투영면

수학에서 투영면은 평면 개념을 확장하는 기하학적 구조다. 일반적인 유클리드 평면에서 두 선은 일반적으로 한 점에서 교차하지만, 교차하지 않는 선 쌍(이름, 평행선)이 있다. 투영면은 평행선이 교차하는 곳에 추가 "무한도에서의 점"을 갖춘 일반 평면이라고 생각할 수 있다. 따라서 투영 평면의 어떤 두 개의 구별되는 선은 한 점에서만 교차한다.

르네상스 예술가들은 원근법을 발전시키는데 있어서, 이 수학적 주제에 대한 기초를 닦았다. 전형적인 예가 확장된 유클리드 평면이라고도 알려진 실제 투영 평면이다.^[1] 이 예는 약간 다른 기구에서 중요한데, 다른 표기법들 중에서도 PG(2, R), RP² 또는₂ P(R)로 다양하게 나타낼 수 있는 대수 기하학, 위상 및 투영 기하학이다. 복잡한 투사면과 같이 무한하고, 파노 평면과 같이 유한한 투사 평면이 많이 있다.

투영면은 2차원 투영 공간이지만 모든 투영면이 3차원 투영 공간에 삽입될 수 있는 것은 아니다. 그러한 임베디빌리티는 모든 투영 평면이 공유하는 것이 아니라 데사게스의 정리라고 알려진 속성의 결과물이다.

정의

투영 평면은 선 집합, 점 집합, 발생이라고 하는 점 및 선 사이의 관계로 구성되며, 다음과 같은 특성을 갖는다.^[2]

두 번째 조건은 평행선이 없다는 것을 의미한다. 마지막 조건에서는 이른바 퇴행사례를 제외한다(아래 참조). "침입"이라는 용어는 점 및 선 사이의 관계의 대칭적 성격을 강조하기 위해 사용된다. 따라서 "P는 ℓ에 있다" 또는 "point is pross through P" 대신 "P는 point에 있다"라는 표현을 사용한다.

예

확장된 유클리드 평면

일반 유클리드 평면을 투영 평면으로 바꾸려면 다음과 같이 진행한다.

1. 선의 각 병렬 클래스(상호 평행선의 최대 집합)에 하나의 새로운 점을 연결한다. 그 점은 동급의 각 행과 관련된 것으로 간주해야 한다. 새로 추가된 점들은 서로 구별된다. 이 새로운 점들을 무한의 점이라고 부른다.
2. 무한(다른 점 없이)의 모든 점에 인시던트로 간주되는 새 선을 추가한다. 이 선은 무한에서 선이라고 불린다.

확장된 구조물은 투사면이며 확장된 유클리드 평면 또는 실제 투사면이라고 불린다. 위에서 요약한 과정을, 그것을 얻기 위해 사용하는 것을 「프로젝트 완료」 또는 프로젝트화라고 한다. 또한 이 평면은 벡터 공간으로 본 R에서³ 시작하여 구성할 수 있다. 아래의 § 벡터 공간 구조를 참조한다.

프로젝티브 몰튼 평면

물톤 평면의 지점은 유클리드 평면의 지점으로, 통상적인 방법으로 좌표를 가진다. 유클리드 평면에서 물톤 평면을 만들기 위해 일부 선은 다시 정의된다. 즉, 포인트 세트 중 일부는 변경되지만 다른 라인은 변경되지 않는다. 음의 기울기를 가진 모든 선을 "바운트" 선처럼 보이도록 다시 정의하십시오. 즉, 이 선들이 음의 x 좌표로 포인트를 유지하지만 나머지 점은 y 절절이 같지만 x 좌표가 양수인 곳이면 두 배의 기울기를 가진 선의 점으로 대체된다.

물톤 평면은 평행한 등급의 선들을 가지고 있으며 아핀 평면이다. 앞의 예와 같이 투영 물톤 평면을 얻기 위해 투영할 수 있다. 데스아게스의 정리는 물톤 평면이나 투영 물톤 평면에서 유효한 정리가 아니다.

유한한 예

이 예는 단지 13점과 13개의 선을 가지고 있다. P₁, ..., P₁₃ 및 선 m₁, ..., m₁₃. 발생 관계(어떤 선에 어떤 점이 있는지)에 라벨을 붙인다. 행은 점으로 표시되고 열은 선으로 표시된다. i열과 j열의 1은 p점이_i m라인에_j 있다는 것을 의미하고, 0(읽기 쉽도록 빈 셀로 표시)은 그들이 사고가 아니라는 것을 의미한다. 매트릭스는 페이지-벡슬러 정상형이다.

줄들 포인트	m1		m2	m3	m4		m5	m6	m7		m8	m9	m10		m11	m12	m13
P1	1		1	1	1
P2	1						1	1	1
P3	1										1	1	1
P4	1														1	1	1
P5			1				1				1				1
P6			1					1				1				1
P7			1						1				1				1
P8				1			1					1					1
P9				1				1					1		1
P10				1					1		1					1
P11					1		1						1			1
P12					1			1			1						1
P13					1				1			1			1

이것을 투영 평면으로 만드는 조건을 확인하려면, 두 행마다 1이 나타나는 공통 열(각 구별 점 쌍이 정확히 하나의 공통 선에 있음)이 정확히 하나 있고, 두 열마다 1이 나타나는 공통 행이 정확히 하나(각 구별 선 쌍이 정확히 한 점에서 일치함)이 있는지 관찰한다. 여러 가지 가능성 중에서 예를 들면 P₁,P₄,P₅,P₈,P가 세 번째 조건을 만족시킬 것이다. 이 예는 순서 3의 투영면이라고 알려져 있다.

벡터 공간 구성

확장된 실제 평면의 무한대에 있는 선이 그 투영 평면의 다른 선과는 다른 성질을 가질 수 있지만, 이것은 그렇지 않다. 동일한 투영 평면의 또 다른 구조는 어떤 선도 (기하학적 접지면에서) 다른 선과 구별할 수 없음을 보여준다. 이 구조에서 실제 투사면의 각 "점"은 3차원 벡터 공간에서 원점을 통과하는 1차원 아공간(기하선)이며, 투사면의 "선"은 3차원 공간의 원점을 통과하는 (기하)면에서 발생한다. 이 사상은 일반화할 수 있고 다음과 같이 더 정밀하게 만들 수 있다.^[3]

K를 어떤 디비전 링(스큐필드)이 되게 하라. Let K는³ K의 원소(벡터 공간으로 보는 데카르트 제품)의 모든 3중 x = (x₀, x₁, x₂)의 집합을 나타낸다. K에서³ 0이 아닌 x의 경우 x를 포함하는 K의³ 최소 하위 공간(원점을 통과하는 선에 있는 모든 벡터로 시각화할 수 있음)은 부분 집합이다.

${\displaystyle \{kx:k\in K\}}$

마찬가지로³, x와 y는 K의³ 선형 독립 요소로서 kx + my = 0은 k = m = 0을 의미한다. x와 y를 포함하는 K의³ 최소 하위 공간(원점을 통과하는 평면의 모든 벡터로 시각화할 수 있음)은 부분집합이다.

${\displaystyle \{kx+my:k,m\in K\}}$

이³ 2차원 아공간은 k와 m를 고정하고 결과 벡터의 배수를 취함으로써 얻을 수 있는 원점을 통해 다양한 1차원 아공간을 포함한다. 같은 비율인 k와 m의 다른 선택은 같은 선을 줄 것이다.

PG(2,K) 또는 KP로² 표시된 K 위의 투영 평면은 K의³ 모든 1차원 서브 스페이스로 구성된 점 집합을 가지고 있다. PG(2,K) 지점의 부분집합 L은 1차원 서브스페이스 세트가 정확히 L인 K의³ 2차원 서브공간이 존재하는 경우 PG(2,K)의 선이다.

이 공사로 인해 투영면이 생성되는지 검증하는 것은 대개 선형 대수학 연습으로 남겨진다.

이 건축에 대한 대체적인 견해는 다음과 같다. 이 투영 평면의 점은 동등성 관계를 나타내는 K³ ∖ {(0, 0, 0)} 모드의 동등성 등급이다.

x ~ kx, 모든 k in K에^× 대해.

투영 평면의 선은 위와 정확하게 정의된다.

PG(2,K)에서 점의 좌표(x₀, x, x₁₂)를 동종 좌표라고 한다. 각 3중(x₀₁₂, x, x)은 PG(2,K)에서 잘 정의된 점을 나타내며, 3중(0, 0, 0)은 점을 나타내지 않는다. 그러나 PG(2,K)의 각 점은 많은 세 곱으로 표현된다.

K가 위상학적 공간인 경우 KP는² 제품, 하위 공간 및 인지도 위상을 통해 위상을 상속한다.

고전적인 예

실제 투영 평면 RP는² K를 실제 숫자인 R으로 간주할 때 발생한다. 폐쇄적이고 방향성이 없는 실제 2-매니폴드로서 위상에서의 기본적인 예로서 기능한다.^[4]

이 구조에서 R의³ 원점에 중심을 둔 단위 구를 고려한다. 이 구조에서 각각의 R³ 선은 두 개의 항정신병 지점에서 구를 교차한다. R선은³ RP의² 한 점을 나타내기 때문에 구면의 반향점을 파악하여 동일한 RP² 모델을 얻을 것이다. RP의² 선은 이러한 항정신병 포인트의 식별 후에 구의 큰 원이 될 것이다. 이 설명은 타원형 기하학의 표준 모델을 제공한다.

복합 투영 평면 CP는² K를 복합 숫자 C로 간주할 때 발생한다. 그것은 폐쇄된 복합체 2-매니폴드, 따라서 폐쇄적이고 방향성이 있는 진짜 4-매니폴드다. 그것과 다른 분야(파피안 평면이라고 알려진) 위에 투영된 평면들은 대수 기하학에서 근본적인 예로서 기능한다.^[5]

Quaternionic projective plane HP도² 독립적 관심사다.^{[citation needed]}

유한장면

웨더번 정리(Wedderburn's Organization)에 의해 유한분할 고리는 반드시 상응해야 하며 따라서 필드가 되어야 한다. 따라서 이 구조의 유한한 예를 "필드 평면"이라고 한다. K를 prime p가 있는 q = p 원소의 유한한 장으로 가져가면 q + q² + 1 점의ⁿ 투영면이 생성된다. 필드 평면은 일반적으로 PG(2,q)로 표시되며, 여기서 PG는 투영 기하학을 의미하며, "2"는 치수이며, q는 평면의 순서(어느 선에 있는 점의 수보다 1개 작음)라고 불린다. 아래에서 논하는 파노 평면은 PG(2,2)로 표시된다. 위의 세 번째 예는 투영 평면 PG(2,3)이다.

Fano 평면은 두 원소의 영역에서 발생하는 투영 평면이다. 7점, 7선밖에 안 되는 가장 작은 투영 평면이다. 오른쪽 그림에서 7점은 작은 공으로 표시되고, 7선은 6개의 선분할과 원형으로 표시된다. 그러나 공은 "선"으로 간주하고, 선 세그먼트와 원을 "점"으로 간주할 수 있다. 이는 투영 평면의 이중성의 예로서 선과 점을 상호 교환하더라도 결과는 여전히 투영 평면(아래 참조)이다. 시준점에 시준점(동일한 선상의 점)을 전달하는 7개의 점의 순열을 평면의 선 또는 대칭이라고 한다. 지오메트리의 선형은 구성 중인 그룹을 형성하며, Fano 평면의 경우 이 그룹(PHBL(3,2) = PGL(3,2)은 168개의 요소를 가지고 있다.

데스아게스의 정리 및 데스아게스의 비행기

데스아게스의 정리는 위와 같이 꼬치밭 위에 3차원 벡터 공간에서 평면을 구성할 수 있는 경우에만 투영면에서 보편적으로 유효하다.^[6] 이 비행기들은 지라드 데사게스의 이름을 딴 데사게스 비행기라고 불린다. 위에 제시된 실제(또는 복잡한) 투영 평면과 순서 3의 투영 평면은 데사게스 투영 평면의 예다. 이런 식으로 건설할 수 없는 투영 평면을 비데사게스 평면이라고 하는데, 위에 주어진 몰튼 평면이 하나의 예다. PG(2,K) 표기법은 데사게스 비행기를 위해 남겨져 있다. K가 밭일 때, 아주 흔한 경우일 때, 그것들은 밭 평면으로도 알려져 있고, 밭이 유한한 밭일 경우 갈루아 평면으로도 불릴 수 있다.

서브플레인

투영 평면의 하위 평면은 동일한 발생 관계를 갖는 투영 평면을 형성하는 평면의 점의 하위 집합이다.

(Bruck 1955)는 다음과 같은 정리를 증명한다. π은 순서 M의 적절한 보조면 π을₀ 가진 순서 N의 유한 투영면이다. 그 다음 N = M² 또는 N ≥ M + M 중² 하나.

N이 정사각형일 때, 순서 √N의 아플레인은 Baer 아플레인으로 불린다. 평면의 모든 지점은 Baer 하위 평면의 선에 놓여 있고 평면의 모든 선은 Baer 하위 평면의 점을 포함한다.

유한 데사게스 평면 PG(2,pⁿ)에서 하위 평면은 유한장 GF(pⁿ)의 하위 필드의 순서, 즉 p의ⁱ divisor인 n의 divisor인 명령을 가진다. 그러나 데스투게스가 아닌 비행기에서는 브루크의 정리가 서브플레인 명령에 대한 유일한 정보를 준다. 이 정리의 불평등에서 평등의 경우는 발생하지 않는 것으로 알려져 있다. M² + M = N의 순서 N의 평면에 순서 M의 보조 평면이 존재하는지 여부는 공개 질문이다. 그러한 하위 항공기가 존재한다면 복합적(비 프라임 파워) 질서의 투영 평면이 존재할 것이다.

파노 서브플레인

Pano 하위 평면은 순서 2의 고유한 투영 평면인 PG(2,2)에 대한 이형 평면이다.

이 평면에서 사분면(점 4개 세트가 아닌 3개의 시준선)을 고려할 경우 점들이 평면의 선 중 6개를 결정한다. 나머지 세 점(쿼드랑글의 대각선 점이라고 함)은 쿼드랑글의 한 점에서 교차하지 않는 선들이 만나는 지점이다. 일곱 번째 선은 모든 대각선 점으로 구성된다(보통 원 또는 반원으로 그려짐).

유한 데카게스 평면, PG(2,q), q가 짝수(즉, 2의 힘)인 경우에만 파노 하위 평면이 존재한다. 논쟁의 여지가 없는 비행기의 상황은 불안정하다. 그들은 6보다 큰 어떤 비-도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비도비

공개적인 질문은 다음과 같다: 논쟁의 여지가 없는 모든 비행기에 Fano 보조 비행기가 포함되어 있는가?

(Gleason 1956)로 인한 Fano 하위 평면에 관한 정리는 다음과 같다.

유한 투영 평면의 모든 사분면에 대각선 점들이 일렬로 있는 경우, 평면은 (일률적으로) 논쟁의 여지가 없다.

아핀 비행기

유클리드 평면의 투영으로 실제 투영 평면이 생성되었다. 역방향 연산은 투영 평면에서 시작하여 하나의 선을 제거하고 그 선과 일치하는 모든 점들은 부착 평면을 생성한다.

정의

보다 공식적으로 아핀 평면은 선 집합과 점 집합으로 구성되며, 발생이라고 하는 점과 선 사이의 관계는 다음과 같은 특성을 갖는다.

두 번째 조건은 평행선이 있다는 뜻으로 플레이페어의 공리로 알려져 있다. 이 조건에서 "만나지 않는다"는 표현은 "두 줄 모두 점 사건이 존재하지 않는다"는 속칭이다.

유클리드 평면과 몰튼 평면은 무한 아핀 평면의 예다. 유한 투사 평면은 그 선 중 하나와 그 위의 점이 제거될 때 유한 아핀 평면을 생성한다. 유한 아핀 평면의 순서는 그 어느 선에서든 점의 수(이 순서는 그것이 온 투영 평면의 순서와 동일할 것이다)이다. 투사 평면 PG(2,q)에서 발생하는 부속 평면은 AG(2,q)로 표시된다.

순서 N의 부속 평면이 있는 경우에만 순서 N의 투영 평면이 있다. 순서 N의 부속면만 있을 때, 순서 N의 투영면만 있을 뿐, 그 역은 사실이 아니다. 투영 평면의 다른 선들의 제거에 의해 형성된 아핀 평면은 제거된 선들이 투영 평면의 콜라인먼트 그룹의 동일한 궤도에 있는 경우에만 이형화된다. 이 진술들은 무한히 투영적인 평면도 또한 담고 있다.

부착 평면에서 투영 평면의 시공

K 위의 아핀² 평면 K는 동일하지 않은 좌표를 균일한 좌표로 보내는 지도를 통해 KP에² 내장된다.

${\displaystyle(x_{1},x_{2})\mapsto(1,x_{1},x_{2}).}$

이미지의 보어는 형태(0, x, x₁₂)의 점 집합이다. 방금 주어진 임베딩의 관점에서 이 점들은 무한대의 점들이다. 그것들은 KP의² 선, 즉 비행기에서 발생하는 선을 구성한다.

${\displaystyle \{k(0,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K\}$

K에서³ - 무한대로 선을 호출한다. 무한대의 점은 확장된 실제 평면의 구성에서 평행선이 교차하는 "추가" 지점이며, 점(0, x, x₂)은 모든₁ 경사 x₂/x₁ 선이 교차하는 지점이다. 예를 들어 두 선을 고려하십시오.

${\displaystyle u=\{(x,0):x\in K\}$

${\displaystyle y=\{(x,1):x\in K\}}$

부속 비행기 K에² 이 선들은 경사가 0이고 교차하지 않는다. 위의 임베딩을 통해 KP의 하위² 집합으로 간주할 수 있지만, 이러한 하위 집합은 KP의² 라인이 아니다. 각 부분 집합에 점(0, 1, 0)을 추가한다. 즉, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\bar}}=\{(1,x,0):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}}}$

${\displaystyle {\bar{y}=\{(1,x,1):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}}}$

이것들은 KP의² 선이며, u는 평면에서 발생한다.

${\displaystyle \{k(1,0,0)+m(0,1,0):k,m\in K\}$

K에서³, while은 비행기에서 발생한다.

${\displaystyle {k(1,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K}.}$

투사선 u와 ȳ은 (0, 1, 0)에서 교차한다. 실제로 기울기 0의 K의² 모든 선은 이러한 방식으로 투영되었을 때 KP의² (0, 1, 0)에서 교차한다.

위에 주어진 KP에² K를² 내장하는 것은 독특하지 않다. 각각의 임베딩은 무한대의 점들에 대한 자신만의 개념을 생산한다. 예를 들면 임베딩.

${\displaystyle(x_{1},x_{2})\to(x_{2},1,x_{1}),}$

형태(x₀, 0, x₂)의 그러한 점(x, 0, x)을 보완하는 것으로서, 무한대의 점으로 간주한다.

아핀 평면이 K와 분할 링을 가진 K의² 형태를 갖추지 않았을 때, 여전히 투영 평면에 임베디드할 수 있지만, 위에서 사용한 공사는 효과가 없다. 이 경우에 임베딩을 수행하는 데 일반적으로 사용되는 방법에는 부속 좌표 세트를 확장하고 보다 일반적인 "알제브라"에서 작업하는 것이 포함된다.

일반화 좌표

좌표 "링"은 어떤 투사 평면에 대응되는 소위 평면 테너리 링(정품 링이 아님)으로 구성될 수 있다. 평면 테너리 링은 필드나 디비전 링이 필요하지 않으며, 디비전 링으로 구성되지 않은 투영 평면이 많다. 이들은 비데사게스 투영 비행기로 불리며 연구 활동 지역이다. 8분의 1 이상의 투영면인 케이리 평면(OP²)은 8분의 1이 분할 고리를 형성하지 않기 때문에 이 중 하나이다.^[3]

반대로 평면형 3차 고리(R,T)가 주어지면 투사면을 만들 수 있다(아래 참조). 그 관계는 일대일이 아니다. 투영 평면은 여러 개의 비이형 평면 링과 연관될 수 있다. 3차 연산자 T는 다음과 같은 방법으로 세트 R에 두 개의 이항 연산자를 생성하는 데 사용할 수 있다.

a + b = T(a, 1,b) 및

a • b = T(a,b,0)

ternary 연산자는 T(x,m,k) = x•m + k이면 선형이다. 투영 평면의 좌표 집합이 실제로 링을 형성할 때, 우측의 링 연산을 사용하여 평면 테너리 링을 생성하기 위해 선형 테너리 연산자를 이러한 방식으로 정의할 수 있다.

이 평면 좌표 링의 대수적 특성은 평면의 기하학적 발생 특성에 해당하는 것으로 판명된다. 예를 들어 데스아게스의 정리는 분할 링에서 얻어지는 좌표 링에 해당하는 반면, 파푸스의 정리는 이 링이 정류장에서 얻어지는 것에 해당한다. 파푸스의 정리를 보편적으로 만족시키는 투영면을 파피안 평면이라고 한다. 대안은, 반드시 연상되는 것은 아니지만, 옥토니언과 같은 분열 알헤브라는 무방 비행기에 해당한다.

데스아게스의 정리가 유한한 투영 평면에서 파푸스의 정리를 함축하고 있다는 순전히 기하학적 진술에 대한 알려진 것은 없다(핀라이트 데스아게스 평면은 파피안이다). (반전은 어떤 투영면에서도 사실이며 기하학적으로 증명할 수 있지만, 파피안이 아닌 무한 데스카게스 평면이 있기 때문에 이 진술에서는 정밀성이 필수적이다.) 가장 일반적인 증명은 분할 링과 웨더번 정리에서 유한 분할 링은 반드시 일치해야 한다는 좌표를 사용한다; 밤버그&펜틸라(2015)는 분할 링에 대한 "초등적인" 대수적 사실만을 사용하는 증표를 제시한다.

비균형 좌표 및 평면 3차 링을 사용한 유한 투사면 순서 N(2진수)을 설명하려면:

한 점을 라벨로 표시(표시)하도록 한다.

N개의 점, (r) 여기서 r = 0, ..., (N - 1) 레이블.

N² 점, (r, c) 여기서 r, c = 0, ..., (N - 1) 레이블을 붙인다.

이러한 점에서 다음 선을 생성하십시오.

한 줄 [∞] = { (∞), (0), ..., (N - 1)}

N 선 [c] = {(수평), (c,0), ..., (c, N - 1)}, 여기서 c = 0, ..., (N - 1)

N² 선 [r, c] = {(r) 및 점(x, T(x,r,c) }, 여기서 x, r, c = 0, ..., (N - 1) 및 T는 평면형 3차 링의 3차 연산자다.

예를 들어, N=2의 경우 순서 2의 유한한 영역과 연관된 기호 {0,1}을(를) 사용할 수 있다. T(x,m,k) = xm + k로 정의한 3차 연산은 우측 연산은 현장에서 곱셈과 덧셈으로 다음을 산출한다.

한 줄 [∞] = { (∞), (0), (1)},

2줄 [c] = {(실행), (c,0), (c,1) : c = 0, 1},

[0] = {(∞), (0,0), (0,1) }

[1] = {(∞), (1,0), (1,1) }

4행 [r, c]: (r) 및 점(i,ir + c), 여기서 i = 0, 1 : r, c = 0, 1

[0,0]: {(0), (0,0), (1,0) }

[0,1]: {(0), (0,1), (1,1) }

[1,0]: {(1), (0,0), (1,1) }

[1,1]: {(1), (0,1), (1,0) }

퇴행 평면

퇴행 평면은 투영 평면의 정의에서 세 번째 조건을 충족하지 않는다. 그들은 구조적으로 복잡해서 그들 자신의 권리에 흥미를 가질 수 있는 것은 아니지만, 때때로 일반적인 논쟁에서 특별한 사례로 떠오른다. (앨버트 & 샌들러 1968)에 따르면 퇴행 평면은 7종류가 있다. 다음 구성 요소:

1. 빈 세트;
2. 선이 없는 단일 점
3. 점 없는 단일 선
4. 단일 점, 선 모음, 모든 선과 관련된 점
5. 단일 선, 점 집합, 점들이 모두 선과 일치한다.
6. 선 m이 있는 점 P 사건, P가 발생한 점의 임의 모음 및 M이 발생한 점의 임의 모음.
7. 선 m과 충돌하지 않는 점 P, 임의(비울 수 있음) 선들의 집합 P와 이 선들의 모든 교차점 m과 충돌한다.

이들 7건은 독립성이 없어 4차, 5차, 2차, 5차 각각 4차, 5차 각각 특례로 볼 수 있다. 추가 선이 없는 7번째 평면의 특수한 경우는 8번째 평면으로 볼 수 있다. 따라서 모든 경우를 다음과 같이 퇴행 평면의 두 패밀리로 구성할 수 있다(이 표현은 유한 퇴행 평면을 위한 것이지만 자연적인 방법으로 무한으로 확장될 수 있다).

1) P_1m, ..., P_n, 선 L₁, ..., L,

L₁ = { P₁, P₂, ..., P_n}

L₂ = { P₁ }

L₃ = { P₁ }

...

L_m = { P₁ }

2) P₁, ..., P_n 및 L₁, ..., L_n, (점수는 선과 동일)

L₁ = { P₂, P₃, ..., P_n }

L₂ = { P₁, P₂ }

L₃ = { P₁, P₃ }

...

L_n = { P₁, P_n }

콜라인먼트

투영 평면의 연선은 발생을 보존하는 선에 점 및 선을 매핑하는 면 자체에 대한 편향 지도로서, 만약 σ이 바이어싱이고 P가 라인 m에 있다면 P는^σ m에^σ 있다는 것을 의미한다.^[7]

σ이 투사면의 직선인 경우 P = P를^σ 갖는 P점을 fixed의 고정점이라고 하고, m = m을^σ 갖는 선 m을 fixed의 고정선이라고 한다. 고정 선의 점들은 고정된 점일 필요는 없으며, σ 아래의 그들의 이미지는 단지 이 선에 놓여지도록 제약될 뿐이다. 연선의 고정점 및 고정선의 집합은 닫힌 구성을 형성하는데, 이는 투영면의 정의에서 처음 두 가지 조건을 만족하지만 반드시 세 번째 조건을 만족하지는 않는 점 및 선의 시스템이다. 따라서 어떤 콜라인화에 대한 고정점 및 고정선 구조는 스스로 투영 평면을 형성하거나 퇴행 평면을 형성한다. 고정된 구조가 평면을 형성하는 콜라인을 평면 콜라인이라고 한다.

동음이의어

PG(2,K)의 호모그래피(또는 투사 변환)는 이러한 유형의 투사 평면의 콜라인으로, 기저 벡터 공간의 선형 변환이다. 균일한 좌표를 사용하면 K에 대한 변위성 3 × 3 행렬로 나타낼 수 있으며, 이 행렬은 PG(2,K)의 점에 y = M^T x로 작용한다. 여기서 x와 y는³ K에 있는 변위성 3 × 3 행렬이다.^[8] 한 행렬이 다른 행렬의 일정한 배수인 경우 두 행렬은 동일한 투영적 변환을 나타낸다. 따라서 투영적 변환 그룹은 투영적 선형 그룹이라고 하는 스칼라 행렬에 의한 일반 선형 그룹의 몫이다.

또 다른 형태의 PG(2,K)는 K의 어떤 자동형성에 의해 유도되며, 이를 자동형 콜라인이라고 한다. α가 K의 자동형이라면 (x₀,x₁,x₂) → (x₀^α,x₁^α,x₂^α)가 주는 콜라인화는 자동형 콜라인이다. 투영 기하학의 기본 정리는 PG(2,K)의 모든 콜라인은 동음계와 자동형 콜라인의 구성이라고 말한다. 자동형 콜라인은 평면형 콜라인이다.

평면 이중성

투영 평면은 점의 집합 P, 선의 집합 L 및 어떤 점이 어느 선에 놓여 있는지 결정하는 발생 관계 I의 관점에서 자명하게 발생 구조로 정의된다. P와 L은 셋팅만 돼 있어 각자의 역할을 서로 교환할 수 있고 평면 이중구조를 정의할 수 있다.

에서 "점"과 "선"의 역할을 상호 교환함

C = (P,L,I)

우리는 이중 구조를 얻는다.

C* = (L,P,I*),

여기서 I*는 I의 역관계다.

투사 평면에서는 "점"과 "선"이라는 단어를 서로 바꾸어 필요한 문법적 조정을 함으로써 점, 선, 발생을 포함하는 문장을 첫 번째의 평면 이중 문법이라고 한다. '두 지점이 독특한 선상에 있다'는 비행기 이중 문장은 '두 선이 독특한 지점에서 만난다'는 것이다. 진술의 평면을 이중으로 형성하는 것을 진술의 이중화라고 한다.

투영 평면 C에서 문장이 참인 경우, 해당 문장의 평면 이중은 이중 평면 C*에서 참이어야 한다. 이는 "C"라는 증명에 있는 각 진술의 이원화는 "C*"라는 증명에 대한 진술을 제공하기 때문에 뒤따른다.

투영 평면 C에서는 4개의 선이 존재하며, 그 중 3개는 동시에 존재하지 않음을 알 수 있다. 이 정리와 투사면의 정의에서 처음 두 개의 공리를 이원화하면 평면 이중구조 C*도 투사면이며, C의 이중면이라고 한다.

만약 C와 C*가 이형이라면, C는 자기이형이라고 불린다. 모든 디비전 링 K에 대한 투영 평면 PG(2,K)는 자체 이중이다. 그러나, 홀 비행기나 휴즈 비행기 같은 자가 복용이 아닌 비 데카게스 비행기들이 있다.

평면 이중성의 원리는 자기 이중 투영 평면 C의 어떤 정리를 이원화하면 C에서 유효한 또 다른 정리가 생성된다고 말한다.

상관 관계

이중성은 투영 평면 C = (P, L, I)에서 발생률을 보존하는 이중 평면 C* = (L, P, I*) (위 참조)에 이르는 지도다. 즉, 이중성 σ은^σ 점 Q가 선 m (Q^σ I m으로 표시됨)에 있으면^σ Q I* m^σ ⇔ m^σ I Q^σ. 이형성인 이중성을 상관관계라고 한다.^[9] 상관관계가 존재하는 경우 투영 평면 C는 자체 이중이다.

투영 평면이 PG(2,K)형인 특별한 경우, K는 분할 링으로, 이중성을 상호주의라고 한다.^[10] 이 비행기들은 항상 자기 이중적이다. 투영 기하학의 근본적인 정리에 의해 상호주의는 K와 동음이의 자동함수의 구성이다. 만약 관련된 자동형이 정체성이라면, 상호주의를 프로젝트적 상관관계라고 부른다.

순서 2의 상관관계를 극성이라고 한다. 상관관계 φ이 극성이 아닌 경우 φ은² 비극성 결합이다.

유한 투영 평면

투영 평면은 점(무한 또는 유한)이 있는 것과 같은 수의 선을 가지고 있음을 보여줄 수 있다. 따라서 모든 유한 투영 평면에 대해 평면이 가진 정수 N ≥ 2가 있다.

N² + N + 1점,

N² + N + 1행,

각 선에 N + 1개 점,

각 점을 통과하는 N + 1 선

숫자 N은 투영 평면의 순서라고 불린다.

순서 2의 투영면을 파노 평면이라고 한다. 유한 기하학에 대한 기사도 참조하십시오.

한정된 장을 가진 벡터 공간 구조를 사용하면 각 primary p에ⁿ 대해 순서 N = p의ⁿ 투영 평면이 존재한다. 사실, 알려진 모든 유한한 투영 평면에 대해, N 순서는 원시적인 힘이다.

다른 질서의 유한한 투영면의 존재는 공공연한 문제다. 주문에 대해 알려진 유일한 일반적인 제한은 Bruck-Ryser-Chowla 정리인데, 만일 주문 N이 1 또는 2 mod 4에 합치된다면, 그것은 두 제곱의 합이어야 한다. 이것은 N = 6을 배제한다. 다음 사례인 N = 10은 대규모 컴퓨터 계산에 의해 배제되었다. 더 이상 알려진 것은 없다; 특히, 순서 N = 12의 유한한 투영 평면이 존재하는가에 대한 문제는 여전히 열려 있다.

또 다른 오랜 개방형 문제는 유한한 필드 평면이 아닌 프라임 순서의 유한한 투영 평면이 존재하는지 여부(동등하게, 프라임 순서의 비 데스칼리언 투영 평면이 존재하는지 여부)이다.

순서 N의 투영면은 Steiner S(2, N + 1, N² + N + 1) 시스템이다(Steiner 시스템 참조). 반대로, 이 형태의 모든 스타이너 시스템(λ = 2)이 투영 평면이라는 것을 증명할 수 있다.

순서 N의 상호 직교 라틴어 정사각형 수는 최대 N - 1. 순서 N의 투영면이 있는 경우에만 N - 1이 존재한다.

모든 투영 평면의 분류가 완전하지는 않지만, 결과는 소량 주문에 대해 알려져 있다.

• 2 : PG(2,2)에 대한 모든 이형성
• 3 : PG(2,3)에 대한 모든 이형성
• 4 : PG(2,4)에 대한 모든 이형성
• 5 : PG(2,5)에 대한 모든 이형성
• 6 : 오일러의 36명의 장교 문제가 해결책이 없다는 것을 보여준 타리에 의해 증명된 투영 비행기의 순서로는 불가능하다. 그러나 이러한 문제들 사이의 연관성은 1938년 보세 감독이 증명하기 전까지는 알려지지 않았다.^[11]
• 7 : PG(2,7)에 대한 모든 이형성
• 8 : PG(2,8)에 대한 모든 이형성
• 9 : PG(2,9), 그리고 세 가지 다른 (비이성형) 비데사게스 비행기: 휴즈 비행기, 홀 비행기, 그리고 이 홀 평면의 이중 평면. 모든 것은 (룸 앤 커크패트릭 1971)에 설명되어 있다.
• 10 : 무거운 컴퓨터 계산으로 증명된 투영 평면의 순서로는 불가능하다.^[12]
• 11 : 최소한 PG(2,11)는 알려져 있지 않지만 다른 것들은 가능하다.
• 12 : 투사면의 주문으로서 불가능하다고 추측된다.

고차원 투영 공간의 투영 평면

투영 평면은 "지오메트리" 치수 2의 투영 기하학적 기하학적 기하학으로 생각할 수 있다.^[13] 고차원 투영 기하학은 투영 평면의 정의와 유사한 방식으로 발생 관계의 관점에서 정의될 수 있다. 이것들은 여분의 자유도가 데스아게스의 정리를 고차원 기하학에서 기하학적으로 증명할 수 있게 해주기 때문에 투영 평면보다 "타머"로 판명된다. 이는 기하학과 연관된 좌표 "링"이 분할 고리(스큐필드) K여야 하며, 투영 기하학은 벡터 공간 K^d+1, 즉 PG(d,K)에서 생성된 것과 이형성이라는 것을 의미한다. 앞에서 주어진 시공에서와 같이 d차원 투영공간 PG(d,K)의 점은 K의^{d + 1} 원점을 통과하는 선이며, PG(d,K)의 선은 K의^{d + 1} 원점을 통과하는 평면에 해당한다. 실제로 i < d를 가진 PG(d,K)의 각 i차원 물체는 K의^{d + 1} (i + 1)차원(algebraic) 벡터 서브공간("원점을 통과한다")이다. 투사적인 공간은 그라스만 공간까지 일반화된다.

데스아게스의 정리가 2보다 큰 차원의 투사적 공간에서 유지된다면, 그 공간 안에 들어 있는 모든 평면에서도 보유해야 한다는 것을 알 수 있다. 데스아게스의 정리가 실패하는 투영면(비 데스아게스 평면)이 있기 때문에 이 평면들은 더 높은 차원의 투영 공간에 내장할 수 없다. 벡터 공간 구조 PG(2,K)의 평면만 더 높은 차원의 투영 공간에 나타날 수 있다. 수학의 일부 학문은 투사면의 의미를 이러한 유형의 투사 평면으로만 제한한다. 그렇지 않으면 투사 공간에 대한 일반적 진술은 기하학적 치수가 두 개일 때 예외를 항상 언급해야 하기 때문이다.^[14]

참고 항목

• 블록 설계 - 유한 투영 평면의 일반화.
• 조합 설계
• 발생 구조
• 일반화 다각형
• 투영 기하학
• 비데사게스 평면
• 부드러운 투영면
• 유한 투영 평면의 횡단
• 잘린 투영 평면 - 하나의 꼭지점이 제거된 투영 평면.
• 유한 투영 평면의 VC 치수

메모들

참조

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968), An Introduction to Finite Projective Planes, New York: Holt, Rinehart and Winston
• Baez, John C. (2002), "The octonions", Bull. Amer. Math. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID 586512
• Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), "Completing Segre's proof of Wedderburn's little theorem" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 47 (3): 483–492, doi:10.1112/blms/bdv021
• Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97926-3
• Bruck, R. H. (1955), "Difference Sets in a Finite Group", Trans. Amer. Math. Soc., 78 (2): 464–481, doi:10.1090/s0002-9947-1955-0069791-3
• Bruck, R. H.; Bose, R. C. (1964), "The Construction of Translation Planes from Projective Spaces" (PDF), J. Algebra, 1: 85–102, doi:10.1016/0021-8693(64)90010-9
• Casse, Rey (2006), Projective Geometry: An Introduction, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Gleason, Andrew M. (1956), "Finite Fano planes", American Journal of Mathematics, 78 (4): 797–807, doi:10.2307/2372469, JSTOR 2372469, MR 0082684
• Hall, Marshall (1943), "Projective planes", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR 0008892
• Hughes, D.; Piper, F. (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Kárteszi, F. (1976), Introduction to Finite Geometries, Amsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Lam, Clement W. H. (1991), "The Search for a Finite Projective Plane of order 10", American Mathematical Monthly, 98 (4): 305–318, doi:10.2307/2323798, JSTOR 2323798
• 린드너, 찰스 C, 크리스토퍼 A. 로저(에드) 디자인 이론, CRC-Press; 1판(1997년 10월 31일). ISBN 0-8493-3986-3.
• Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes, Berlin: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
• Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society, 3 (2): 192–195, doi:10.2307/1986419, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986419
• Room, T. G.; Kirkpatrick, P. B. (1971), Miniquaternion Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
• Shafarevich, I. R. (1994), Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag, ISBN 0-387-54812-2
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9

외부 링크

• G. 에릭 무어하우스, 소질서의 투영 평면, (2003)
• 위벨: 비사르게스 항공기 조사
• Weisstein, Eric W. "Projective plane". MathWorld.
• 플래닛매트릭스의 "투영 평면"