퍼펙트 세트

일반적인 위상에서는 위상학적 공간의 부분집합이 닫히고 분리된 점이 없는 경우 완벽하다.동등하게: S${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $S$$}$이(가) 완벽한 경우 $S{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $S$$}$이(가) $설정$되며$,$ $여기$서 S ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle S$$}$은 S ${\displaystyle$ S$}$의 파생 집합이라고도$$알려진 S {\displaystystyle S$}$의 모든 한계점 집합을 의미한다$.$

완벽한 세트에서 모든 포인트는 세트로부터 다른 포인트로 임의적으로 잘 추정할 수 있다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$와 포인트의 어떤 주변 지점의 어떤 점을 고려한다면, 그 부근에 놓여$$ $있는{\displaystyle }$S {\$displaystyle$ S$}$의 또 다른 포인트가 있다.또한 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 점으로 그렇게 근사하게 추정할 수 있는 공간의 모든 점은 S ${\displaystyle S}$에 속한다$$$.$

완벽한 공간이라는 용어는 위상적 공간의 다른 특성(예_δ: G 공간)을 지칭하기 위해 비호환적으로 사용되기도 한다.

예

실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 완벽한 하위 집합의 예로는 빈 세트, 모든 닫힌 간격, 실제 라인 자체 및 캔터 세트 등이 있다$$.후자는 완전히 단절되어 있다는 점에서 주목할 만하다.

다른 위상학적 속성과의 연결

모든 위상학적 공간은 완벽한 집합과 흩어진 집합의 분리된 결합으로서 독특한 방식으로 쓰여질 수 있다.^[1][2]

칸토어는 실제 라인의 모든 닫힌 부분집합은 완벽한 세트와 셀 수 있는 세트의 분리 결합으로 독특하게 쓰여질 수 있다는 것을 증명했다.이는 폴란드 공간의 모든 폐쇄된 하위 집합에 대해서도 보다 일반적으로 사실이며, 이 경우 정리를 칸토르-벤딕슨 정리라고 한다.

칸토어는 또한 실선의 모든 비빈 완벽한 부분집합에는 연속체의 카디널리티인$$카디널리티 2 ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ $[\$이 있다는 것을 보여주었다.이러한 결과는 다음과 같이 서술 집합 이론으로 확장된다.

• X가 격리된 점이 없는 완전한 메트릭스 공간인 경우, 캔터^ω 공간 2는 X에 지속적으로 내장될 수 있다.따라서 X의 카디널리티는 ${\displaystyle {{적어도\mathrm{}}_{}}^{}}$ $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ 0 ${\$ 2$^{\aleph_{0$ X가 분리 가능한 완전한 메트릭스 공간이라면 X의 카디널리티는 정확히 2 ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$이다$.$
• X가 고립된 지점이 없는 국소적인 하우스도르프 공간이라면 칸토어 공간부터 X까지 주입함수(연속적이지 않아도 됨)가 있어 X는 카디널리티가 최소 ${\displaystyle {2{\mathrm{}}_{}}^{}}$㎛ ${\$ 2$^{\aleph _{0}}$이다$.$

참고 항목

• 자체 밀도
• 유한교차특성
• 아공간 위상

메모들

참조

• 엥겔킹, 리스자드, 제너럴 토폴로지, 헬더만 베를라크 베를린, 1989.ISBN 3-88538-006-4
• Kechris, A. S. (1995), Classical Descriptive Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3540943749
• Levy, A. (1979), Basic Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag
• edited by Elliott Pearl. (2007), Pearl, Elliott (ed.), Open problems in topology. II, Elsevier, ISBN 978-0-444-52208-5, MR 2367385 {{citation}}: author=일반 이름 포함(도움말)