CM-필드

수학에서 CM-필드는 특정 유형의 숫자 필드여서 복잡한 곱셈 이론과 밀접하게 연결하기 위해 이름이 붙여졌다.사용된 또 다른 이름은 J-field이다.

약칭 「CM」은 (시무라·타니야마 1961)에 의해 도입되었다.

형식 정의

숫자 필드 K는 2차 확장자 K/F일 경우 CM 필드인데, 여기서 기준 필드 F는 완전히 실재하지만 K는 완전히 가상이다.즉, 모든 F를 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 내장하는 것은 $전적$으로 R ${\$에 있지만$$$,$ K를 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 내장하는 것은 없다$.$

즉, K의 하위 필드 F가 있는데, K는 원소의 단일 제곱근에 의해 F에 걸쳐 생성된다, 즉 β = $\alpha {\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\sqrt{\$$lpha }}}$라고 하며$,$ 합리적인 숫자 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ Q에 대한$$β의 최소 다항식이 모든$$ 근원을 $비현실적$으로 복잡하게 한다$.$이 α는 $완전히{\displaystyle }$ 음수(-)로 선택해야 F ${\displaystyle F}$의 each을 각각$$ 실수 필드에 포함시킬 때 σ(α) < 0이 된다.

특성.

$CM{\displaystyle \mathbb{}}$ 필드의 한 가지 특징은 C ${\$의 복잡한 결합이 $C{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {C}$에 내장되어 있지 않은 필드의 자동화를 유도한다는$$ 것이다$.$ 주어진 표기법에서 β의 기호를 변경해야 한다.

숫자 필드 K는 "유닛 결함"이 있는 경우에만, 즉 단위 그룹이 K와 $동일$한 Z ${\$- 랭크를$$ 갖는 적절한 하위 필드 F를 포함하는 경우에만 CM 필드(Remak 1954)이다.사실 F는 위에서 언급한 K의 완전히 진짜 하위 분야다.이것은 디리클레의 단위 정리에서 따온 것이다.

예

• 가장 단순하고 동기부여가 되는 CM 필드의 예는 상상 속의 2차 필드인데, 이 분야에서는 완전히 실제적인 하위 필드가 이성들의 분야일 뿐이다.
• CM 필드의 가장 중요한 예 중 하나는 원초적인 n번째 단결에 의해 생성되는 사이클로토믹 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ (${\displaystyle {\zeta n}_{}}$ )${\displaystyle \mathb {Q} (\zeta _{n})$이다$.$완전히 실제 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}(}$ (${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle {\zeta n}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$)의 완전히 가상의 2차 확장이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {Q}(\zeta _{n}+\zeta _{n}^{$n}-$1}).$$}$ The latter is the fixed field of complex conjugation, and ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ is obtained from it by adjoining a square root of ${\displaystyle \zeta _{n}^{2}+\zeta _{n}^{-2}-2=(\zeta _{n}-\zeta _{n}^{-1})^{2}.}$
• 모든 CM 필드의 조합 Q는^CM 무한도가 있다는 점을 제외하면 CM 필드와 유사하다.그것은 모든 실제 분야 Q의^R 결합을 2차적으로 확장한 것이다.절대 갈루아 그룹 갈(Q/Q^R)은 갈(Q/Q)에서 순서 2의 모든 요소에 의해 (폐쇄 서브그룹으로) 생성되며 갈(Q/Q^CM)은 지수 2의 서브그룹이다.갈루아 그룹 갈(Q^CM/Q)은 순서 2의 요소(복합적 결합)에 의해 생성되는 중심을 가지고 있으며, 그 중심에 의한 지수는 그룹 갈(Q^R/Q)이다.
• V가 차원 n의 복잡한 아벨리아 품종이라면, V의 내형성 F의 아벨 대수 F는 Z보다 최대 2n의 순위를 가진다.만약 2n을 가지고 있고 V가 단순하다면, F는 CM-field의 주문이다.반대로 어떤 CM 장은 이등생성까지 독특한 어떤 단순한 복잡한 아벨의 다양성으로부터 이와 같이 발생한다.
• CM이 아닌 완전히 가상의 필드의 한 예는 다항식 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $4{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 1}$(\$displaystyle$ x$^{4}+x^{3}-x^{2}-x+$1}에 의해 정의된 숫자 필드 입니다$.$

참조

• Remak, Robert (1954), "Über algebraische Zahlkörper mit schwachem Einheitsdefekt", Compositio Mathematica (in German), 12: 35–80, Zbl 0055.26805
• Shimura, Goro (1971), Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 11, Princeton, N.J.: Princeton University Press
• Shimura, Goro; Taniyama, Yutaka (1961), Complex multiplication of abelian varieties and its applications to number theory, Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 6, Tokyo: The Mathematical Society of Japan, MR 0125113
• Washington, Lawrence C. (1996). Introduction to Cyclotomic fields (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047.