보고키-샴파인법

보고키-샴파인 방법은 프르제미스와프 보가키와 로렌스 F가 제안한 일반 미분방정식의 수치해결 방법이다.1989년 샴페인 (Bogacki & Shampine 1989년).보고키-샹파인 방법은 FSAL(First Same As Last) 속성으로 4단계의 3단계를 주문하는 룬게-쿠타 방식으로, 단계당 약 3회 기능 평가를 사용한다.적응 단계 크기를 구현하는 데 사용할 수 있는 내장형 2차 방식을 가지고 있다.보가키-샴파인 방법은 다음과 같다.ode3고정 스텝 해결사 및ode23MATLAB(Shampine & Reichelt 1997)의 가변 스텝 해결기 기능.

용액에 대한 조잡한 근사치만 필요한 경우, 순서 5의 도만드-프린스 방법과 같은 고차 방법보다 저차 방법이 더 적합하다.보고키와 샴핀은 자사의 방법이 2차 주문의 내장된 방식으로 다른 3차 주문 방식을 능가한다고 주장한다.

보고키-샴파인 방법의 푸줏대감은 다음과 같다.

표준 표기법에 따라 해결해야 할 미분방정식은 $y{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle f}$ (${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle y}$ )$${\$displaystyle$ y$'=f(t,y$이며, $나아가{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$n {\$displaystyle y_$${$n$}}$은 $시간{\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle t_{}}$ n$${\$displaystyt_$${n$}, ${n}}}$는 ${\displaystyle {단계}_{}}$ 크기로 정의되어 ${\displaystyle {}_{.}}$${\displaystyle 1_{}}$- ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 그러면 다음과 같이 보고키-샴페인 방법의 한 단계가 주어진다.

${\displaystyle {\displaysty}k_{1}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}})\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h_{n}k_{1})\\k_{3}&=f(t_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n},y_{n}+{\tfrac {3}{4}}h_{n}k_{2})\\y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {2}{9}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{3}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {4}{9}}h_{n}k_{3}\\k_{4}&=f(t_{n}+h_{n},y_{n+1})\\z_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {7}{24}}h_{n}k_{1}+{\tfrac {1}{4}}h_{n}k_{2}+{\tfrac {1}{3}}h_{n}k_{3}+{\tfrac {1}{8}}h_{n}k_{4}.\end{정렬}}}$

여기서 ${\displaystyle {zn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은 정확한 용액에 대한 2차 근사값이다$$.$y$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$를 계산하는 방법은 Ralston(1965) 때문이다.반면 ${\displaystyle {yn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은 3차 근사치여서$$ ${\displaystyle {yn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {zn}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$사이의 차이를 이용하여 단계 크기를 조정할 수 있다$$.FSAL (최초 마지막과 동일) 속성은 단계 값 k ${\$가 다음$$ 단계에서$$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와 동일하므로 단계당 기능 평가만 3회만 필요하다.

참조

• Bogacki, Przemysław; Shampine, Lawrence F. (1989), "A 3(2) pair of Runge–Kutta formulas", Applied Mathematics Letters, 2 (4): 321–325, doi:10.1016/0893-9659(89)90079-7, ISSN 0893-9659.
• Ralston, Anthony (1965), A First Course in Numerical Analysis, New York: McGraw-Hill.
• Shampine, Lawrence F.; Reichelt, Mark W. (1997), "The Matlab ODE Suite" (PDF), SIAM Journal on Scientific Computing, 18 (1): 1–22, doi:10.1137/S1064827594276424, ISSN 1064-8275.