체발리-경고 정리

수 이론에서, Chevalley-Warning 정리는 유한한 분야에 걸쳐 충분히 많은 변수의 특정 다항식 방정식들이 해답을 가지고 있음을 암시한다.에발트 경고(1935년)에 의해 증명되었고, 체발리의 정리라고 알려진 약간 약한 형태의 정리가 체발리(1935년)에 의해 증명되었다.체발리의 정리는 유한장이 준거지로 폐쇄된 필드라는 아르틴과 딕슨의 추측을 암시했다(Artin 1982, x페이지).

정리 명세서

Let ${\displaystyle \mathbb {F} }$ be a finite field and ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j=1}^{r}\subseteq \mathbb {F} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ be a set of polynomials such that the number of variables satisfies

${\displaystyle n>\sum _{j=1}^{r}d_{j}}}$

여기서 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 f ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 총 도이다$.$이론들은 다항식의 다음 시스템의 해법에 대한 진술이다.

${\displaystyle f_{j}(x_{1},\filename,x_{n})=0\filename {\text{for}\,j=1,\ldots,r.}$

• Chevalley–Warning theorem states that the number of common solutions ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {F} ^{n}}$ is divisible by the characteristic ${\displaystyle p}$ of ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Or in other words, the cardinality of the vanishing set of ${\displaystyle \{f_j}$${\displaystyle {}_{}{\}}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ modulo$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 입니다$.$
• Chevalley's theorem states that if the system has the trivial solution ${\displaystyle (0,\dots ,0)\in \mathbb {F} ^{n}}$, i.e. if the polynomials have no constant terms, then the system also has a non-trivial solution ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})$$\in \mathbb {F} ^{n}\백슬래시 \{(0,\dots,0$

그 Chevalley–Warning 정리의 슈발레의 정리는 즉각적인 결과 이후 p{p\displaystyle}적어도 2.

둘 다 정리 가장 잘, 어떤 n{n\displaystyle}, 목록 fj는 의미에서))j, j=1,…, n{\displaystyle f_{j}=x_{j},j=1,\dots ,n}이 총 학위 n{n\displaystyle}이며, 자명 한해 가능하다.또는, 단 하나의 다항식을 사용하여, 우리는 학위 n다항식x1a1+의 규범에 의해 주어지f1하지 그래요+xnan 위해 pn의 유한한 분야의 요소를 양식한 기본 요소입니다.

경고하는 다항식의 시스템은 사소한 해결책을 가지고 있다는 것을}의 한정된 분야의q{\displaystyle q}은 크기와 d솔루션 적어도q n− d{\displaystyle q^{n-d}되었다고 표시하는 다른 정리, 경고의 제2부호화 정리로 알려진:=d1+⋯+dr{\displaystyle d:=d_{1}것을 증명했다.+\dots +d_{r}}. 슈발레의 정리도 직접적으로 이것의 의미를 따른다.

경고의 증거 정리

레마르크:만약 제가 <, q − 1{\displaystyle i<, q-1}.

${\displaystyle \sum_{x\in \mathbb{F}}x^{나는}=0}.$

그래서 Fnx1,…의 다항식의(^{n}})n{\displaystyle x_{1},\ldots 넘기}정도의 n보다(q− 1){\displaystyle n(q-1)}또한 사라진다 덜 ,x_{n}.

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle f_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}=0}$의 총 공통 솔루션 수는 $다음$과 같다$$.

${\displaystyle \sum _{x\in \mathb {F}^{n}}}{n}(1-f_{1}^{1})(x)\cdots \cdots \cdots(1-f_{r}^{q-1})(x)}$

각 항은 용액에 대해 1이고 그렇지 않으면 0이기 때문이다.다항식 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 도합이 n보다 작으면$$ 위의 언급에 의해 이 값이 사라진다.

아르틴의 추측

유한장이 준거지로 폐쇄되는 것은 체발리의 정리의 결과다.이것은 1935년 에밀 아르틴에 의해 추측되었다.아르틴의 추측 이면의 동기는 준거지로 폐쇄된 들판이 사소한 브라워 그룹을 가지고 있다는 그의 관찰과 더불어 유한한 들판이 웨더번의 정리상 사소한 브라워 그룹을 가지고 있다는 사실이었다.

악스-카츠 정리

James Ax와 Nicholas Katz의 이름을 딴 Ax-Katz 정리는 솔루션 수를 나누는$$ $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$q}$의$$카디널리티 q {\$displaystyleq$$^{$$b}}$의 파워 ${\displaystyle q^{}}${\$displaystytle$ d$}$를 보다 ${\displaystyle {정확}_{}}$하게 결정한다$.$ $여기$서 d ${\$d.$j$ 그러면 지수 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) 천장 함수로 취할 수 있다$$.

${\displaystyle {\frac {n-\sum _{j}d_{j}}}.}$

Ax-Katz 결과는 국소 제타 함수의 0과 극에 대한 불분명한 결과로서 Etal cohomology에 해석된다.즉, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 동일한 검정력은 이러한 대수 정수를 각각 나눈다$$.

참고 항목

• 콤비나토리얼 널스텔렌사츠

참조

• Artin, Emil (1982), Lang, Serge.; Tate, John (eds.), Collected papers, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90686-7, MR 0671416
• Ax, James (1964), "Zeros of polynomials over finite fields", American Journal of Mathematics, 86: 255–261, doi:10.2307/2373163, MR 0160775
• Chevalley, Claude (1935), "Démonstration d'une hypothèse de M. Artin", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (in French), 11: 73–75, doi:10.1007/BF02940714, JFM 61.1043.01, Zbl 0011.14504
• Katz, Nicholas M. (1971), "On a theorem of Ax", Amer. J. Math., 93 (2): 485–499, doi:10.2307/2373389
• Warning, Ewald (1935), "Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (in German), 11: 76–83, doi:10.1007/BF02940715, JFM 61.1043.02, Zbl 0011.14601
• Serre, Jean-Pierre (1973), A course in arithmetic, pp. 5–6, ISBN 0-387-90040-3

외부 링크

• "Proof's of the Chevalley-Warning theorem".