선택순서

직관적 수학에서 선택 순서는 일련의 구성적 공식이다.L. E. J. 브루워에 의해 공식화된 직관주의 수학학교는 완성된 무한대의 사상을 거부하기 때문에, 수열(고전 수학에서는 무한의 물체)을 사용하기 위해서는 수열과 같은 목적을 수행할 수 있는 유한하고 구성 가능한 물체의 제형을 갖추어야 한다.따라서 브루워는 추상적이고 무한한 물체가 아닌 하나의 구성으로 주어지는 선택 순서를 공식화했다.

합법적이고 무법적인 순서

무법적인 것과 법률적인 것 같은 순서는 구별된다.법률과 같은 순서는 완전히 기술될 수 있는 것이다. 그것은 완전히 기술될 수 있는 완성된 공사다.예를 들어 자연수 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$N} }$은(는) 법칙과 같은 시퀀스로 생각할 수$$ 있다. 즉, 순서는 고유한 요소 0과 후속 함수에 의해 완전히 건설적으로 설명될 수 있다.이 공식으로 볼 때, $자연수{\displaystyle }$ 순서에서 i$$ ${\displaystyle i-1}$ 원소가 숫자 $i{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$이 될 것이라는 것을 알 수 있다$.$ 이와 유사하게 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ f$:\mathb {N} \mapsto \mathb {N}}$을 자연수에서 자연수로 매핑하는 것이 효과적으로 결정된다.어떤 논거에 대한 가치, 따라서 법률과 같은 순서를 기술한다.

반면에 무법(무법, 자유) 순서는 미리 정해지지 않은 것이다.인수 0, 1, 2, ....에 대한 값을 생성하기 위한 절차라고 생각할 수 있다.즉, 무법 시퀀스 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle \alpha _{1$ ...(순서의 요소 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystystylepha \alpha$를 생성하는 절차로 다음과$$ 같다.

• 시퀀스 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 구성 순간에는 시퀀스의 초기 세그먼트만 알려져 있으며,$$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ $\}\text{'}$의 미래 값에는 제한이 없다.
• α$\alpha {\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ , ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \langle$\langle \$langle \alpha$_{0},\$alpha _{$1},\ldots$,\$alpha$$$_${k}\$langle$ $}$을 미리 지정할 수 있다$.$

위의 첫 번째 지점은, 예를 들어, 시퀀스의 값이 자연수 집합에서 독점적으로 도출된다는 것을 명시할 수 있기 때문에 약간 오해의 소지가 있다는 점에 유의하십시오. 즉, 시퀀스의 범위(priori)를 지정할 수 있다.

무법 수열의 표준적인 예는 주사위의 연속이다.$사용$할 다이(die)를 지정하고 선택적으로$$첫 번째 k {\$displaystyle$ k$}$롤의$$ 값을 미리 지정한다($k{\displaystyle n\mathbb{}}$ N$${\$displaystyle k\in \mathb {N}).$또한 시퀀스 값을 세트${\displaystyle }${${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 6\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}$에 제한한다$.$ 이 규격은 해당 무법 시퀀스를 생성하는 절차로 구성된다.그렇다면, 알려진 수열의 어떤 특정한 미래 가치도 아니다.

공리화

위에서 설명한 선택 시퀀스를 보유할 것으로 예상하는 공리에는 특히 두 가지가 있다.$\alpha {\displaystyle }$${\displaystyle }$α ${\displaystyle \alpha }$n {\$displaystyle \alpha \in n}$은$($는) "sequence $\alpha {\displaystyle }$ ${\\displaystyle \alpha }$ 및$$ 유한 $세그먼트{\displaystyle }$ n$$${\displaystyle n}$에 대한 초기 시퀀스 $n{\displaystyle }$ ${\displaystystyle n$에서 시작됨$$$$" 관계를 나타냅시다$$($$더($더{\displaystyle }$).유한 초기 시퀀스를 인코딩하는 테거).

우리는 오픈 데이터의 공리라고 불리는 다음과 같은 것들이 모든 무법적인 순서를 보유하기를 기대한다.

$\displaystyle A(\alpha )\rightarrow \exists n[\alpha \inn\,\land \,\all \beta \inn[A(\beta )]]}$

$여기$서 ${\displaystyle$ A$}$은(는) 단위의 술어다.이 공리에 대한 직관적인 정당성은 다음과 같다:직관론적 수학에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $α$ {\displaystyle \$alpha }$을(를) 보유하는지$$ 검증하는 절차는 절차로 주어진다. 이 절차를 실행하는 어떤 지점에서라도 시퀀스의 유한 초기 세그먼트만 검사했을 것이다.직관적으로, 그렇다면 이 공리는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 보유하는지 확인하는 모든 시점에서$,$ 우리는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$이(가) $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaysty$ $\alpha$ $\}$의 유한 초기 시퀀스를 보유하는지$$ 확인했을 뿐이므로, $반드시{\displaystyle }$ A$${\\\\\\discHS$}$에 대해 확인한다고 기술한다.o는 이 초기 시퀀스를$$ 공유하는 모든 무법 시퀀스 $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \cHB }$을(를) 보유한다.이는 우리가 $이미{\displaystyle }$ 조사했던$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$로 $인코딩$된 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 초기 접두사를 공유하는$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\alpha $}$에 대해 $A$(${\displaystyle \alpha }$$){\displaystystyle \}$를 확인하는 절차의 어느 지점에서나 동일한 절차를 실행한다면,$베타$ $\},$ 우리는 같은 결과를 얻을 것이다.공리는 임의의 수의 인수를 취하는 모든 술어에 대해 일반화될 수 있다.

무법 서열에는 또 다른 공리가 필요하다.밀도의 공리, 다음과 같이 주어진다.

$[\displaystyle \forall n\,\display \forall \,\display \in n]}$

모든 유한한 접두사(수치 기준) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$에 대해 해당 접두사로 시작하는$$ 일부 시퀀스 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ \ $}$이(가) 있음을 명시한다.우리는 선택 순서에 어떤 "구멍"이 생기지 않도록 이 공리를 요구한다.이 공리는 우리가 무법 선택 시퀀스의 임의로 긴 유한한 초기 시퀀스를 미리 지정할 수 있도록 요구하는 이유다. 이 요구사항이 없다면 밀도의 공리가 반드시 보장되는 것은 아니다.

참조

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