디스쿼지 산술

Disquisitiones Arithmeticae
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가우스가 21세 때인 1798년에 칼 프리드리히 가우스가 라틴어로 쓴 수론 교과서이며, 그가 24세 때인 1801년에 처음 출판되었다.그것은 수이론의 분야를 진정으로 엄격하고 체계화 했을 뿐만 아니라 현대 수이론의 길을 닦았기 때문에 수이론의 분야에 혁명적인 영향을 끼친 것으로 유명하다.이 책에서 가우스는 페르마, 오일러, 라그랑주, 레전드르와 같은 수학자들에 의해 얻어진 수 이론의 결과들을 종합하고 조화시켰으며 그 자신의 심오하고 독창적인 결과들을 많이 추가했다.

범위

디스퀴지즈는 기본 수 이론과 현재 대수적 수 이론이라고 불리는 수학 영역의 일부를 다룬다.가우스는 현대 대수학의 중심인 군 개념을 명확하게 인식하지 못했기 때문에, 그는 이 용어를 사용하지 않았다.그의 과목에 대한 그의 직함은 고등 산술이었다.가우스는 디스퀴지션의 서문에서 이 책의 범위를 다음과 같이 설명한다.

이 권에서 조사할 연구는 정수와 관련된 수학의 그 부분에 관한 것이다.

가우스는 또한 "많은 어려운 문제에 직면했을 때, 독자들이 이 작품을 언급할 때 간결함을 위해 파생이 억제되었습니다." (Quod, pluribus Quaestionibus difficlibus, demplicibus sum, analysinque per Quamerutae sunt suntuppressi, imprimis bre vreatis triendum trivendum cu fier pier pi)라고 쓰고 있습니다.쥐콘슐레 ortebat")

내용물

다음 항목도 참조하십시오.모듈식 산술

이 책은 7개의 섹션으로 나누어져 있다.

  1. 일반적으로 일치하는 수
  2. 제1급의 일치
  3. 권한의 잔존
  4. 제2급 합치
  5. 제2급 형식 및 부정식
  6. 전술한 논의의 다양한 적용
  7. 원의 단면을 정의하는 방정식

이 섹션들은 366개의 번호가 매겨진 항목들로 세분화되는데, 이 항목들은 증명된 정리를 진술하거나 다른 방법으로 주석이나 생각을 발전시킨다.

제1절부터 제3절까지는 페르마의 작은 정리, 윌슨의 정리, 원시근의 존재를 포함한 이전의 결과들에 대한 리뷰이다.비록 이 부분들의 결과들 중 독창적인 것은 거의 없지만, 가우스는 이 자료를 체계적인 방법으로 합친 최초의 수학자였다.그는 또한 그가 현대 도구를 사용하여 반복하고 증명하는 독특한 인수 분해의 성질의 중요성을 깨달았다.

섹션 IV 이후, 대부분의 작품은 독창적이다.섹션 IV는 2차 상호성의 증거를 개발한다; 섹션 V는 책의 절반 이상을 차지하고 있으며, 2차 및 3차 2차 형식에 대한 포괄적인 분석이다.섹션 VI에는 두 가지 다른 프라이머리 테스트가 포함되어 있습니다.마지막으로 섹션 VII는 구성 가능한 정규 다각형, 즉 나침반과 표시되지 않은 직선 모서리만으로 구성될 수 있는 기준을 제공함으로써 마무리되는 사이클로토믹 다항식의 분석이다.

가우스는 고차적 일치에 대한 8번째 섹션을 쓰기 시작했지만 완성하지 못했고, 그가 죽은 후 "합치에 대한 일반 조사"[1]라는 제목으로 따로 출판되었다.이 책에서 가우스는 데데킨트, 갈로아, 에밀 아르탱이 나중에 취한 것과 밀접하게 관련된 관점에서 일반적인 합성의 문제를 공격하면서 임의의 정도의 합성에 대해 논했다.이 논문은 유한한 상수장에 대한 함수장 이론의 기초를 닦았다.이 논문의 독특한 아이디어는 프로베니우스 형태론의 중요성에 대한 명확한 인식과 헨젤의 보조개념이다.

디스퀴지즈는 학술적인 라틴어로 쓰여진 마지막 수학 작품 중 하나였다.영어 번역본은 1965년까지 출판되지 않았다.

중요성

디스퀴즈가 출판되기 전에, 수 이론은 고립된 이론과 추측의 집합으로 구성되었다.가우스는 그의 전임자들의 작업을 그의 원래 작품과 함께 체계적 틀로 가져왔고, 빈칸을 채우고, 불건전한 증거를 바로잡고, 수많은 방법으로 주제를 확장했다.

디스퀴지즈의 논리 구조(이론 진술, 증명, 결과)는 이후의 텍스트에 대한 표준을 정합니다.논리적 증거의 일차적 중요성을 인식하면서, 가우스는 또한 수치적인 예를 들어 많은 이론들을 설명한다.

디스퀴지즈는 에른스트 쿠머, 피터 구스타프 레준 디리클레, 리하르트 데데킨드를 포함한 다른 19세기 유럽 수학자들의 출발점이 되었다.가우스의 많은 주석들은 사실상 그 자신의 추가 연구에 대한 발표이며, 그 중 일부는 출판되지 않은 채로 남아 있었다.그것들은 그의 동시대인들에게 특히 수수께끼처럼 보였을 것이다; 그것들은 이제 특히 L-함수와 복소수 곱셈 이론의 세균을 포함하고 있는 것으로 읽힐 수 있다.

디스퀴즈는 20세기에도 계속 영향력을 행사했다.예를 들어, 섹션 V, 303에서 가우스는 적절한 원시 이진 2차 형식의 클래스 번호에 대한 그의 계산을 요약하고 클래스 번호 1, 2, 3을 가진 클래스 번호를 모두 발견했다고 추측했다.이것은 나중에 짝수 판별과 클래스 번호 1, 2, 3을 갖는 가상의 2차 수 필드의 결정으로 해석되었고 홀수 판별의 경우로 확장되었다.때때로 클래스 넘버 문제로 불리기도 하는 이 보다 일반적인 질문은 1986년에 마침내[2] 확인되었습니다(가우스가 던진 구체적인 질문은 1902년 클래스[3] 넘버 1에 대해 Landau에 의해 확인되었습니다).섹션 VII, 제358조, 가우스는 유한장에 대한 곡선에 대한 리만 가설의 첫 번째 중요하지 않은 경우로 해석될 수 있는 [4]것을 증명했다.

참고 문헌

  • 칼 프리드리히 가우스 3세아서 A.Clarke, S.[5]J.: 디스퀴지즈 산술학, 예일대학교 출판부, 1965년 ISBN0-300-09473-6
  • 디스쿼지 산술(라틴어 원문)
  • Dunnington, G. Waldo (1935), "Gauss, His Disquisitiones Arithmeticae, and His Contemporaries in the Institut de France", National Mathematics Magazine, 9 (7): 187–192, doi:10.2307/3028190, JSTOR 3028190

레퍼런스

  1. ^ * 라틴어 텍스트(Dedekind의 주음 포함):
    • 독일어 번역:
  2. ^ Ireland, K.; Rosen, M. (1993), A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, New York: Springer-Verlag, pp. 358–361, ISBN 978-0-387-97329-6
  3. ^ Goldfeld, Dorian (July 1985), "Gauss' Class Number Problem For Imaginary Quadratic Fields" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 13 (1): 23–37, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2
  4. ^ Silverman, J.; Tate, J. (1992), Rational Points on Elliptic Curves, New York, New York: Springer-Verlag, p. 110, ISBN 978-0-387-97825-3
  5. ^ Arthur C와 혼동하지 말 것. 클라크, 공상과학소설 작가.

외부 링크