중앙 구성

Central configuration

천체 역학과 n체 문제의 수학에서 중심 구성은 각 질량이 질량 중심을 향해 직접 끌어당기는 성질을 가진 점 질량의 시스템이며, 중심으로부터의 거리에 비례하는 가속도를 가지고 있다.중앙 구성은 차원 1, 2, 3만이 천체 역학과 직접 관련되기는 하지만 어떤 차원의 유클리드 공간에서 연구될 수 있다.[1][2]

예

n개의 동일한 질량의 경우, 하나의 가능한 중앙 구성은 질량을 일반 폴리곤(클렘페러 로제트 형성), 플라토닉 솔리드 또는 더 높은 차원의 일반 폴리토프의 정점에 배치한다.그 구성의 중심성은 그 대칭성에서 따온 것이다.또한 임의 질량의 추가 지점을 시스템 질량의 중심에 배치하는 것도 그 중심을 바꾸지 않고 가능하다.[1]

3개의 질량을 정삼각형, 4개의 질량을 정사면체의 정점에 배치하거나 보다 일반적으로 일반 단순형의 정점에 n개의 질량을 배치하면 질량이 같지 않을 때에도 중심적인 구성이 생성된다.이것은 이러한 질량을 위한 유일한 중심 구성으로서 저차원 아공간 안에 있지 않다.[1]

역학

뉴턴의 만유인력의 법칙에 따르면, 중앙의 구성으로 놓여진 신체는 질량의 중심에서 충돌로 붕괴될 때 그 구성을 유지할 것이다.2차원 중앙 구성의 신체 시스템은 상대적 위치를 유지하면서 질량 중심을 중심으로 원형 궤도를 돌거나 타원의 초점에 질량 중심이 있는 타원 궤도로 안정되게 공전할 수 있다.이것들은 입자의 시스템이 항상 초기 구성과 유사하게 유지되는 3차원 공간에서 가능한 유일한 안정적인 궤도들이다.[1]

보다 일반적으로, 뉴턴 인력 아래에서 움직이는 입자 체계는 모두 시공간 단 한 지점에서 충돌하며, 시간은 충돌 시간에 경향이 있기 때문에 한계에 있는 중심 구성에 근사하게 될 것이다.마찬가지로, 결국 정확히 탈출 속도로 서로를 탈출시키는 입자 체계는 시간이 무한대로 가는 경향이 있을 때 한계에서 중심 구성에 근사하게 될 것이다.그리고 뉴턴의 중력 아래에서 마치 강체처럼 움직이는 입자 체계는 중심적인 구성으로 그렇게 해야 한다.지구 대양의 큰 폭풍 시스템과 같은 2차원 유체 역학에서의 무리들은 또한 중심적인 구성으로 그들 자신을 배열하는 경향이 있다.[2]

열거

두 개의 중심 구성이 유사할 경우, 즉 회전, 번역, 스케일링의 어떤 조합에 의해 서로 변형될 수 있는 경우 등가로 간주된다.이 등가성의 정의로는 한두 점의 구성이 하나일 뿐이며, 항상 중심이다.

세 구의 시체의 경우, 레온하르트 오일러가 발견한 1차원 중심 구성은 3가지다.3점 중심 구성 집합의 정밀성은 3체 문제에 대한 그의 해결책에서 조셉 루이스 라그랑주에 의해 나타났다; 라그랑주는 3개의 점이 정삼각형의 정점을 이루는 단 하나의 비협착 중심 구성이 있다는 것을 보여주었다.[2]

어떤 차원에서도 네 개의 점들은 아주 미세하게 많은 중심 구성만을 가지고 있다.이 경우 구성의 수는 점의 질량에 따라 최소 32개, 최대 8472개다.[3][4]4개의 동일한 질량의 유일한 볼록한 중심 구성은 사각형이다.[5]3차원에 걸친 4개 질량의 유일한 중심 구성은 일반 사면체의 정점에 의해 형성된 구성이다.[6]

임의로 하나의 차원에 있는 많은 점의 경우, 선에 있는 점의 n!/2 선형 순서(순서의 역순까지) 각각에 하나씩, 다시 미세하게 많은 해결책만 존재한다.[1][2][7][8]

수학의 미해결 문제:

모든 차원에 점 질량의 모든 유한한 집합에 대해 한정된 수의 중심 구성이 있는가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

n개 점 질량의 모든 집합과 n개보다 작은 모든 차원에 대해, 해당 차원에 대한 적어도 하나의 중심 구성이 존재한다.[1]거의 모든 질량의 n-tule에 대해 정확히 n - 2차원에 이르는 "Djiobek" 구성이 정밀하게 많다.[1]그것은 2차원 이상에서 5개 이상의 질량에 대해 항상 한정된 수의 중심 구성이 존재하는지 채지(1918년)와 윈트너(1941)가 제기하는 미해결 문제다.1998년 스티븐 스마일은 이 문제를 "다음 세기를 위한 수학적 문제" 목록에 6번째 포함시켰다.[2][9][10][11]부분 진행으로, 거의 모든 5-tule의 질량에 대해, 5개의 점으로 이루어진 2차원 중심 구성의 한정된 수만이 있을 뿐이다.[12]

구성의 특수 클래스

쌓다

중심 구성은 그 질량의 부분집합이 중심 구성을 형성하는 경우 쌓였다고 한다.예를 들어, 이것은 사각 피라미드를 형성하는 동일한 질량, 피라미드 밑부분에 있는 네 개의 질량 또한 중심 구성을 형성하고, 또는 삼각형 모양의 비피라미드를 형성하는 질량, 비피라미드의 중심 삼각형 안에 있는 세 개의 질량 또한 중심 구성을 형성하고 있는 질량일 수 있다.[13]

스파이더웹

거미줄 중앙 구성은 다른 선들의 집합과 동심원 집합의 교차점에 질량이 놓여져 동일한 각도로 원의 중심에서 만나는 구성이다.하나의 원이 있는 선의 교차점은 모두 동일한 질량의 점으로 점유되어야 하지만 질량은 원마다 다를 수 있다.추가 질량(0일 수 있음)이 시스템 중앙에 위치한다.스파이더웹 중심 구성의 각 동심원 상에 원하는 선 수, 원의 수 및 질량의 프로필에 대해, 이러한 매개변수와 일치하는 스파이더웹 중심 구성을 찾을 수 있다.[14][15]마찬가지로 중첩된 플라토닉 고형분 또는 직교 그룹의 유한 부분군의 보다 일반적인 집단-이성 궤도를 위한 중심 구성을 얻을 수 있다.[16]

제임스 서점 맥스웰은 이러한 구성의 특별한 경우를 원 위의 동일한 간격의 점에 하나의 원, 거대한 중심체, 그리고 훨씬 가벼운 몸을 가진 특별한 경우를 토성의 고리의 움직임을 이해하는 데 사용할 수 있다고 제안했다.[14][17]Saari(2015)는 질량 분포가 알려진 거미줄 중심 구성에서 생성된 안정적인 궤도를 사용하여 은하의 질량 분포에 대한 고전적 추정 방법의 정확성을 시험했다.그의 결과는 이러한 방법들이 상당히 부정확할 수 있다는 것을 보여주었는데, 이는 잠재적으로 표준 이론들이 예측하는 것보다 은하 운동을 예측하는 데 더 적은 암흑 물질이 필요하다는 것을 보여준다.[14]

참조

  1. ^ a b c d e f g Moeckel, Richard (2015), "Central configurations", in Llibre, Jaume; Moeckel, Richard; Simó, Carles (eds.), Central Configurations, Periodic Orbits, and Hamiltonian Systems, Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona, Basel: Springer, pp. 105–167, doi:10.1007/978-3-0348-0933-7_2, MR 3469182
  2. ^ a b c d e Saari, Donald G. (2011), "Central Configurations—A Problem for the Twenty-first Century" (PDF), in Shubin, Tatiana; Hayes, David; Alexanderson, Gerald (eds.), Expeditions in mathematics, MAA Spectrum, Washington, DC: Mathematical Association of America, pp. 283–297, ISBN 978-0-88385-571-3, MR 2849696
  3. ^ Albouy, Alain (1995), "Symétrie des configurations centrales de quatre corps", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 320 (2): 217–220, MR 1320359
  4. ^ Hampton, Marshall; Moeckel, Richard (2006), "Finiteness of relative equilibria of the four-body problem", Inventiones Mathematicae, 163 (2): 289–312, doi:10.1007/s00222-005-0461-0, MR 2207019, S2CID 1293751
  5. ^ Albouy, Alain (1996), "The symmetric central configurations of four equal masses", Hamiltonian dynamics and celestial mechanics (Seattle, WA, 1995), Contemporary Mathematics, vol. 198, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 131–135, doi:10.1090/conm/198/02494, MR 1409157
  6. ^ Pizzetti, Paolo (1904), "Casi particolari del problema dei tre corpi", Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 13: 17–26
  7. ^ Albouy, Alain; Fu, Yanning (2007), "Euler configurations and quasi-polynomial systems", Regular and Chaotic Dynamics, 12 (1): 39–55, arXiv:math-ph/0603075, doi:10.1134/S1560354707010042, MR 2350295, S2CID 18065509
  8. ^ Moulton, F. R. (1910), "The straight line solutions of the problem of n bodies", Annals of Mathematics, Second Series, 12 (1): 1–17, doi:10.2307/2007159, JSTOR 2007159, MR 1503509
  9. ^ Chazy, J. (1918), "Sur certaines trajectoires du problème des n corps", Bulletin Astronomique, 35: 321–389
  10. ^ Wintner, Aurel (1941), The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton Mathematical Series, vol. 5, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, MR 0005824
  11. ^ Smale, Steve (1998), "Mathematical problems for the next century", The Mathematical Intelligencer, 20 (2): 7–15, doi:10.1007/BF03025291, MR 1631413, S2CID 1331144
  12. ^ Albouy, Alain; Kaloshin, Vadim (2012), "Finiteness of central configurations of five bodies in the plane", Annals of Mathematics, Second Series, 176 (1): 535–588, doi:10.4007/annals.2012.176.1.10, MR 2925390
  13. ^ Hampton, Marshall (2005), "Stacked central configurations: new examples in the planar five-body problem", Nonlinearity, 18 (5): 2299–2304, doi:10.1088/0951-7715/18/5/021, MR 2164743
  14. ^ a b c Saari, Donald G. (April 2015), "N-body solutions and computing galactic masses", The Astronomical Journal, 149 (5): 174, doi:10.1088/0004-6256/149/5/174
  15. ^ Hénot, Olivier; Rousseau, Christiane (2019), "Spiderweb central configurations", Qualitative Theory of Dynamical Systems, 18 (3): 1135–1160, doi:10.1007/s12346-019-00330-y, MR 4028598
  16. ^ Montaldi, James (2015), "Existence of symmetric central configurations" (PDF), Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 122 (4): 405–418, doi:10.1007/s10569-015-9625-4, MR 3368140, S2CID 16906550
  17. ^ Maxwell, James Clerk (1859), On the stability of the motion of Saturn's rings, Cambridge: Macmillan, Bibcode:1859osms.book.....M, doi:10.3931/e-rara-244