공선 방정식

공선도 방정식은 광도 측정과 컴퓨터 스테레오 시야에 사용되는 두 방정식의 집합으로, 센서 평면의 좌표(2차원)를 물체 좌표(3차원)와 연관시킨다. 방정식은 카메라의 광학 중심을 통해 물체의 한 지점을 센서 평면의 이미지로 중앙 투영하는 것에서 비롯된다.^[1]

정의

x,y 및 z는 센서 평면에서 x축과 y축이 있는 좌표계를 참조한다. Denote the coordinates of the point P on the object by ${\displaystyle x_{P},y_{P},z_{P}}$, the coordinates of the image point of P on the sensor plane by x and y and the coordinates of the projection (optical) centre by ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$. As a consequence of the projection method there is the same fixed ratio ${\displaystyle \lambda }$ between ${\displaystyle x-x_{0}}$ and ${\displaystyle x_{0}-x_{P}}$, ${\displaystyle y-y_{0}}$ and ${\displaystyle y_{0}-y_{P}}$, and the distance of the projection centre to the sensor 평면 z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z_{0}=c}$ 및 $z$ ${\displaystyle P_{}}$- z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle x-x_{0}=-\lambda(x_{P}-x_{0})}$

${\displaystyle y-y_{0}=-\lambda(y_{P}-y_{0})}$

${\displaystyle c=\lambda(z_{P}-z_{0}),}$

마지막 방정식에서$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 해결하고 다른 방정식에 입력하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle x-x_{0}=-c\\\frac {x_{P}-x_{0}}{z_{P}-z_{0}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle y-y_{0}=-c\\\frac {y_{P}-y_{0}}{z_{P}-z_{0}}}}}}}}}}}$

P 지점은 일반적으로 좌표 X, Y, Z에 의해 카메라 "외부"에 표시되며 투영 중심은 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $0에 의해 표시된다.$$Y_{0},Z_{0$ 이러한 좌표는 카메라의 시스템에 대한 회전과 번역을 통해 변환될 수 있다. 번역은 좌표의 차이에 영향을 미치지 않으며, 카메라 변환이라고 불리는 회전은 3×3 매트릭스 R에 의해 주어지며, 변환$({\displaystyle X}$- X ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ Y${\displaystyle }$- ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z}$- ${\displaystyle {}_{}}$ - Z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle$ ($X-X_{0}Y_{$0},Y_${0},Z-Z_{0}}}})$을 다음과 같이 한다.

${\displaystyle x_{P}-x_{0}=R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})}$

${\displaystyle y_{P}-y_{0}=R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})}$

그리고

${\displaystyle z_{P}-z_{0}=R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}$

이러한 식을 대체하면 공선성 방정식이라고 알려진 두 개의 방정식을 얻게 된다.

${\displaystyle x-x_{0}=-c\ {\frac {R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0}}){{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0}}})}}$

${\displaystyle y-y_{0}=-c\ {\frac {R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})}{{}}R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0}}})}}$

이러한 방정식의 가장 분명한 용도는 카메라에 의해 기록된 영상에 대한 것이다. 이 경우 방정식은 객체 공간(X, Y, Z)에서 영상 좌표(x, y)로의 변환을 설명한다. 그것은 번들 조정에서 사용되는 방정식의 기초를 형성한다. 그들은 사진을 찍을 때 이미지 포인트(카메라의 센서 플레이트 위), 관찰 포인트(물체 위) 및 카메라의 투영 중심이 정렬되었음을 나타낸다.

참고 항목

• 3D 투영
• 후각 기하학
• 핀홀 카메라 모델

참조