세그르 임베딩

수학에서 세그르 임베딩은 투사 기하학에서 두 투사 공간의 데카르트 제품(세트)을 투사적 다양성으로 간주하기 위해 사용된다.코라도 세그리(Corrado Segre)의 이름을 따서 지은 것이다.

정의

세그리 지도는 지도로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \chostma :P^{n}\time P^{m}\to P^{n+1)(m+1)-1}\ }$

${\displaystyle {}^{}}$$$한 쌍${\displaystyle ([}$X ] , [ Y${\displaystyle ]}$)${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P{}^{}{n}^{}}$ × ${\displaystyle P^{}}$m {\$displaystyle$([$X],$ [$Y])\in P^{$n}\$time$ P^{$m}).$

${\displaystyle \sigma :([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}),[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}]\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{I}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\}}}$

(XY는_ij 사전순으로 취함).

여기서 ${\displaystyle {Pn}^{}}$ ${\$과(${\displaystyle {와}^{}}$)$$Pm {\$displaystyle$ P$^{m}$은 어떤 임의의 필드 위에 투영된 벡터 공간이며$$, 표기법이다.

${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]\ }$

우주에 있는 균일한 좌표의 그것이다.지도의 이미지는 세그르 품종이라 불리는 품종이다.때로는 ${\displaystyle {nn}_{}}$ ${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}${\$displaystyle \Sigma _{n,m}$로 표기되기도 한다$.$

토론

선형대수학 언어에서, 동일한 필드 K에 걸쳐 주어진 벡터 공간 U와 V에 대해, 그들의 데카르트 제품을 텐서 곱에 매핑하는 자연스러운 방법이 있다.

${\displaystyle \varphi :U\time V\to U\to U\time V.\ }$

$일반적$으로, U ${\displaystyle U}$의 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$$\},$ V$$ ${\\displaystyle$ V$$}의$$v {\$displaystyle v$$}$ $및{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$의 $비제로{\displaystyle }$c {\$displaystyle$ c$}$에 $대해서$는 주입할 필요가 없다$.$

${\displaystyle \varphi(u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi(cu,c^{-1}v)\ }$

기초적인 투영 공간 P(U)와 P(V)를 고려하면, 이 매핑은 다양성의 형태론이 된다.

$\displaystyle \sigma :P(U)\time P(V)\to P(U\otimes V).\ }$

이것은 단지 세트이탈적 의미에서의 주입일 뿐만 아니라 대수적 기하학적 의미에서의 폐쇄적인 몰입이다.즉, 이미지에 대해 일련의 방정식을 제공할 수 있다.명목상의 문제를 제외하고, 그러한 방정식이 무엇인지는 쉽게 말할 수 있다: 그들은 두 가지 방법으로 텐서 제품으로부터 얻은 좌표 제품을 V로부터 어떤 것을 U 타임즈로부터 얻은 것으로서 두 가지 다른 방법으로 인수하는 방법을 표현한다.

이 지도 또는 형태론 σ은 세그르 임베딩이다.치수 계산, 치수 m과 n의 투영 공간 산출물이 치수에서 어떻게 내장되는지를 보여준다.

${\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ }$

고전적인 용어는 제품의 좌표를 다종종류라고 하며 k-way 투영 공간에 일반화된 제품이라고 한다.

특성.

세그르 품종은 결정성 품종의 예로서, 매트릭스의 2×2 미성년자$({\displaystyle {Zi}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle (Z_{i,j})$의 영점이다$.$즉, 세그르 품종은 2차 다항식의 공통 영점이다.

${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}\ }$

여기서 ${\displaystyle {Zi}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 세그르 지도의 영상에 나타나는 자연 좌표로 이해된다$$.

세그르 품종 ${\displaystyle {\sigma n}_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {Pn}^{}}$ $displaystyle P^{n}\},$ ${\displaystyle {Pm}^{}}$ ${\$의 범주형 제품이다$.$^[1]투영법

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

첫 번째 요인에 대해서는 서브셋의 교차점에 합의하는 세그르 품종을 포함하는 오픈 서브셋에 대한 m+1 지도로 지정할 수 있다.고정 $j{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 경우$,$ [${\displaystyle {Zi}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$]$${\$displaystyle [Z_{i,j}]}$을(를$){\displaystyle }$ [${\displaystyle Z_{}}$, ${\displaystyle {{j\mathrm{}}_{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle [Z_{i,j_{0}}}}}}}}$에 전송함으로써 맵이 주어진다$.$The equations ${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ }$ ensure that these maps agree with each other, because if ${\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0}$ we have ${\displaystyle [Z_{i,j_1}]=[Z_{i_0,j_0}{Z}_{i,j_1}]=[Z_{i_0}}$${\displaystyle [Z_{i,j_{1}}}=[Z_{0}},j_{0}Z_$$[Z_{i,j_{0}}]}$.

제품의 섬유는 선형 아공간이다.즉, 렛츠

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

첫 번째 요인에 대한 투영이며, 마찬가지로 두 번째 요인에 대한$$ ${\displaystyle {for}_{}}$ Y ${\$그러면 지도 이미지

${\displaystyle \sigma(\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

고정점 p는 코도메인의 선형 하위공간이다.

예

사분면체

예를 들어 m = n = 1을 사용하면 P에³ 투영 라인의 제품을 내장할 수 있다.이 이미지는 사분면으로, 두 개의 단일 매개변수 선군을 포함하고 있는 것을 쉽게 볼 수 있다.복잡한 숫자에 비해 이것은 꽤 일반적인 비성격 사분위수다.내버려 두는

${\displaystyle [Z_{0}:Z_{1}:Z_{2}:Z_{3}]\ }$

P의³ 균일한 좌표로서, 이 사분위는 결정인자에 의해 주어진 2차 다항식의 영점(zero locus)으로 주어진다.

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\rig)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.\ }$

세그르 3배

지도

${\displaystyle \chostma :P^{2}\time P^{1}\p^{5}}}$

세그르 3배라고 알려져 있다.그것은 합리적인 정상적인 두루마기의 한 예다.세그르 3배와 3면 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 교차점은 뒤틀린 입방곡선이다.

베로네즈 품종

세그르 지도 아래$$ 대각선 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle P^{}}$ × P $\$의 이미지는 베로네즈 품종 2도 입니다.

${\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ }$

적용들

세그르 지도는 투사적 공간의 범주적 산물에 해당하기 때문에 양자역학과 양자정보이론에서 비합성 상태를 기술하기 위한 자연스러운 지도화다.좀 더 정확히 말하자면, 세그르 지도는 투영적인 힐베르트 공간의 제품을 어떻게 가져가는지를 묘사하고 있다.

대수학 통계에서 세그르 품종은 독립 모델에 해당한다.

P에⁸ P²×P를² 내장한 세그레는 세베리 품종인 차원 4가 유일하다.

참조

• Harris, Joe (1995), Algebraic Geometry: A First Course, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97716-4
• Hassett, Brendan (2007), Introduction to Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, p. 154, doi:10.1017/CBO9780511755224, ISBN 978-0-521-69141-3, MR 2324354