카우치 지수

수학적 분석에서, Cauchy 지수는 간격에 걸쳐 실제 이성 함수와 연관된 정수다.루스-허위츠 정리로는 다음과 같은 해석이 나온다.

r(x) = p(x)/q(x)

실제 라인 상공은 오른쪽 하프 평면에 위치한 f(z)의 루트 수와 왼쪽 하프 평면에 위치한 루트 수 간의 차이다.복합 다항식 f(z)는 다음과 같다.

f(iy) = q(y) + ip(y).

우리는 또한 p가 q의 정도보다 더 적은 학위를 가지고 있다고 가정해야 한다.

정의

• 카우치 지수는 1837년 아우구스틴 루이까우치에 의해 합리적 기능의 극 s에 대해 처음으로 다음과 같이 단측 한계를 사용하여 정의되었다.

${\displaystyle I_{s}r={\begin{cases}+1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=-\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=+\infty ,\\-1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=+\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=-\infty ,\\0,&{\text{otherwise.}}}\end{case}}$

• 콤팩트한 간격[a,b]에 대한 일반화는 직접적이다(a 또는 b가 r(x)의 극이 아닌 경우): 구간에 위치한 각 s에 대한 r의 cauchy 지수 ${\$의 합이다.우리는 보통 $그것$을 b ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle I_{a}^{b}r}$로 나타낸다$.$
• r의 극의 수는 유한한 수이기 때문에$$ (a,b를 무한대로 가는 것에 대해 [a,b]에 대한 Cauchy 지수의 한도를 취함으로써$){\displaystyle }$ 우리는 [ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, +${\displaystyle \mathrm{}}$]${\displaystyle }$] $[\displaystyle [-\inflat,+\infult ]}]$의 유형 간격으로 일반화할 수 있다.

예

• 합리적인 기능을 고려하십시오.

${\displaystyle r(x)={\frac {4x^{3}-3x}{16x^{5}-20x^{3}}+5x}={\frac {p(x)}{q(x)}}}}}}$

우리는 p(x)와 q(x)에서 각각 3도와 5도의 체비셰프 다항식을 인식한다.Therefore, r(x) has poles ${\displaystyle x_{1}=0.9511}$, ${\displaystyle x_{2}=0.5878}$, ${\displaystyle x_{3}=0}$, ${\displaystyle x_{4}=-0.5878}$ and ${\displaystyle x_{5}=-0.9511}$, i.e. ${\displaystyle x_j=\cos ((2i-1)\pi /2n}$${\displaystyle }$$)$$$$j$ = ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . . . . . . . . . . . . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . $.$ . . . . . . . . . . . . . . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $그림$에서 우리는 $사진$에서 볼 수 $있다.$ I x ${\displaystyle {1{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{x\mathrm{}}_{}}_{}}$ 1 r = 1 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ $r$ = I x 1$I_{x_{2$}}$r=1}$및$$ $I{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {4{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$= I ${\displaystyle {x{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{5\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle I_{x_{4}r=$$I_{x_{5}}r=-1$ 0의 극에 대해서는 왼쪽과 오른쪽 한계가$$ 같기 때문에(p(x)에도 0의 루트가 있기 때문에) $I{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {{3\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I_{x_{3}r=0}$이 있다.$I{\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle I_{-1}^{1}r=0=$로 결론짓는다.q(x)의 뿌리가 5개뿐이기 때문에$$ $I_{-\infit }^{+\infit }r}$이(가) 모두 [-1,1]에 있다.f(iy) = q(y) + ip(y)가 있는 각각의 복잡한 다항식이 상상의 선(명칭 원점에서)에 0을 가지기 때문에 여기서는 루스-허리츠 정리를 사용할 수 없다.

외부 링크

• 카우치 지수