균질 공간

토러스. 표준토루스는 그 차이점형성 및 동형성 집단에서 균질하며, 평형토루스는 그 차이점형성, 동형성, 등형성 집단에서 균질하다.

수학에서, 특히 리 그룹, 대수 그룹, 위상 그룹의 이론에서, 그룹 G의 동질적 공간은 G가 전이적으로 작용하는 비빈 다지관 또는 위상학적 공간 X이다. G의 원소를 X의 대칭이라고 한다. 문제의 G군이 공간 X의 자동형 집단인 경우 - 여기서 "자동형 집단"은 등각형 집단, 차이점형 집단 또는 동형성 집단을 의미할 수 있다. 이 경우 X는 직감적으로 X가 등각(강체 기하학), 차이점(차이 기하학) 또는 동형(상상학)의 관점에서 각 지점에서 국소적으로 동일하게 보인다면 동질적이다. 일부 저자들은 G의 행동이 충실해야 한다고 주장한다(비식별적 요소가 비식별적으로 작용한다). 비록 이 글은 그렇지 않지만. 따라서 X에 G의 집단 작용이 있는데, X에 어떤 "기하학적 구조"를 보존하고 X를 하나의 G-orbit로 만드는 것으로 생각할 수 있다.

형식 정의

X는 비어 있지 않은 세트로 하고 G는 그룹으로 합시다. 그 다음 X에 G의 작용이 있으면 X를 G-space라고 부른다.^[1] G는 자동으로 세트의 자동형성(편향)에 의해 작용한다는 점에 유의한다. X가 추가로 어떤 범주에 속한다면 G의 원소는 동일한 범주에서 자동화로 작용하는 것으로 가정한다. 즉, G의 요소에서 나온 X의 지도는 범주와 관련된 구조를 보존한다(예를 들어, X가 Diff에 있는 물체라면 그 작용은 차이점형성에 의해 이루어져야 한다). 균질 공간은 G가 전이적으로 작용하는 G-공간이다.

간결하게 X가 범주 C의 대상이라면 G-공간의 구조는 동형상이다.

\rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)

범주 C에 있는 개체 X의 자동화 그룹으로. 쌍(X, ρ)은 underlying(G)가 기본 X 집합의 대칭의 타동성 그룹인 경우에 제공되는 균일한 공간을 정의한다.

예

예를 들어, X가 위상학적 공간이라면, 그룹 원소는 X에서 동형문자로 작용하는 것으로 가정한다. G-공간의 구조는 집단동형주의 ρ : G → Homeo(X)를 X의 동형주의 집단으로 하는 것이다.

마찬가지로 X가 다른 다지관이라면, 그룹 요소는 차이점형이다. G-공간의 구조는 X의 차이점형 집단으로의 집단동형성 ism : G → 차이점(X)이다.

리만 대칭 공간은 동질적 공간의 중요한 부류로, 아래에 열거된 많은 예들을 포함한다.

구체적인 예는 다음과 같다.

등축군

양의 곡면성:

구면(직교 그룹): $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ - $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ ( $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ ) $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ / $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ ( $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ - 1 $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ ) ${\displaystyle S^{n-1}\cong \mathrmat {O} (n)/\mathrm {O} (n-1$ ) $S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)$ . 이는 다음과 같은 관측 때문에 사실이다. 첫째, $S^{n-1}$ $S^{n-1}$ - $S^{n-1}$ ${\$ S $^{n-1}$ 은(는) $\mathbb {R} ^{n}$ n $\mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle$ \ $mathb{R}{n}}$ 에 있는 벡터 집합으로 $S^{n-1}$ , $표준$ 1{\ $displaystyle 1}$ 을 $\mathbb {R} ^{n}$ (를) 기본 벡터로 간주하면 다른 벡터도 직교 변환을 사용하여 구성할 수 있다 $1$ $\mathbb {R} ^{n}$ 우리가 이 벡터의 범위를 R $\mathbb {R} ^{n}$ n {\ $displaystyle \mathb{R}{n$ 의 1차원 하위공간으로 본다면, 보어는 ${\text{O}}(n-1)$ ( ${\text{O}}(n-1)$ - 1 $){\$ $displaystyle (n-1)$ 로부터의 직교 변환 하에서 불변하는 (n $(n-1)$ - $(n-1)$ $){\$ $displaystystyle{O}(n-1$ )이다 $(n-1)$ ${\text{O}}(n-1)$ 이것은 우리가 왜 $S^{n-1}$ $S^{n-1}$ - $S^{n-1}$ ${\$ S $^{n-1}$ 을 균일한 공간으로 구성할 $S^{n-1}$ 수 있는지를 보여준다.
방향 구(특수 직교 그룹): ${\displaystyle$
투영 공간(투영 직교 그룹): ${\displaystyle \mathrmat {P} ^{n-1}\cong \mathrm {PO} (n)/\mathrmatrm {PO} (n-1)$

평탄도(곡률 제로):

유클리드 공간(유클리드 그룹, 포인트 스태빌라이저는 직교 그룹): Aⁿ ≅ E(n)/O(n)

음의 곡면성:

쌍곡선 공간(고정 로렌츠 그룹, 점 스태빌라이저 직교 그룹, 하이퍼볼로이드 모델에 해당): Hⁿ ≅ O⁺(1, n)/O(n)
지향 쌍곡선 공간: SO⁺(1, n)/SO(n)
안티 디 시터 공간: ADS_n+1 = O(2, n)/O(1, n)

다른이들

아핀 공간(아핀 그룹의 경우, 포인트 스태빌라이저 일반 선형 그룹): Aⁿ = App(n, K)/GL(n, k)
Grassmannian: $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ( r $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ , $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ) $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ = $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ( $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ) $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ / $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ( $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ( $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ) $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ( $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ - $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))$ ) $\mathrm {Gr}(r,n)=\mathrm {O}/(r)\times \mathrmatrm {O}(n-r)$
위상 벡터 공간(위상의 의미)

기하학

에를랑겐 프로그램의 관점에서 보면, X의 기하학에서 「모든 점은 동일하다」라고 이해할 수 있을 것이다. 이것은 본질적으로 19세기 중반에 리만 기하학 이전에 제안된 모든 기하학에서 사실이었다.

따라서 예를 들어 유클리드 공간, 아핀 공간 및 투영 공간은 모두 각각의 대칭 그룹에 대해 자연적으로 균일한 공간이다. 쌍곡선 공간과 같이 일정한 곡률의 비유클리드 기하학에서 발견된 모델도 마찬가지다.

또 다른 고전적인 예로는 3차원의 투사적 공간에서의 선의 공간(4차원 벡터 공간의 2차원 서브스페이스 공간)이 있다. GL이₄ 그것들에 대해 전이적으로 작용한다는 것을 보여주는 것은 간단한 선형 대수학이다. 우리는 그것들을 선 좌표로 매개변수화할 수 있다: 이것들은 4×2 매트릭스의 2×2 마이너들이며, 하위 공간을 위한 2개의 기본 벡터가 있다. 결과적인 균질 공간의 기하학은 율리우스 플뤼커의 선 기하학이다.

코제트 공간으로서의 동종 공간

일반적으로 X가 G의 균일한 공간이고, H가_o X의 어떤 마크 포인트 o(원점 선택)의 스태빌라이저라면, X의 포인트는 왼쪽 코스메츠 G/H에_o 해당하고, 마크 포인트 o는 정체성의 코세트에 해당한다. 반대로 코제트 공간 G/H를 주어, 구별점, 즉 정체성의 코제트를 가진 G를 위한 균일한 공간이다. 따라서 균일한 공간은 기원을 선택하지 않고 코제트 공간으로 생각할 수 있다.

일반적으로 다른 출처 o는 G의 내부 자동화에 의해 H와_o 관련된 다른 부분군 H에_o′ 의해 G의 몫으로 이어질 것이다. 특히,

H_{o'}=gH_{o}g^{-1

(1)

여기서 g는 g의 어떤 요소로서 g = o′. 내부 자동형성(1)은 그러한 g를 선택하는가에 따라 달라지지 않으며, g modulo H에만_o 의존한다.

X에 대한 G의 작용이 연속적이고 X가 하우스도르프라면 H는 G의 닫힌 부분군이다. 특히 G가 Lie 그룹이라면 H는 Cartan의 정리상 Lie 부분군이다. 따라서 G/H는 부드러운 다지관이므로 X는 그룹 작용과 호환되는 독특한 부드러운 구조를 가지고 있다.

H가 ID 하위 그룹 {e}인 경우 X는 주요 동질 공간이다.

더 나아가 이중 코셋 공간으로 갈 수 있는데, 특히 클리포드-클레인(Clifford-Klein)은 γ\G/H를 형성하며, 여기서 γ은 (G의) 불연속적으로 적절하게 작용하는 이산 서브그룹이다.

예

예를 들어, 선 지오메트리 사례에서 우리는 H를 행렬 항목의 조건에 의해 정의된 16차원 일반 선형 그룹 GL(4)의 12차원 부분군으로 식별할 수 있다.

h₁₃ = h₁₄ = h = h₂₃ = h = 0₂₄,

처음 두 표준 기준 벡터에 의해 확장된 하위 공간의 스태빌라이저를 찾음 그것은 X가 차원 4를 가지고 있다는 것을 보여준다.

미성년자가 부여한 균일한 좌표는 숫자 6이므로 후자가 서로 독립적이지 않다는 뜻이다. 사실, 19세기 기하학자들에게 알려진 바와 같이, 6명의 미성년자 사이에 단 하나의 이차적 관계가 있다.

이 예는 투영적인 공간 외에 그라스만인의 첫 번째 알려진 예였다. 수학에는 공통적으로 사용되는 고전적인 선형 그룹의 균일한 공간이 많이 있다.

동종 이전의 벡터 공간

동종 이전의 벡터 공간에 대한 생각은 사토 미키오에 의해 소개되었다.

Zariski 위상(등, 조밀도)에 열려 있는 G의 궤도가 있을 정도로 대수군 G의 집단 작용을 갖는 유한차원 벡터 공간 V이다. 일차원 공간에 작용하는 GL(1)이 그 예다.

그 정의는 처음에 보이는 것보다 더 제한적이다: 그러한 공간은 주목할 만한 특성을 가지고 있고, "캐슬링"이라고 알려진 변환까지, 수정 불가능한 동종 전 벡터 공간의 분류가 있다.

물리학의 동질적 공간

일반 상대성 이론을 이용한 물리적 우주론은 비안치 분류 체계를 이용한다. Homogeneous spaces in relativity represent the space part of background metrics for some cosmological models; for example, the three cases of the Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric may be represented by subsets of the Bianchi I (flat), V (open), VII (flat or open) and IX (closed) types, while the Mixmaster universe represents an anisotropibianchi IX 우주론의 ^[2]예

N 치수의 균일한 공간은 1 ${\tfrac {1}{2}}N(N+1)$ ${\tfrac {1}{2}}N(N+1)$ ( ${\tfrac {1}{2}}N(N+1)$ + ${\tfrac {1}{2}}N(N+1)$ ) ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}{$ 2}} $N(N+1)}$ 킬링 ${\tfrac {1}{2}}N(N+1)$ 벡터를 허용한다.^[3] 3차원의 경우, 이것은 총 6개의 선형 독립 킬링 벡터 필드를 제공한다. 동질 3-스페이스는 이것들의 선형 조합을 사용하여 비 바니싱 킬링 벡터 필드 $\xi _{i}^{(a)}$ $\xi _{i}^{(a)}$ ( $){\$ style $\xi _{i}^{a$

\xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\b}^{a}\xi _{k}^{k}^{c}}}}

여기서 "구조 상수"인 $C_{\ bc}^{a}$ $C_{\ bc}^{a}$ b c $C_{\ bc}^{a}$ ${\$ bc $}^{a}}$ 는 하위 두 지수에서 일정한 순서 3 텐서 대칭성을 형성한다(왼쪽에서는 대칭 반대, ";"는 공변량 차동 연산자를 나타낸다). In the case of a flat isotropic universe, one possibility is $C_{\ bc}^{a}=0$ (type I), but in the case of a closed FLRW universe, $C_{\ bc}^{a}=\varepsilon _{\ bc}^{a}$ where $\varepsilon _{\ bc}^{a}$ is the Levi-시비타 기호.

참고 항목

메모들

^ 우리는 그 행동이 왼쪽에 있다고 가정한다. 그 구별은 코제트 공간으로서의 X의 설명에서만 중요하다.
^ Lev Landau and Evgeny Lifshitz (1980), Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2768-9
^ Steven Weinberg (1972), Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons

참조

존 밀너 & 제임스 D. Stasheff (1974) 특성 수업, 프린스턴 대학교 프레스 ISBN 0-691-08122-0
고다 다카시 경북대학교 균질공간의 기하학개론
하이델베르크 대학교의 메넬라오스 지키디스 동질적 공간
고바야시 쇼시치, 노미즈 가쓰미(1969) 미분 기하학의 기초, 제2권 X장 (와일리 고전 도서관)

[1] 우리는 그 행동이 왼쪽에 있다고 가정한다. 그 구별은 코제트 공간으로서의 X의 설명에서만 중요하다.

[2] Lev Landau and Evgeny Lifshitz (1980), Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2768-9

[3] Steven Weinberg (1972), Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons

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