퍼펙트 세트 속성

기술 집합 이론에서 폴란드 공간의 부분 집합은 셀 수 있거나 비어 있지 않은 완전한 부분 집합이 있는 경우 완벽한 집합 속성을 갖는다(Kechris 1995, 페이지 150).완벽한 집합 속성을 갖는 것은 완벽한 집합이 되는 것과 같지 않다는 점에 유의하십시오.

폴란드 공간에서의 비어 있지 않은 완벽한 집합은 항상 연속체의 카디널리티를 가지고 있고, 실재들이 폴란드 공간을 형성하므로, 완벽한 세트 속성을 가진 실재 집합은 연속체의 카디널리티를 가진 모든 실재 집합이 연속체 가설에 대한 백례일 수 없다.

칸토르-벤딕슨 정리에서는 폴란드 공간 X의 폐쇄된 집합은 특히 강한 형태의 완벽한 집합 속성을 가지고 있다고 기술하고 있다. 즉, X의 폐쇄된 하위 집합은 완벽한 집합과 카운트 가능한 집합의 분리 결합으로서 고유하게 쓰여질 수 있다.특히 모든 폴란드 공간은 완벽한 세트 속성을 가지고 있으며, 완벽한 세트와 셀 수 있는 오픈 세트의 분리 결합체로 쓰일 수 있다.

선택의 공리는 번스타인 세트와 같이 완벽한 세트 속성을 가지고 있지 않은 리얼 세트의 존재를 암시한다.그러나 ZF의 모든 공리는 충족시키되 선택 공리는 만족시키지 못하는 솔로베이의 모델에서는 모든 리얼의 집합이 완벽한 세트 속성을 가지고 있기 때문에 선택 공리의 활용이 필요하다.모든 분석 집합은 완벽한 집합 특성을 가지고 있다.충분히 큰 추기경의 존재로 인해 모든 투사 세트에는 완벽한 세트 속성이 있다.

참조

• Kechris, A. S. (1995), Classical Descriptive Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-8692-9