클로즈드몰입

대수 기하학에서, 체계들의 폐쇄적인 몰입은 체계 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle Z}$→ ${\displaystyle X}$ $(\displaystyle f:Z\to$ X$)$의 형태론으로서, Z의 국소적이고 규칙적인 기능이 X로 확장될 수 있도록 X의 폐쇄된 부분집합으로 Z를 식별한다.^[1]$후자$의 조건은 f${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$#${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathcal{}}_{}}$ ${\$ f$^{\#}}}\mathcal {O}_{X}\오른쪽$ 화살표 $f_{\ast }{\mathcal {O}}}{Z}}}}}}$이(가) 처절하다고 말해 공식화할 수 있다.^[2]null

표준지도 $R{\displaystyle }$→${\displaystyle }$${\displaystyle R}$/${\displaystyle }$${\displaystyle I}$ ${\$$displaystyle$ \$displaystyle R\to R/I}$에 의해$$ 유도된 $\operatorname {Spec}(R)$에 대한 포함지도가 예다$.$

기타 특성화

다음은 이에 해당한다.

1. ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle Z}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:Z\to$ X$}$은(는) 폐쇄적인 몰입이다.
2. For every open affine ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)\subset X}$, there exists an ideal ${\displaystyle I\subset R}$ such that ${\displaystyle f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$ as schemes over U.
3. There exists an open affine covering ${\displaystyle X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}}$ and for each j there exists an ideal ${\displaystyle I_{j}\subset R_{j}}$ such that ${\displaystyle f^{-1}(U_{j})=\$${\displaystyle {운영자}_{}}$ 이름$${Spec}($R_{j}/I_${j$})$을(를) U $j {\displaystyle U_{j$$}$에 대한 구성으로 지정$$$.$
4. There is a quasi-coherent sheaf of ideals ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ on X such that ${\displaystyle f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$ and f is an isomorphism of Z onto the global Spec of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X$$}/{\mathcal{I}}$을(를) X에 걸쳐서.

로컬 링된 공간에 대한 정의

국부적으로 링된 공간의^[3] 경우 ${\displaystyle \mathrm{유사}}$한 기준 목록이 충족되면 $형태론{\displaystyle }$ i${\displaystyle }$: Z${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ i$:Z\to$ X$}$은(는) 폐쇄된 몰입이다$$.

1. 지도 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$은(는) $이미지$의 Z {\$displaystyle Z}$과(와$)$의 동형상이다.
2. 연결된 셰이프 맵 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$→ i ${\displaystyle {\ast }_{}}$ O ${\displaystyle Z_{}}$ ${\$은(는) 커널 $I{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(으)로 인해 무시된다$$.
3. 커널 $I{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$ -module로$$^[4] 섹션별로 로컬 생성됨$$

오직 다양한 조건만이 세 번째 조건이다.밀폐된 몰입이 아닌 지도를 보고 세 번째 조건이 무엇을 산출하는지 느낄 수 있도록 역례를 보면 유익하다. $i$${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$1}{1}{1}{1$}}}}{$1}.

${\displaystyle \mathb {G} _{m}={\text{Spec}(\mathb {Z}[x,x^{-1}])}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle G_{{\mathbb{}}_{}}}$ m ${\displaystyle {}_{}{{}_{}}_{}{}_{\mathrm{}}}$ ${\$의 줄기를 0 ${\displaystyle \in }$ A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}에$$$$ 보면 섹션이 없다.$이$는 0 {\$displaystyle 0}$을(를$)$ 포함하는 열려 있는 하위 메뉴 U${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^1}{1}에 대해$$$$피복에는 섹션이 없음을 의미한다.$이$는 A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}에$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$이$(가)$ 포함되어 있으므로 세 번째 조건을 위반하는 것이다$.$

특성.

폐쇄적 몰입은 유한하고 방사능적이다(일반적으로 주입된다.특히 폐쇄적인 몰입은 보편적으로 닫혀 있다.베이스 변화와 구성 하에서 폐쇄적인 몰입이 안정적이다.The notion of a closed immersion is local in the sense that f is a closed immersion if and only if for some (equivalently every) open covering ${\displaystyle X=\bigcup U_{j}}$ the induced map ${\displaystyle f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}}$ is a closed immersion.^[5][6]null

합성 $Z{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ → X ${\displaystyle$Z\$to$Y\$to$ X$}$이(가) 폐쇄몰입이고$$ ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ $Y$$\to$ X$}$이(가) 분리되면 $Z{\displaystyle }$→ Y ${\displaystyle$ Z$\to$ Y$}$은 폐쇄몰입이다$$.X가 분리된 S-scheme이라면 X의 모든 S-section은 폐쇄된 몰입이다.^[7]null

If ${\displaystyle i:Z\to X}$ is a closed immersion and ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}}$ is the quasi-coherent sheaf of ideals cutting out Z, then the direct image ${\displaystyle i_{*}}$ from the category of quasi-coherent sheaves over Z to the category of quasi-coheX에 대한 임대 셰이브는 정확하며, ${\displaystyle I\mathcal{}}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ {\$mathcal${$I}{\mathcal {G}과($와) 같이$$ $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle {\mathcal$$${G}로 구성된 필수 이미지에 완전히 충실하다$.$^[8]

유한한 표시의 평평한 닫힌 몰입은 열린 닫힌 하위 체크의 개방된 몰입이다.^[9]null

참고 항목

• 세그르 임베딩
• 정기 임베딩

메모들

참조

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• 스택 프로젝트
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157