대구경단모나드

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수학에서, 특히 범주 이론에서, 대구의 모나드는 다양한 종류의 functors에 모나드를 연관시키는 근본적인 구성이다.

정의

펑터 $G{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$→ C ${\displaystyle G:$$D\to C}$은(는) 이 Kan 확장자가 존재한다면 G의 오른쪽 Kan 확장자로 정의된다.그러므로, 정의상 그것은 특히 functor이다.

${\디스플레이 스타일$$C\to C.}$$T$ ${\displaystyle G^{}}$ ${\$의 모나드 구조는 오른쪽 Kan 확장자의 보편적 속성에서 유래한다$$.

대구의 모나드는 D가 작은 범주일 때마다 존재하며(적절한 등급과는 반대로 형태론의 집합만 가지고 있다), C는 모든 (소규모, 즉 세트 인덱싱된) 한계를 갖는다.그것은 또한 G가 왼쪽 부선을 가질 때마다 존재한다.

일반 공식 계산권 Kan 확장자에 의해, 대량의 모나드는 다음과 같은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle T^{G}(c)=\int _{d\in D}G(d)^{C(c,G(d)}}}$

여기서 $C{\displaystyle (c}$, ${\displaystyle G}$(${\displaystyle }$d )${\displaystyle C(c,G(d))}$는 표시된 물체 사이의 C에 있는 형태론의 집합을 나타내며$$, 적분은 끝을 나타낸다.따라서 대구의 모나드는 G의 이미지에서 c에서 물체로, 그리고 그러한 형태론의 집합에서 G(d)로, 가능한 모든 d에 호환되는 지도를 고려하는 것에 해당한다.따라서, 에이버리가 지적한 바와 같이,^[1] 대량의 모나드는 통합과 이중화의 개념과 어느 정도 친밀감을 공유한다.

예

우각의 대함수.

Functor G가 좌편향 F를 승인할 경우, 대구의 모나드는 표준 단위 및 곱셈 지도와 함께$$복합 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\circ F}$에 의해 주어진다.

왼쪽 부선을 승인하지 않는 펑커에 대한 구체적인 예

몇몇 흥미로운 사례에서, 펑터 G는 왼쪽 부문을 인정하지 않는 완전한 하위 범주를 포함하는 것이다.예를 들어, FinSet를 세트에 포함시키는 대서양의 모노ad는 M의 모든 세트 M에 연관된 초광필터 모노ad이다.이것은 케니슨과 길든후이스에 의해 증명되었지만,^[2] "코다움"이라는 용어는 사용하지 않았다.이 공식에서, 그 진술은 레인스터에 의해 검토된다.^[3]

관련된 예는 라이스터가 논하는 바:^[4] 모든 벡터 공간에 유한차원 벡터 공간(고정된 필드 k에 걸쳐)을 포함하는 대서양의 모노드는 벡터 공간 V를 이중 이중으로 보내 주어지는 이중 이중화 모노드다.

${\displaystyle V^{**}=\operatorname {Hom}(\operatorname {Hom})(V,k,k)}$

따라서 이 예에서 위에서 언급한 최종 공식은 D의 모든 물체를 고려하는 것과는 반대로 하나의 물체 d, 즉 1차원 벡터 공간만을 고려하는 것으로 단순화된다.아다메크는^[5] 여러 가지 상황에서 포용의 대범한 모노ad를 보여준다.

$[\displaystyle D:=C^{fp}\subseteq C}$

정밀하게 표시된 물체(소형 물체라고도 함)는 충분히 멋진 열병합 물체에 대한 이중화 단면이다.이는 유한한 집합의 포함(Cogenerator가 두 원소의 집합인 경우)과 벡터 공간(Cogenerator가 지면인 경우)에 유한한 차원 벡터 공간을 포함시키는 것을 모두 복구한다.

시포즈는 위상학적 공간에 유한한 집합(별개의 위상학적 공간)을 포함하는 대구의 광대한 모나드 위에 있는 알헤브라가 스톤 공간과 동등하다는 것을 보여주었다.^[6]에이버리는 Giry monad가 측정할 수 있는 공간에 대한 볼록한 벡터 공간의 특정 범주들 사이의 자연적인 건망증적인 망각의 단일체로서 발생한다는 것을 보여준다.^[1]

이스벨 이중성과의 관계

Di Liberti는^[7] 대구의 모나드가 이스벨 이중성과 밀접하게 관련되어 있다는 것을 보여준다: 주어진 작은 범주 C에 대해서, 이스벨 이중성은 부속물을 가리킨다.

${\displaystyle {\mathcal{O}:Set^{C^{op}}\오른쪽 왼쪽 화살표(Set^{C}}^{op}):스펙}$

C에 대한 사전 저장 범주(즉, C에서 세트로의 반대 범주의 functors)와 C에 대한 공동 저장소의 반대 범주 사이.모나드

${\displaystyle Spec\circle {\mathcal {O}}$

이 부속물에 의해 유도된 것은 요네다 임베딩의 광대한 모나드인 것으로 보인다.

${\displaystyle y:C\to Set^{C^{op}}}.}$

반대로, 전체 범주 C에 있는 완전 작은 밀도 하위 범주 K의 대칭 모노ad는 이스벨 이중성에 의해 유도되는 것으로 보인다.^[8]

참고 항목

• 모나디드 펑터

참조

• Di Liberti, Ivan (2019), Codensity: Isbell duality, pro-objects, compactness and accessibility, arXiv:1910.01014
• Leinster, Tom (2013). "Codensity and the ultrafilter monad". Theory and Applications of Categories. 28: 332–370. arXiv:1209.3606. Bibcode:2012arXiv1209.3606L.

각주