스타크-히그너 정리

Stark–Heegner theorem

숫자 이론에서 베이커-히그너-스타크 정리는[1] 어떤 2차 가상의 숫자 장이 정수의 링에서 고유한 요소화를 인정하는지를 정확하게 기술한다.주어진 고정 등급 번호를 갖는 가상의 2차 필드 수를 결정하는 가우스 등급 번호 문제의 특수한 경우를 해결한다.

Q는 합리적인 숫자의 집합을 나타내며, d는 제곱이 아닌 정수로 한다.그 후 Q(√d)는 2차 연장이라고 하는 2차 연장이라는 2차원의 Q의 유한한 연장이다.Q(class number of Q)는 Q(class number of Q)의 정수 링의 이상 동등성 등급의 수로서, 여기서 두 개의 이상 I와 J는 (a)I = (b)J와 같은 주요한 이상 (a)와 (b)J가 존재하는 경우에만 동등하다.따라서 Q(제곱)의 정수 링은 Q(제곱)의 클래스 번호가 1인 경우에만 주요 이상 영역(따라서 고유한 인수 영역)이다.베이커-히그너-스타크 정리는 다음과 같이 진술할 수 있다.

d < 0일 경우, Q(√d)의 클래스 번호는 if and only that if and only who.

이것들은 희그너 숫자로 알려져 있다.

또한 이 목록은 다음과 같이 작성되며 -1을 -4로, -2를 -8로 대체한다([2]필드는 변경되지 않음).

여기서 D는 판별(숫자 필드 또는 복잡한 곱셈이 있는 타원 곡선 중 하나)로 해석된다.D는 기본적인 차별이기 때문에 이것은 더 표준적이다.

역사

이 결과는 가우스가 그의 디스퀴즈 산수화 (1798)의 303절에서 처음으로 추측했다.그것은 본질적으로 1952년 쿠르트 희그너에 의해 증명되었지만, 희그너의 증명에는 약간의 사소한 공백이 있었고 정리도 1967년 해롤드 스타크가 완전한 증거를 제시하기 전까지는 받아들여지지 않았다. 희그너의 작품에는 많은 공통점이 있었지만, 스타크가 증명들을 다르게 여기는 충분히 많은 차이점들이 있었다.[3]Heegner는 "그가 무슨 짓을 했는지 아무도 제대로 이해하기 전에 죽었다"[4]고 말했다.스타크는 1969년 히그너의 증거에 공식적으로 공백을 메웠다(다른 현대 신문들은 모듈식 기능에 의해 다양한 유사한 증거를 생산했지만 스타크는 명시적으로 희그너의 공백을 메우는 데 주력했다).[5]

앨런 베이커는 스타크의 작품(1966년)보다 조금 일찍(또는 더 정확히 말하면 베이커는 1963/4 논문에서 이미 이 연산을 제공하고 있는 스타크의 작품으로 그 결과를 유한한 연산량으로 줄였다) 그의 방법으로는 필즈상을 수상했다.이후 스타크는 3개의 로그에 선형 형태를 포함하는 베이커의 증거가 그 결과가 겔폰드와 린닉에 의해 이미 알려진 1949년부터 2개의 로그로 축소될 수 있다고 지적했다.[6]

스타크의 1969년 논문(Stark 1969a)도 하인리히 마틴 베버의 1895년 원문을 인용하며 "만약 베버가 [특정 방정식]의 환원성이 디오판틴 방정식으로 이어질 것이라는 관측만 했다면 계급 1번 문제는 60년 전에 해결되었을 것"이라고 언급했다.브라이언 버치는 베버의 책, 그리고 본질적으로 모듈식 기능의 전분야가 반세기 동안 흥미를 잃었다고 지적한다: "불행하게도, 1952년에는 히그너의 업적을 감상할 만큼 베버의 대수학에서 충분히 전문가인 사람이 남아 있지 않았다."[7]

듀링, 시겔, 차우라는 모두 스타크 직후 몇 년 동안 모듈식 기능에 의해 약간 변형된 증명서를 주었다.[8]이 장르의 다른 버전들도 지난 몇 년 동안 계속 발전해 왔다.예를 들어, 1985년에 몬수르 켄쿠는 클라인 쿼틱을 사용한 증거를 제공했다([9]그러나 다시 모듈 기능을 활용했다).그리고 다시 1999년에 임인 첸은 (시겔의 윤곽에 따라) 모듈형 기능에 의한 또 다른 변종 증거를 주었다.[10]

그로스와 자기에(1986) (Gross & Zagier 1986)의 작품과 골드펠드(1976년)의 작품도 대안적인 증거를 제시한다.[11]

리얼 케이스

반면 Q(√d)가 1등급인 d > 0이 무한히 많은지는 알 수 없다.계산 결과는 그러한 분야가 많다는 것을 보여준다.1번 클래스가 있는 Number Fields는 이들 중 몇 가지 목록을 제공한다.

메모들

  1. ^ 엘키스(1999)는 이것을 스타크-히그너 정리(Stark-Heegner points에 대한 인식)라고 부르지만, 베이커의 이름을 생략하는 것은 비정형적이다.초라(1970년)는 논문 제목에 듀링과 시겔을 무상으로 추가했다.
  2. ^ 엘키즈(1999), 페이지 93.
  3. ^ 스타크 (2011) 페이지 42
  4. ^ 골드펠트(1985년).
  5. ^ 스타크(1969a)
  6. ^ 스타크(1969b)
  7. ^ 버치(2004)
  8. ^ 차우라 (1970년)
  9. ^ 겐쿠(1985년).
  10. ^ 첸(1999년)
  11. ^ 골드펠트(1985)

참조