코아드 조인트 표현

수학에서 Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 공동 표현 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 부선 표현 중 이중이다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) $G{\displaystyle }${\$displaystyle$$G}$의 Lie 대수인 경우, $g{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$$$${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$}^{*}에$$ $해당$하는 G ${\$$displaystystyle {\mathfak{g$에 대한 이중 공간을 coadjoint 작업이라고 한다.기하학적 해석은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 오른쪽 내변 1-폼 공간에 대한 좌변환에 의한 작용이다$.$

공동대표의 중요성은 알렉상드르 키릴로프의 연구로 강조되었는데, 그는 영적인 리 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 경우, 이들의 대표이론의 기본적인$$ 역할은 공동대표 궤도에 의해 수행된다는 것을 보여주었다.Kirillov의 궤도 방법에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 표현은 코아드 조인트 궤도에서 시작하여 기하학적으로 구성된다$$.어떤 의미에서 그것들은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 결합 클래스를 대체하는 역할을 하는데$,$ 이것은 또 다시 복잡할 수 있지만, 궤도는 상대적으로 다루기 쉽다.

형식 정의

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) Lie 그룹으로 하고$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$을(를) Lie 대수학으로$$ 한다.Let ${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ denote the adjoint representation of ${\displaystyle G}$. Then the coadjoint representation ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}:$$G\rightarrow \mathrm {Aut}({\mathfrak {g}^{*})$은 다음에 의해 정의됨

${\displaystyle \langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}\,\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}Y\rangle }$ for ${\displaystyle g\in G,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*},}$

여기서${\displaystyle }$μ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$, Y ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle \mu$ ,$Y$$\rangele$ $}$은 벡터 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$에 있는$$ 선형 함수$\mu$의 값을 나타낸다$.$

${\displaystyle {\mathrm{Lie}}^{}}$ 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$\mathrm$ {$ad} ^*}}$의 공동 표현에 의해$$ 유도된${\displaystyle {}^{}}$Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle {\mathfrak{g}{*}}$에 대한 Lie 대수 g {\displaystystyle $G}$의 최소 버전을 나타내도록$$ 한다$.$ 그런 다음 정의 방정식의 infinits.$A{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 읽기의$$ 경우:

${\displaystyle \langle \mathrm {ad} _{X}^{*}\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle =-\langle \mu ,[X,Y]\rangle }$ for ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\$는) Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 부선 표현이다$.$

코아드관절 궤도

A coadjoint orbit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$ for ${\displaystyle \mu }$ in the dual space ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ may be defined either extrinsically, as the actual orbit ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}^{*$$}\mu }$ inside ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, or intrinsically as the homogeneous space ${\displaystyle G/G_{\mu }}$ where ${\displaystyle G_{\mu }}$ is the stabilizer of ${\displaystyle \mu }$ with respect to the coadjoint action; this distinction is worth making since the embedd궤도 진입은 복잡할 수 있다.

코아드 조인트 $궤도$는 g$\{\${\$mathfrak${g$}^{*}}$의 서브매니폴드로서$$ 자연적인 공감 구조를 지니고 있다.On each orbit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$, there is a closed non-degenerate ${\displaystyle G}$-invariant 2-form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {O}}_{\mu })}$ inherited from ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ in the following manner:

${\displaystyle \omega _{\nu }(\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu ,\mathrm {ad} _{Y}^{*}\nu ):=\langle \nu ,[X,Y]\rangle ,\nu \in {\mathcal {O}}_{\mu },X,Y\in {\mathfrak {g}}}$.

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$의 잘 정의된 상태, 비감소성 및 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ - invariance는$$ 다음과 같은 사실에서 비롯된다$$.

(i) The tangent space ${\displaystyle \mathrm {T} _{\nu }{\mathcal {O}}_{\mu }=\{-\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu :X\in {\mathfrak {g}}\}}$ may be identified with ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}_{\nu }}$, where ${\displaystyle {\m$$atsfrak{g}_{\nu }}$은(는) $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 Lie 대수학이다$.$

(ii) 지도 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle \nu ,}$ [${\displaystyle }$X , ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle ⟩}$ ⟩ { {$$\\$displaystyle X\mapsto \langle \$$nu$, $[X,\cdot ]\rangle }}}}$의 커널은 $정확히$ g ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\$이다$.$

${\displaystyle (}$iii$)$ g ${\$ {\$cdot,\cdot$\langle \langle $\langle$ \$nu$,$$cdot $\langle$ $}$의 bilinar 형식은 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\$에 따라 불변한다$.$

${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega}$도 닫힌다.표준 2형식 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 코아드관절 궤도에 있는 KKS 형태 또는 Kirillov-Kostant-Souriau commonlectic form이라고 부르기도 한다$$.

접합부 궤도의 특성

The coadjoint action on a coadjoint orbit ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{\mu },\omega )}$ is a Hamiltonian ${\displaystyle G}$-action with momentum map given by the inclusion ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$.

예

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다. (2014년 11월)

참고 항목

• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 Borel-Bot-Weil 정리
• 키릴로프 문자식
• 키릴로프 궤도 이론

참조

• A.A. Kirillov, 궤도 방법에 대한 강의, 수학 대학원, 제64권, 미국수학협회, ISBN0821835300, ISBN978-0821835302

외부 링크

• "Coadjoint representation". PlanetMath.