}$ ${\$ 를) 원으로 하고 $\mathbb {T}$ , C( $C(\mathbb {T} )$ ) ${\displaystyle C(\mathb$ { $T})$ 를 동일한 규범과 함께 $\mathbb {T} ,$ $\mathbb {T} ,$ , ${\displaysty \mathb {T}에$ 대한 연속 함수의 Banach 공간이 되게 한다 $C(\mathbb {T} )$ .균일한 경계 원리를 사용하면 푸리에 시리즈가 점으로 수렴되지 않는 $C(\mathbb {T} )$ $C(\mathbb {T} )$ ) $C(\mathb {T$ )에 요소가 있음을 보여줄 수 있다.

$f\in C(\mathbb {T} ),$ $f\in C(\mathbb {T} ),$ $f\in C(\mathbb {T} ),$ ( T $f\in C(\mathbb {T} ),$ ) $f\in C(\mathbb {T} ),$ , ${\displaystyle f\in C(\mathb {T})$ 의 경우 $,$ 해당 $f\in C(\mathbb {T} ),$ Fourier 시리즈는 다음과 같이 정의된다.

\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},

N-th 대칭 부분 합은

S_{N}(x)=\sum _{k=-N}^{{f}}{f}}e^{f}(k)^{{1}{2\pi }\int _{0}^{0}^{2\f(t)D_{{N}(x-t)\dt,}}}

여기서

D_{N}

D_{N}

{\

는

D_N

N

{\displaystyle

N

} -th

Dirichlet

N

커널이다.

x\in \mathbb {T}

x\in \mathbb {T}

x\in \mathbb {T}

{\

를) 수정하고

x \in \mathbb{T}

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

{

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

N

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

( f

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

)

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

(

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

)

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

.

\left\{

의 수렴을 고려하십시오.

S_{N}(f)(x)\right\}}

\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.

함수

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

,

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

:

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

(

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

)

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

→

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

{\

C(\mathbb {T})\to \mathb {C}

에

\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}

정의됨

\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T}),

경계가 있다The norm of

\varphi _{N,x},

in the dual of

C(\mathbb {T} ),

is the norm of the signed measure

(2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,

namely

\left\ \varphi _{N,x}\right\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left D_{N}(x-t)\right \,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left D_{N}(s)\right \,ds=\left\ D_{N}\right\ _{L^{1}(\mathbb {T} )}.

는 것을 확인할 수 있다.

{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi } D_{N}(t) \,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left \sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right }{t/2}}\,dt\to \infty .

So the collection $\left(\varphi _{N,x}\right)$ is unbounded in $C(\mathbb {T} )^{\ast },$ the dual of $C(\mathbb {T} ).$ Therefore, by the uniform boundedness principle, for any $x\in \mathbb {T} ,$ the푸리에 시리즈가 $x$ $x$ 에서 분산되는 $x$ 연속 함수 집합은 $C(\mathbb {T} ).$ ) $C(\mathbb {T} ).$ . ${\displaystyle$ C $(\mathb {T}$ )로 조밀하다 $.$

특이점의 응축 원리를 적용하면 더 많은 것이 결론날 수 있다. $\varphi _{N,x_{m}}$ $\left(x_{m}\right)$ ( $\left(x_{m}\right)$ x $\left(x_{m}\right)$ ) $\left(x_{m}\right)$ {\ $displaystyle \left(x_$ {m $}\right)$ $\displaystyle \mathb {T$ }.} } N $\varphi _{N,x_{m}}$ x $\varphi _{N,x_{m}}$ ${\$ 를 위와 유사한 방식으로 $\varphi _{N,x_{m}}$ 정의하십시오 $\left(x_{m}\right)$ $\mathbb {T} .$ .그러면 특이점의 응축 원리는 푸리에 시리즈가 각 $x_{m}$ m ${\$ 에서 분산되는 연속함수의 집합이 $C(\mathbb {T} )$ ( $C(\mathbb {T} )$ $C(\mathbb {T} )$ ${\displaystyle$ C $(\mathb {T})}($ 단 $x_{m}$ , $연속함수$ f ${\displaysty f}$ 의 푸리에 시리즈가 $f(x)$ ( $f(x)$ ) ${\displ$ )로 수렴된다고 $f$ 한다.Carleson의 정리로는 $x\in \mathbb {T} ,$ $x\in \mathbb {T} ,$ 모든 x $x\in \mathbb {T} ,$ , {\ $displaystyle x\$ in \ $mathb {T},}$ 에 $f(x)$ $대한 aystyle$ f $(x)}.$

일반화

위상 벡터 공간(TV) $X$ , $X,$ 에서 $X,$ "경계 부분 집합"은 특히 폰 노이만 경계 부분 집합의 개념을 가리킨다.만약 X{X\displaystyle} 또는 seminormednormed 공간이 발생하고,(4)norm ‖ ⋅ ‖과,{\displaystyle\와 같이 \cdot),} 다음 하위 집합 B{B\displaystyle}(폰 노이만)을 다스릴 수 있는 말하는 정의 방법으로 b∈ B‖ b‖<>∞.{\displaystyle \sup_{b\in B}\ b\<>\inft 저녁밥을 먹다만, 만약 그것이 표준 bounded, 만약.y.} $\sup _{b\in B}\|b\|<\infty .$

막대형 공간

균일한 경계 원리가 가지고 있는 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간의 클래스를 찾으려는 시도는 결국 바레인으로 연결된 공간으로 이어졌다.즉, 균일한 경계성 원리에 대한 최소 제한적 설정은 바레인으로 된 공간이며, 여기서 다음과 같은 일반화된 버전의 정리가 유지된다(Bourbaki 1987, Organis III.2.1). (도움말).

정리 — 바레인이 있는 $X$ X{\ $displaystyle$ X $}$ 및 로컬 볼록 $공간$ Y,{\ $displaystyle Y}$ 을(를) 고려할 $Y,$ 때 $X$ {\ $displaystyle$ X}에서 $X$ Y ${\displaysty Y}$ 까지의 점 경계 연속 선형 매핑의 모든 계열은 등가(그리고 균일하게 등가)이다 $Y$ .

$또는$ X $X$ 이 $X$ (가) Baire $Y$ 이고 Y{\ $displaystyle Y$ }이 $Y$ (가) 로컬 볼록 공간일 때마다 이 문장이 유지된다.^[1]

위상 벡터 공간의 균일한 경계성

위상학적 벡터 공간 $Y$ $Y$ 의 하위 ${\mathcal {B}}$ $D$ 집합 ${\mathcal {B}}$ ${\displaystyle$ $Y$ $}$ 패밀리 B ${\$ $displaystyle Y$ $}$ 이(가) 있는 $Y$ $Y$ $Y$ , ${\displaystyle Y$ $}$ 에 균일하게 $D$ 되어 있다고 한다 $Y$ $.$

B\subseteq D\quad {\text{ 매 }B\in {\mathcal {B},

만약의 경우에 그리고 단지 만약의 경우에 일어난다.

\bigcup_{B\in {\mathcal {B}B}B

is a bounded subset of

Y

; if

Y

is a normed space then this happens if and only if there exists some real

M\geq 0

such that

\sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\ b\ \leq M.

$세트$ $B$ ${\$ $displaystyle$ $B}$ 이 $B$ (가) $반드시$ X ${\displaystyle$ X $}$ 과(와) 같다는 아래 명제의 결론은 H ${\displaystyle$ $H$ $}$ 의 등가성 및 $H$ X $}$ 의 모든 싱글톤 부분집합도 $X$ bount라는 사실로부터 다음 정리의 첫 번째 부분의 도움을 받아 추론할 수 있다 $X$ .부분 집합 취급을 하다

Proposition[2]— 레트 H⊆ L(X, Y){H\subseteq L(X,Y)\displaystyle}지속적인 선형 사업자의 두 위상 벡터 공간 X{X\displaystyle}, Y{Y\displaystyle}및 X의 C⊆ X{\displaystyle C\subseteq X}는 어떠한 한정적 부분 집합자 사이의 집합.{X\displaystyle} 그렇다면 가족 세트. $\{h(C):h\in H\}$ $\{h(C):h\in H\}$ ( $\{h(C):h\in H\}$ ) $\{h(C):h\in H\}$ : $\{h(C):h\in H\}$ $\{h(C):h\in H\}$ $\{h(C):h\in H\}$ $\{h(C):h\in H\}$ $\{h(C):h\in H\}$ 은(는) 다음 조건 중 하나가 충족되는 $Y$ Y $Y$ 로 균일하게 경계한다 $\{h(C):h\in H\}$ .

$C$ $C$ 은(는) $X$ $X$ 및 모든 $X$ $c\in C,$ C $c\in C,$ ${\displaystyle c\in C$ 의 볼록 콤팩트 하우스도르프 하위 공간이며 $C$ $,$ $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ H $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ ) $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ { $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ c $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ ) $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ : $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ : $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ $}$ $displaystylease$ H $(c):$ $=\{h(c):h\in H\}}$ 은(는) Y. ${\displaystyle$ Y $.}$ 의 경계 부분 집합이다 $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ .
$H$ $H$ 은 $H$ (는) 등각적이다.^{[proof 1]}

The family $\{h(C):h\in H\}$ is uniformly bounded in $Y$ if and only if there exists some bounded subset $D$ of $Y$ such that $h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,$ which happens $\bigcup _{h\in H}h(C)$ $\bigcup _{h\in H}h(C)$ $\bigcup _{h\in H}h(C)$ H $\bigcup _{h\in H}h(C)$ ( $\bigcup _{h\in H}h(C)$ ) $\bigcup _{h\in H}h(C)$ 이(가) $Y$ . ${\displaystyle$ Y $.}$ 의 경계 부분 집합인 $\bigcup _{h\in H}h(C)$ 경우

비메거기 하위 집합과 관련된 일반화

비평균 집합의 개념은 다음 버전의 균일한 경계 원리에 사용되지만 $도메인$ X $X$ 은(는) 배어 공간으로 가정되지 않는다 $X$ .

정리^[2] — $H\subseteq L(X,Y)$ $H\subseteq L(X,Y)$ $H\subseteq L(X,Y)$ ( $H\subseteq L(X,Y)$ , $H\subseteq L(X,Y)$ ) $H\subseteq L(X,Y)$ 을(를) 두 위상 $벡터$ 공간 X {\ $displaysty X}$ 과 $X$ Y $Y$ 사이의 연속 선형 연산자 집합( $Y$ 필수적으로 Hausdorff 또는 국소 볼록스는 아님)으로 $H\subseteq L(X,Y)$ 한다.모든 $x\in X,$ $x\in X,$ $x\in X,$ , $x\in X,$ 에 $x\in X,$ 대해 $다음$ 기준의 x ${\displaystyle$ x $}$ 궤도를 나타낸다 $x$ .

H(x):=\{h(x):h\in H\}

and let

B

denote the set of all

x\in X

whose orbit

H(x)

is a bounded subset of

Y.

If

B

is of the second category (that is, nonmeager) in

X

then

B=X

a

ND

H

H

은

H

(는) 동일하다.

증명^[2]

$H$ $H$ 이 $H$ (가) 동일하다는 증거:

Let $W,V\subseteq Y$ be balanced neighborhoods of the origin in $Y$ satisfying ${\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W.$ It must be shown that there exists a neighborhood $N\subseteq X$ of the origin in ${\dis$ $h\in H.$ ( $h(N)\subseteq W$ ) $h(N)\subseteq W$ $h(N)\subseteq W$ $h(N)\subseteq W$ 과 $h(N)\subseteq W$ 같은 $X$ 재생 $스타일$ X $}$ 각 $h\in H.$ {\ $displaystyle h\in$ H $.}$ Let $h\in H.$ .

C~:=~\빅캡 _{h\in H}^{-1}\왼쪽({\overline {V}\오른쪽),

X

는 X

{\displaystyle

X

}

의

h(C)\subseteq {\overline {V}}

닫힌 부분 집합으로서(닫힌 부분 집합의 교차점이기 때문에)

X

모든

h\in H,

∈

h(C)\subseteq {\overline {V}}

h\in H,

,

h\in H

에 대해 h

h\in H,

h(C)\subseteq {\overline {V}}

(

h(C)\subseteq {\overline {V}}

)

h(C)\subseteq {\overline {V}}

V

{\

및

h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq~{V}-{\overline{V}~{\overline {{V}+{\overline{V}}+{\overline{V}\oversubseteq~W

(표시되는 대로,

X

X

의

C

C

C

의 위상학적 내부가 비어 있지

X

않기 때문에

X

, 세트

C-C

-

C-C

{\

displaystyle

X

}

은 사실

X

{\displaystyle

X

}

의 원점 부근이다

C-C

.)If

b\in B

then

H(b)

being bounded in

Y

implies that there exists some integer

n\in \mathbb {N}

such that

H(b)\subseteq nV

so if

h\in H,

then

b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).

{\displaystyle

}

h\in H

h\in H

h\in H

{\displaysty h\in

H

}

이(가) 임의였으므로

b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).

h\in H

,

b~~in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1(V)~\subseteq ~nC.

라는 것을 증명하는 것이다.

\displaystyle B~~\subseteq ~\bigcup_{n\in \mathb {N}nC.}

Because

B

is of the second category in

X,

the same must be true of at least one of the sets

nC

for some

n\in \mathbb {N} .

The map

X\to X

defined by

{\displaystyle x\mapsto {\frac {1

}{n}x}

는 (굴절) 동형이기 때문에

x\mapsto {\frac {1}{n}}x

세트

{\frac {1}{n}}(nC)=C

{\frac {1}{n}}(nC)=C

)

{\frac {1}{n}}(nC)=C

=

{\frac {1}{n}}(nC)=C

{\displaystyle {\frac{1}{n}}(nC)

=C}

은(는)

반드시

X .

{\

displaystyle

X

}

의 두 번째 범주에 속하며

{\frac {1}{n}}(nC)=C

,

C

C

은

C

(는) 닫히고

X

,

X

의 두 번째 범주에 속하므로

X

{\displaysty X}

의

X,

위상학적 내부는 비어 있지

X

않다.

X\to X

c\in \operatorname {Int} _{X}C.

c\in \operatorname {Int} _{X}C.

c\in \operatorname {Int} _{X}C.

c\in \operatorname {Int} _{X}C.

c\in \operatorname {Int} _{X}C.

.

c\in \operatorname {Int} _{X

x\mapsto c-x

x

x\mapsto c-x

x\mapsto c-x

-

x\mapsto c-x

↦

x\mapsto c-x

-

{\displaystyle

x\

mapsto c-x}

에 의해 정의된

X\to X

맵 X →

X\to X

{\to

X

}이(

가) 동형이기 때문에

c\in \operatorname {Int} _{X}C.

x\mapsto c-x

집합이 된다.

N~~=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)

0=c-c

=

0=c-c

{\displaystyle

0

=c-c}(

X,

,

{\displaystyle

X

})

의 근린이며, 이는

X,

수퍼셋

C-C.

- C

C-C.

C-C.

의

C-C.

모든

h\in H,

{\displaystyle h\in

H

,}

에 대해 동일하다는 것을 의미한다.

h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq~{\overline {V}-{\overline {V}~\subseteq~W.

이것은

H

H

이

H

(가) 동등하다는 것을 증명한다.

\blacksquare

$B=X$ = X ${\displaystyle B=X$

Because $H$ is equicontinuous, if $S\subseteq X$ is bounded in $X$ then $H(S)$ is uniformly bounded in $Y.$ In particular, for any $x\in X,$ because ${\displaystyle S:=\{x$ $\}}}$ 은 $S:=\{x\}$ $($ 는) $X,$ 의 경계 부분집합 $,$ $X,$ $x$ ) $H(\{x\})=H(x)$ = $H(\{x\})=H(x)$ ) ${\displaystyle$ $H$ $(\{x\}}=H(x)}$ 는 $Y .$ ${\$ $displaysty$ Y $.}$ 의 $균일$ 경계 부분집합이다 $H(\{x\})=H(x)$ . 따라서 $Y.$ B $B=X.$ = $.$ $}$ ${\$

전체 측정 가능한 도메인

디우도네(1970년)는 일반적인 바나흐 공간보다는 프레셰트 공간과 함께 이 정리의 약한 형태를 증명한다.

Theorem[2]— 레트 H모든 x에 ⊆ L(X, Y){H\subseteq L(X,Y)\displaystyle}지속적인 선형 사업자들의 완전한 계량화 가능 위상 벡터 공간 X{X\displaystyle}( 프레셰 공간 또는 F-space 같은)에서Hausdorff 위상 벡터 공간 Y에 집합.{Y\displaystyle}만약 ∈ X,{\displaystyle.x\X $x\in X,$ $,}$ 궤도로

H(x):=\{h(x):h\in H\}

Y

Y

의 경계 부분 집합인 경우

Y

H

H

은

H

(는) 등각형이다.

그래서 특히 $Y$ $Y$ 도 표준화된 공간이라면 $Y$ , 그리고 만약

\sup _{h\in H}\h(x)\\\\\\\inful \quad {\text{ 매 }x\in X,

H

H

은

H

(는) 등각적이다.

참고 항목

경계 공간 – 위상 벡터 공간
Ursescu 정리 – 닫힌 그래프의 일반화, 개방형 매핑, 균일한 경계 정리

메모들

^ Let $V$ be a neighborhood of the origin in $Y.$ Since $H$ is equicontinuous, there exists a neighborhood $U$ of the origin in $X$ such that $h(U)\subseteq V$ for every ${\displaysty$ 르(H.}{X\displaystyle,}이 몇가지 실질적인 r을 존재하기 때문에 C{C\displaystyle}X에서, 제한됩니다;0{\displaystyle r>0}모든 h에 대한 만약 t≥ r{\displaystyle t\geq r}C⊆ tU.{\displaystyle C\subseteq tU.}그래서 ∈ H{\displaystyleh\in H}과 모든 t≥ r,{\displaystyl.et\ge $q r,}$ $h(C)\subseteq h(tU)=th(U)\subseteq tV,$ which implies that $\bigcup _{h\in H}h(C)\subseteq tV.$ Thus $\bigcup _{h\in H}h(C)$ is bounded in $Y.$ ${\display$ $스타일 \blacksquare }$

인용구

^ 2001년 8월 1일.
^ ^a ^b ^c ^d 루딘 1991, 42-47페이지

참고 문헌 목록

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[2] Let $V$ be a neighborhood of the origin in $Y.$ Since $H$ is equicontinuous, there exists a neighborhood $U$ of the origin in $X$ such that $h(U)\subseteq V$ for every ${\displaysty$ 르(H.}{X\displaystyle,}이 몇가지 실질적인 r을 존재하기 때문에 C{C\displaystyle}X에서, 제한됩니다;0{\displaystyle r>0}모든 h에 대한 만약 t≥ r{\displaystyle t\geq r}C⊆ tU.{\displaystyle C\subseteq tU.}그래서 ∈ H{\displaystyleh\in H}과 모든 t≥ r,{\displaystyl.et\ge $q r,}$ $h(C)\subseteq h(tU)=th(U)\subseteq tV,$ which implies that $\bigcup _{h\in H}h(C)\subseteq tV.$ Thus $\bigcup _{h\in H}h(C)$ is bounded in $Y.$ ${\display$ $스타일 \blacksquare }$

[FOOTNOTEShtern2001-1] 2001년 8월 1일.

[FOOTNOTERudin199142−47-3] 루딘 1991, 42-47페이지

[1]

[proof 1]

[2]

v t 위상 벡터 공간(TV)
기본개념	바나흐 공간 연속 선형 연산자 함수 힐베르트 공간 선형 연산자 국소 볼록한 공간 동형성 위상 벡터 공간 벡터 공간
주요 결과	앤더슨-케이덱 정리 바나흐-알라오글루 정리 닫힌 그래프 정리 F. 리에스의 정리 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 벡터 값 한-바나흐) 개방형 매핑(Banach-Schauder)(경계 반전) 균일 경계(Banach-Steinhaus)
지도	거의 열려 있음 이린린(형식) 연산자) 및 Sesquilinar 형식 닫힌 콤팩트 연산자 연속 및 불연속 선형 지도 조밀하게 정의됨 동형성 함수 규범 연산자 세미놈 하위선형 전치하다
세트 종류	절대 볼록/디스크 흡수/방사선 아핀 균형/순환 디스크 배너치 경계점 경계 보완된 하위 공간 볼록스 볼록콘(하위 세트) 선형 원뿔(하위 세트) 극한점 사전 계산/완전 경계 퍼머드/샤이 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭
작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 볼록 선체 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
TV의 종류	아스플룬드 B-완전/P탁 바나흐 (카운트) 바렐라 (울트라-) 태생학 브레이너 완성하다 편리한 (DF)-공간 특출신 F-공간 프레셰트 (테메 프레셰트) 그로텐디크 힐베르트 엽기적인 보간공간 K-공간 LB-공간 LF-공간 국소 볼록한 공간 맥키 (사이비도)메트리저블 몬텔 콰시바라드 준완전 콰시노르메드 (폴리노멀리) 반)반사성 리에츠 슈워츠 반완전 스미스 고정관념 (B) 엄밀히 균일볼록스 (Quasi-) 초음파상 균일하게 매끈매끈함 웹베드 근사 특성 포함

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목차

정리

코롤러리

예제: Fourier 시리즈의 점적합성

일반화

막대형 공간

위상 벡터 공간의 균일한 경계성

비메거기 하위 집합과 관련된 일반화

전체 측정 가능한 도메인

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