Fatou 성분 분류

수학에서 파투 성분은 파투 세트의 성분이다.그것들은 피에르 파투의 이름을 따서 지어졌다.

합리적 사례

만약 f가 합리적인 함수라면

${\displaystyle f={\frac {P(z)}{Q(z)}}}}$

확장된 복합 평면 및 비선형 함수인 경우(도 > 1)

${\displaystyle d(f)=\max(\deg(P),\\deg(Q)\geq 2,}$

그런 다음 Fatou 집합의 주기적 구성 $요소{\displaystyle }$ U$${\$displaystyle$ U$}$에 대해 다음 중 하나만 유지하십시오.

1. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$에 매력적인 주기적 포인트가 있음$$
2. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$이(가) 포물선임^[1]
3. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은 시겔 디스크로, f(z)가 유닛 디스크를 비합리적인 회전 각도에 의해 유클리드 회전에 분석적으로 결합되는 단순 연결 파투 성분이다.
4. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은 허먼 링: 이중으로 연결된 파투 성분(환원체)으로, f(z)가 원형 환원체의 유클리드 회전에 분석적으로 결합되어 다시 비합리적인 회전 각도로 작용한다.

• 

  Julia 세트(흰색) 및 Fatou 세트(검은색/녹색/파란색) for $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mapsto }$ z${\displaystyle }$- ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$ $){\displaystyle f:z-{\frac{g}{g$')와 g : z$$$($${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 3 -${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaysty styleg:z\mpsto z^{3$}-1$}-$1}-1}.

• 

  Julia는 내부와 외관의 초매력 사이클(하이퍼볼릭)을 가지고 있다.

• 

  초유혹 사례에서의 수평 곡선 및 광선

• 

  포물선 사이클로 설정된 줄리아

• 

  줄리아 세트 시겔 디스크(엘리틱 케이스)

• 

  줄리아는 허먼 반지를 끼고 세트장을 잡았다.

주기점유도

지도 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= z${\displaystyle }$-${\displaystyle }$( z ${\displaystyle 3{}^{}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ 3 ${\displaystyle z\mathrm{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 구성 요소에는 ${\displaystyle \mathrm{z}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$=$$1 {\$displaysty z^{3}=1}$에 대한 솔루션인 유치점이 포함되어$$ 있다$.$왜냐하면 뉴턴-래프슨 공식에 의한$$ 방정식 ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$3 = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ z$^{3}=1}$에 대한 해결책을 찾는 데 지도가 사용되기 때문이다.해결책은 당연히 고정된 포인트를 끌어모으는 것이어야 한다.

허먼 반지

지도

${\displaystyle f(z)=e^{2\pi it}z^{2}(z-4)/(1-4z)}$

그리고 t = 0.6151732...허먼 반지를 제작할 것이다.^[2]이러한 지도의 정도는 이 예에서와 같이 적어도 3이 되어야 한다는 것을 시시쿠라가 보여주고 있다.

둘 이상의 구성 요소 유형

도 d가 2보다 크면 둘 이상의 임계점이 있고 두 가지 이상의 구성 요소 유형이 있을 수 있다.

• 

  헤르만+파라볼릭

• 

  3교시 및 105교시

• 

  매력적이고 포물선적인

• 

  기간 1과 기간 1

• 

  기간 4 및 4(2개 유격)

• 

  2주기 2기

초월 케이스

베이커 도메인

초월 함수의 경우 베이커 도메인이라고 불리는 또 다른 유형의 주기적 Fatou 성분이 있는데, 이것들은 "이테라테이트들이 본질적인 특이성을 보이는 (다항식 및 이성적 함수에 대해서는 가능하지 않은)"^[3][4] 예제함수:^[5]

${\displaystyle f(z)=z-1+(1-2z)e^{z}}$

방랑 도메인

초월적 지도는 방황하는 도메인을 가질 수 있다: 이것들은 결국 주기적이지 않은 Fatou 구성 요소들이다.

참고 항목

• 노완더링 도메인 정리
• 몬텔의 정리
• 존 도메인^[6]

참조

• 레나트 칼레슨과 테오도르 W. 가멜린, 콤플렉스 다이내믹스, 스프링거 1993.
• 앨런 F. 비든 이터레이션 오브 합리적 기능, 스프링거 1991.