유리수

수학에서 유리수는 정수 p와 0이 아닌 분모 q의 몫$$ 또는 분수 ${\displaystyle \frac{\mathrm{pq}}{}}$ ${\tfrac {p}{q}}$로 표현할 수 있는 수입니다.^[1]예를 들어${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle {\tfrac {-3}{7}}$은(는) 모든 정수(예: 5 = 5/1)와 마찬가지로 유리수입니다.모든 유리수의 집합은 "유리수"라고도 하며,^[2] 유리수의^[3] 장 또는 유리수의 장은 보통 굵은 면 Q 또는 ^[4]칠판 굵은 면 $Q$로 표시됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ \$mathbb {Q} .}$

유리수는 실수입니다.유리수인 실수는 소수 확장이 유한 자리 수 뒤에 끝나거나(example: 3/4 = 0.75), 또는 같은 유한 자리 수열을 계속 반복하기 시작하는 실수입니다(example: 9/44 = 0.204545...).이 문장은 기본 10에서뿐만 아니라 이진법 및 16진수와 같은 다른 모든 정수 기본에서 참입니다(다른 기본으로 십진법 § 확장 반복 참조).

합리적이지 않은 실수를 무리수라고 합니다.^[7]무리수에는 제곱근 2($$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}),$ π, e 및 황금 비율(φ)이 포함됩니다.유리수 집합은 셀 수 있고 실수 집합은 셀 수 없기 때문에 거의 모든 실수는 비합리적입니다.^[1]

유리수는 다음과 같이 정의된 동치 관계를 사용하여 q ≠ 0인 정수 쌍(p, q)의 동치 클래스로 공식적으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle(p_{1},q_{1})\sim(p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}}$

분수$$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{pq}}{}}$ ${\$은(p, q)의 동등성 클래스를 나타냅니다.^[8]

유리수는 덧셈 및 곱셈과 함께 정수를 포함하는 필드를 형성하며 정수를 포함하는 모든 필드에 포함됩니다.즉, 유리수의 장은 소수의 장이며, 어떤 장은 유리수를 하위장으로 포함하는 경우에만 0의 특성을 갖습니다.$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 유한 확장을 대수적 수 필드라고 하며$$, $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 대수적 폐쇄는 대수적 수 필드입니다$$.^[9]

수학적 분석에서 유리수는 실수의 조밀한 부분 집합을 형성합니다.실수는 코시 수열, 데데킨트 컷 또는 무한 소수점을 사용하여 완성에 의해 유리수로 구성할 수 있습니다(실수 구성 참조).

용어.

집합 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 참조하여 유리수라는 용어는 유리수가 두 정수의 비율을 나타낸다는 사실을 나타냅니다$$.수학에서 "rational"은 종종 "rational number"를 줄인 명사로 사용됩니다.형용사 유리수는 때때로 계수가 유리수임을 의미합니다.예를 들어, 유리점은 유리좌표를 가진 점(즉, 좌표가 유리수인 점)이고, 유리행렬은 유리수의 행렬입니다. 유리다항식은 유리수를 가진 다항식이지만, "라" 사이의 혼동을 피하기 위해 "유리수 위의 다항식"이라는 용어가 일반적으로 선호됩니다."tational 식"과 "rational 함수" (다항식은 유리식이며 계수가 유리수가 아닐지라도 유리수 함수를 정의함).그러나 유리곡선은 유리곡선 위에 정의된 곡선이 아니라 유리함수에 의해 매개변수화될 수 있는 곡선입니다.

어원

오늘날 유리수는 비율로 정의되지만 유리수라는 용어는 비율의 파생이 아닙니다.반대로, 그것은 이성에서 파생된 비율입니다: 그것의 현대적인 의미를 가진 비율의 첫 사용은 약 1660년에 영어에서 증명되었고,^[10] 반면 한정된 숫자를 위한 이성의 사용은 거의 한 세기 전인 1570년에 나타났습니다.^[11]이성의 이러한 의미는 1551년에 처음 사용된 비이성적인 의미에서 비롯되었으며, 유클리드의 번역(유클리드의 독특한 ἄλογος 사용 이후)에서 사용되었습니다.

이 특이한 역사는 고대 그리스인들이 "비이성적인 길이를 숫자로 생각하는 것을 금지함으로써 이단을 회피했다"는 사실에서 비롯되었습니다.^[14]따라서 비논리적인 의미에서 그러한 길이는 "말할 것도 없이"(그리스어로 ἄλογος) 비이성적이었습니다.

이 어원은 허수와 실수의 어원과 비슷합니다.

산술학

환원불가능분율

모든 유리수는 축소할 수 없는 분수 $a{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{b}{},}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},$ 여기서 a와 b는 공모 정수이고 b > 0으로 고유하게 표현될$$ 수 있습니다.이것은 흔히 유리수의 표준형이라고 불립니다.

유리수 ${\displaystyle \frac{b}{},}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}$에서 시작하여, a와 b를 최대 공약수로 나누고, b < 0인 경우, 결과적인 분자와 분모의 부호를 변경함으로써 표준$$ 형식을 얻을 수 있습니다.

정수 포함

임의의 정수 n은 유리수 $n{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{},}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}$로 표현할 수 있으며, 이는$$ 유리수의 표준 형식입니다.

이퀄리티

${\displaystyle \frac{}{}}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle {\frac {a$}} = {\$frac {c}{d}}$인 경${\displaystyle \frac{우}{}}$에만 d = ${\displaystyle \mathrm{bc}}$ ${\displayst$${\displaystyle \frac{y}{}}$$le ad=bc}$

두 분수가 모두 표준 형태일 경우 다음을 수행합니다.

${\displaystyle \frac{}{}\frac{}{}}$$a =$ ${\displaystyle c}$ ${\$$displaystyle$ ${\frac {$}}={\$frac$ {c$}{d}}$인 $경$${\displaystyle \frac{우}{}}$에만 a $=$ ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\$displays${\displaystyle \frac{t}{}}$yle a=${\displaystyle \frac{c}{}}$$},$ b = d ${\displays$${\displaystyle \frac{t}{}}$$yle$b$=d}$

주문하기

두 분모가 모두 양인 경우(특히 두 분모가 모두 표준 형태인 경우):

< ${\$ d< .${\displaystyle ad<bc.}$인 경우에만 해당됨

반면에, 만약 어느 하나의 분모가 음수이면, 음수 분모를 가진 각 분모는 먼저 그 분자와 분모의 부호를 모두 바꿈으로써 양수 분모를 가진 동등한 형태로 변환되어야 합니다.^[8]

추가

다음과 같이 두 분수를 더합니다.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$

두 분수가 모두 정준 형식인 경우, b, d가 공준 정수인 경우에만 정준 형식으로 결과가 나타납니다.^[8][16]

뺄셈

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}.$

두 분수가 모두 정준 형식인 경우, b, d가 공준 정수인 경우에만 정준 형식으로 결과가 나타납니다.^[16]

곱셈

곱셈의 규칙은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}.$

두 개의 원래 분수가 모두 표준 형태라 하더라도 결과가 감소 가능한 분수일 수 있습니다.^[8][16]

역

${\displaystyle \frac{\mathrm{모든}}{}}$ 유리수 b ${\$에는 종종 그 반대라고 불리는 덧셈 역이 있습니다$$.

${\displaystyle -\left ({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}}$

${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$이(가) 표준 형식인 경우에는 그 반대 형식도 마찬가지입니다.

0이 아닌 유리수 ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\$에는 그 역수라고도 하는 곱셈 역수가 있습니다$$.

${\displaystyle \left ({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$이(가) 표준 형식이면 해당 역수의 표준 형식은 a의 부호에 따라$$ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$ 또는$$${\displaystyle \frac{\mathrm{-b}}{\mathrm{-a}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {-b}{-a$}}입니다$.$

나누기

b, c, d가 0이 아닌 경우 분할 규칙은

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}}}$

따라서 ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$를 ${\displaystyle \frac{\mathrm{cd}}{}}$ ${\$로 나눈 것은$$ b ${\$에 ${\displaystyle \frac{\mathrm{cd}}{}}$의 역수를 곱한 것과 같습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}:}$

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}$

정수 거듭제곱에 대한 지수화

만약 n이 음이 아닌 정수라면,

${\displaystyle \left ({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.$

${\displaystyle \frac{b}{}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}$에 대해서도 동일한 경우 결과는 표준 형식입니다.$}$특히$$.

${\displaystyle \left ({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$

만약 ≠가 0이면,

${\displaystyle \left ({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}}$

${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\$가 표준 형식인 경우 a > 0이거나 n이 짝수인 경우 ${\displaystyle \frac{{결과}^{}}{}}$의 표준 형식은 b$${\$displaystyle {\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}$입니다.그렇지 않으면 결과의 표준 형식은${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}}{a^{}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}$입니다.

연속 분율 표현

유한한 연속 분수는 다음과 같은 표현입니다.

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\ cfrac {1}{a_{2}}+{\ cfrac {1}{\dots +{\ cfrac {1}{a_{n}}}}},}$

여기서 a는_n 정수입니다.모든 유리수 ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\tfrac {a}{b}}$는 유한한 연속 분수로 나타낼 수 있으며$$, 계수 a는_n 유클리드 알고리즘을 (a, b)에 적용하여 결정할 수 있습니다.

기타 표현

• 공통분율: ${\displaystyle \frac{83}{}}$ ${\$
• 혼합 숫자: $22{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\$
• vinculum을 사용하여 십진법 반복하기: $6$¯ ${\$displaystyle 2.${\overline {6}}$
• 괄호를 사용하여 십진법 반복: $2{\displaystyle \mathrm{.}}$ (${\displaystyle 2.(6)}$
• 전통적인 타이포그래피를 사용한 연속 분율: $2{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{\frac{2}{}}{}}$ ${\$2 + ${\tfrac {$1$}$ ${$1 + ${\tfrac {1}}}}$
• 축약 표기법의 연속 분수:${\displaystyle }$[${\displaystyle 2;1,2]}$ ${\displaystyle [2;1,2]}$
• 이집트 분율: $2{\displaystyle \mathrm{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$+ ${\displaystyle \frac{16}{}}$ ${\$2 + ${\tfrac {1}{2$}} + ${\tfrac {1}{6}}$
• 프라임 파워 분해 : ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 3 ×${\displaystyle 3^{}}$ - 1 ${\$ 3$^{-1}}$
• 따옴표 표기법: $3{\displaystyle {\mathrm{}}^{\text{'}}}$ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\displaystyle 3' 6}$

동일한 합리적인 가치를 나타내는 다양한 방법입니다.

정식시공

유리수는 정수의 순서 쌍에 대한 동등성 클래스로 구성될 수 있습니다.^[8][16]

더 정확하게 말하면$,$ ( ${\displaystyle Z}$× (${\displaystyle Z}$ ∖${\displaystyle }${${\displaystyle 0\}}$)${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$를 n개의 ≠ 0과 같은 정수의 쌍(m, n)의 집합이라고 합니다.동치 관계는 이 집합에서 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle(m_{1},n_{1})\sim(m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}}.$^[8][16]

덧셈과 곱셈은 다음과 같은 규칙으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle(m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2},}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2})}$^[8]

이 동치 관계는 합동 관계이며, 이는 위에 정의된 덧셈 및 곱셈과 호환됨을 의미합니다. 유리수 $Q$ ${\displaystyle \mathbb {Q}}$ 집합은 이 동치 관계에 의해 설정된 몫으로 정의되며, (${\displaystyle Z}$× (${\displaystyle Z}$ ∖ {${\displaystyle 0\}}$)${\displaystyle }$/ ~${\displaystyle }$,${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {$Z$} \backslash \)$위 연산에 의해 유도된 덧셈과 곱셈을 갖춘$$ ${0\})/\sim,}.$(이 구성은 어떤 통합 영역에서도 수행될 수 있으며 분수 영역을 생성합니다.)^[8]

쌍(m, n)의 동등성 클래스가 ${\displaystyle \frac{\mathrm{mn}}{}}$으로 표시됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.$$}$두 쌍$$(m₁, n₁)과 (m₂, n)은 다음과 같은₂ 경우에만 같은 동치 클래스에 속합니다.

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}}$

이 말은

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

만일의^[8][16] 경우에만

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}}$

다음과 같이 모든 동등성 ${\displaystyle \frac{\mathrm{클래스}}{}}$ ${\$}}은$($는) 무한히 많은 쌍으로 표현될 수 있습니다$$.

${\displaystyle \cdots = {\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

각 동등성 클래스에는 고유한 표준 대표 요소가 들어 있습니다.정준 대표는 m과 n이 공준이고 n > 0인 등등식 클래스의 고유한 쌍 (m, n)입니다.그것은 유리수의 가장 낮은 용어로 대표라고 불립니다.

정수는 정수 n과 유리수 ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$을 구분하는 유리수로 간주될 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.$

총 순서는 정수의 자연 순서를 확장하는 유리수에 정의될 수 있습니다.한명은

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

한다면

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2}\&\qquad {\text{or}}\&(n_{1}n_{2}<0\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}.\end{aligned}}$

특성.

위에 표시된 덧셈 및 곱셈 연산과 함께 모든 유리수의$집합$ Q ${\displaystyle \mathbb$ {$Q}}$은(는) 필드를 형성합니다.^[8]

${\displaystyle \mathbb{Q}}$ ${\$에는 아이덴티티 외에 필드 오토모피즘이 없습니다$$. (필드 오토모피즘은 0과 1을 고정해야 합니다. 두 고정 요소의 합과 차이를 고정해야 하므로 모든 정수를 고정해야 합니다. 두 고정 요소의 몫을 고정해야 하므로 모든 유리수를 고정해야 하므로 아이덴티티가 됩니다.)

${\displaystyle \mathbb{Q}}$ ${\$은(는) 자신 이외의 하위 필드가 없는 필드입니다.^[17]유리수는 특성이 0인 가장 작은 필드입니다.특성 0의 모든 필드는 $Q$와 동형인 고유한 하위 필드를 포함합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

위에 정의된 순서에서 Q ${\$은(는) 자신 이외의 하위 필드가 없는 순서 필드이며^[16], 순서가 매겨진 필드가 $Q$와 동일한 고유한 하위 필드를 포함한다는 점에서 순서가 가장 작은 필드입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q}.}$

${\displaystyle \mathbb{Q}}$ ${\$은 정수 $Z$의 분수의 장입니다${\displaystyle .}${\$displaystyle \mathbb {Z} .}$ $Q{\displaystyle \mathbb{},}${\$displaystyle \mathbb {Q}$의^[18] 대수적 종결, 즉$$ 유리 다항식의 근장은 대수적 수의 장입니다.

유리수는 빽빽하게 배열된 집합입니다. 어떤 두 유리수 사이에 또 다른 유리수가 있고, 따라서 다른 유리수가 무한히 많습니다.^[8]예를 들어, 다음과 같은 임의의 두 분수에 대해

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

($여기$서 b${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b,d}$는 양수이다), 우리는

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}}.$

(위의 의미에서) 셀 수 있고, 밀도가 높고, 최소 또는 최대 원소가 없는 전체 순서 집합은 유리수와 동형입니다.^[19]

가산성

모든 유리수의 집합은 오른쪽 그림과 같이 셀 수 있습니다.유리수는 두 개의 정수의 비율로 표현될 수 있으므로 직교 좌표계에서와 같이 사각 격자의 임의의 점에 두 개의 정수를 할당하여 격자점이 유리수에 해당되도록 할 수 있습니다.그러나 이 방법은 여러 개의 다른 격자점이 동일한 유리수에 해당하므로 이중화의 형태를 나타냅니다. 제공된 그래픽에서 빨간색으로 강조 표시되어 있습니다.분명한 예는 대각선 방향으로 오른쪽 아래로 가는 선에서 볼 수 있습니다. 이러한 비율은 0이 아닌 수를 스스로 나누면 항상 1이 되기 때문에 항상 1이 됩니다.

이러한 중복 없이 모든 유리수를 생성할 수 있습니다. 예를 들어 칼킨-윌프 나무와 스턴-브로콧 나무가 있습니다.

모든 유리수의 집합은 셀 수 있고, 모든 실수의 집합은 셀 수 없으므로, 유리수의 집합은 귀무 집합, 즉 르베그 척도의 의미에서 거의 모든 실수는 비합리적입니다.

실수 및 위상 속성

유리수는 실수의 밀집된 부분 집합입니다. 모든 실수는 임의로 가까운 유리수를 가지고 있습니다.^[8]이와 관련된 성질은 유리수가 유한한 확장을 갖는 유일한 수가 정칙 연속 분수라는 것입니다.^[20]

실수의 일반적인 위상수학에서, 유리수는 열린집합도 아니고 닫힌집합도 아닙니다.^[21]

그들의 질서 덕분에 이성들은 질서 위상을 지니고 있습니다.유리수는 실수의 부분공간으로서 부분공간 위상을 가지기도 합니다.유리수는 절대차 메트릭 $d$ ${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle d(x,y$) = $x-y,}$을(를) 사용하여 메트릭 공간을 형성하고 $Q$. {\$displaystyle \mathbb {Q}$에서 세 번째 위상을 생성합니다$.}$ 세 위상 모두 일치하며 유리수를 위상 필드로 바꿉니다.유리수는 국소적으로 콤팩트하지 않은 공간의 중요한 예입니다.유리들은 위상학적으로 고립된 점이 없는 독특한 계수 가능한 공간으로 특징지어집니다.공간 또한 완전히 단절된 상태입니다.유리수는 완전한 메트릭 공간을 형성하지 않으며, 실수는 위의 $메트릭$ d${\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y)}$ = ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle y}${\$displaystyle d(x,y$) = $x-y$} 아래에서 $Q$ ${\displaystyle \mathbb {Q}$의 완성입니다.

p-adic 수

위에서 언급한 절대값 메트릭 외에도 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 위상 필드로$$ 변환하는 다른 메트릭이 있습니다.

p를 소수라고 하고 0이 아닌 정수 a에 ${\displaystyle 대해}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ - ${\displaystyle$ a $_{p$}=$p_{-n},$ 여기서 p는 p 나누기 a의 가장 높은 거듭제곱입니다.

추가 집합 ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$0 _${p$}= 0$.}$ 임의의 유리수 ${\displaystyle \frac{b}{}}$에${\displaystyle }$대해 ${\displaystyle {a}{b}}$을(를) 설정합니다.

${\displaystyle \left {\frac {a}{b}}\right _{p}={\frac {a _{p}}{b _{p}}}}$

그리고나서

${\displaystyle d_{p}(x,y)= x-y_{p}$

$.$ {\$displaystyle$ \$mathbb$ {$Q}$에 대한 메트릭을 정의합니다$.$

메트릭 공간$({\displaystyle Q\mathbb{},}$ ${\displaystyle {dp}_{}}$) ${\displaystyle(\mathbb {Q}, d_{p})}$이(가) 완료되지 않았으며, 이 값이 p-adic 숫자 필드 ${\displaystyle {}_{}}$입니다$.$ {\$displaystyle \mathbb {Q}$ _${p}.$$}$오스트로스키의$$ 정리는 $유리수{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$에 대한 자명하지 않은 절대값은 일반적인 실수 절대값 또는 p-adic 절대값과 동일하다는$$ 것입니다.

참고 항목

• 동차 유리수
• 부동점
• 포드 서클
• 가우스 유리수
• 순진한 높이—최저 항에서 합리적인 숫자의 높이
• 니븐 정리
• 합리적인자료형
• 신의 비율: 보편기하학에 대한 합리적 삼각법

수계 복잡한 ${\displaystyle :\;\mathbb {C}}$ 진짜 ${\displaystyle :\;\mathbb {R}}$ 합리적인 ${\displaystyle :\;\mathbb {Q}}$ 정수 ${\displaystyle :\;\mathbb {Z}}$ 자연의 ${\displaystyle :\;\mathbb {N}}$ 0: 0 하나: 1 소수 합성수 음의 정수 분수 유한 소수점 다이애딕 (유한 이진법) 십진반복 무리수 대수적 무리수 초월적 허수성

참고문헌

외부 링크

• "Rational number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld의 "Rational Number" – Wolfram 웹 리소스