프리젠테이션 콤플렉스

기하학적 그룹 이론에서, 프레젠테이션 콤플렉스는 그룹 G의 어떤 프레젠테이션과 연관된 2차원 셀 콤플렉스다.복합체에는 G의 각 발생기에 대해 정점 1개와 정점에 1개의 루프가 있다.프리젠테이션에는 각 관계에 대해 하나의 2-셀이 있으며, 2-셀의 경계가 해당 단어를 따라 부착되어 있다.

특성.

• 프리젠테이션 콤플렉스의 기본 그룹은 G그룹 그 자체다.
• 프리젠테이션 콤플렉스의 유니버설 커버는 G를 위한 케이리 콤플렉스인데, 1스켈레톤은 G의 케이리 그래프다.
• G에 대한 모든 표시 콤플렉스는 Eilenberg-MacLane $공간{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$(${\displaystyle G}$, $){\displaystyle$ K ($G,1)}$의 2-골격이다$.$

예

Let $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ G$=\mathb {Z} ^{2}}$은 2차원 정수 격자(표현 포함)로$$ 한다.

${\displaystyle G=\langle x,y xyx^{-1}y^{-1}{-1}\angle .}$

그 다음 G에 대한 표시 콤플렉스는 x와 y로 표시된 사각형의 반대쪽 면인 2-셀을 붙여서 얻은 토러스다.정사각형의 네 모서리는 모두 하나의 꼭지점인 프리젠테이션 콤플렉스의 0셀에 접착되어 있으며, 토러스 위의 긴 세로 원과 자오선 원으로 이루어진 한 쌍은 정점에서 교차하는 1-골격을 구성한다.

관련 케이리 콤플렉스는 단위 사각형으로 평면을 규칙적으로 타일링하는 것이다.이 단지의 1-골격은 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 에 대한 Cayley 그래프 입니다$.$

Let ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$ be the Infinite dihedral group, with presentation ${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{2}\rangle }$. The presentation complex for ${\displaystyle G}$ is ${\displaystyle \mathbb {RP}$$^{2}\ve \mathb {RP} ^{2}},$ 투영 평면의 쐐기 합$.$각 경로에 대해, 각 루프에 부착된 2개의 셀이 하나 있는데, 이것은 각 투영 평면에 표준적인 셀 구조를 제공한다.케이리 콤플렉스는 무한한 구들의 끈이다.^[1]

참조

• 로저 C. 린든과 폴 E. 슈프, 콤비네토리얼 집단 이론.1977년판 재인쇄(Ergebnisse der Mathalik und ihrer Grenzgebiete, Band 89).수학의 고전.Springer-Verlag, 2001년 ISBN 3-540-41158-5
• 로널드 브라운과 요하네스 휴브슈만, 런던 수학의 저차원 토폴로지에서 관계 사이의 정체성.Soc. 강의 노트 시리즈 48(ed)R. 브라운과 T.L.캠브리지 대학 출판부, 1982년), 페이지 153–202.
• 호그-안젤로니, 신시아, 메츨러, 볼프강, 시라드스키, 앨런 J(에드스).2차원 호모토피와 콤비네이터 그룹 이론, 런던수학학회 강의 노트 시리즈, 197권.케임브리지 대학 출판부, 케임브리지 (1993)