색 미세화 알고리즘

그래프 이론과 이론 컴퓨터 과학에서, 순정점 분류 또는 바이스페일러-레만 알고리즘의 1차원 버전으로 알려진 색 정제 알고리즘은 두 개의 그래프가 동형인지 ^[1]여부를 테스트하기 위해 사용되는 루틴입니다.

역사

묘사

다음과 같이 정의된 정점 $cr^{t}$ 의 시퀀스를 정의한다 $.$ cr $^{t}}$ 의 $cr^{t}$ 시퀀스를 정의합니다.

$cr^{0}$ $cr^{0}$ 0 $(\$ cr $^{0})$ 이 $cr^{0}$ 첫 번째 색상입니다.그래프에 라벨이 없는 경우 초기 색상은 각 $정점$ v ${\displaystyle$ $^{0}(v)$ 에 사소한 색상 c r $cr^{0}(v)$ $displaystyle$ cr $^{0}(v)$ 을 $cr^{0}(v)$ $cr^{0}(v)$ $cr^{0}(v)$ 합니다.그래프가 라벨이 붙어 있는 경우 c $cr^{0}(v)$ 0 $cr^{0}(v)$ v)은 $cr^{0}(v)$ $정점$ v ${\displaystyle$ v $v$ 의 라벨입니다.
$cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ $정점$ v $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ v $v$ 에 $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ r t $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ + $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ 1 $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ ( $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ v ) $=$ ( $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ r t ( $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ ), { $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ t ( $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ w ) $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ 는 v $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ 의 $cr^{t+1}(v)=\left(cr^{t}(v),\{\{cr^{t}(w)\mid w{\text{ is a neightbor of }}v\}\}\right)$ 입니다 $.\$ $displaystyle$ cr^ { $t}(v$ )=\ $left(cr^{t}(v)\{cr^{tw$ }\tw $}$ 는 new}는 ne text $}입니다.$ $정점$ v $\displaystyle$ v의 $v$ 새로운 색상은 이전 색상과 인접 색상의 멀티셋으로 구성된 쌍입니다.

이 알고리즘에 의해, 현재의 색채의 미세화가 계속됩니다.n개의 스텝(n은 정점의 수) 전에 어느 시점에서 안정됩니다. $cr^{t}$ r $cr^{t}$ { $displaystyle$ cr^ { $t$ } does $cr^{t}$ 、 t t t anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore anymore이 최종 착색은 안정 착색이라고 불립니다.

표현력

이 알고리즘은 길이6의 사이클과 삼각형의 쌍을 구별하지 않습니다(의 V.1 예).

복잡성

안정적인 색채는 O((n+m)log n)에서 계산할 수 있습니다. 여기서 n은 정점 수이고 m은 가장자리 ^[3]수입니다.이 복잡성은 일부 ^[4]그래프 클래스에 최적이라는 것이 입증되었다.

레퍼런스

^ Grohe, Martin; Kersting, Kristian; Mladenov, Martin; Schweitzer, Pascal (2021). "Color Refinement and Its Applications". An Introduction to Lifted Probabilistic Inference. doi:10.7551/mitpress/10548.003.0023. ISBN 9780262365598. S2CID 59069015.
^ Grohe, Martin (2021-06-29). "The logic of graph neural networks". Proceedings of the 36th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science. LICS '21. New York, NY, USA: Association for Computing Machinery: 1–17. arXiv:2104.14624. doi:10.1109/LICS52264.2021.9470677. ISBN 978-1-6654-4895-6. S2CID 233476550.
^ Cardon, A.; Crochemore, M. (1982-07-01). "Partitioning a graph in O(¦A¦log2¦V¦)". Theoretical Computer Science. 19 (1): 85–98. doi:10.1016/0304-3975(82)90016-0. ISSN 0304-3975.
^ Berkholz, Christoph; Bonsma, Paul; Grohe, Martin (2017-05-01). "Tight Lower and Upper Bounds for the Complexity of Canonical Colour Refinement". Theory of Computing Systems. 60 (4): 581–614. doi:10.1007/s00224-016-9686-0. ISSN 1433-0490. S2CID 12616856.

[1] Grohe, Martin; Kersting, Kristian; Mladenov, Martin; Schweitzer, Pascal (2021). "Color Refinement and Its Applications". An Introduction to Lifted Probabilistic Inference. doi:10.7551/mitpress/10548.003.0023. ISBN 9780262365598. S2CID 59069015.

[2] Grohe, Martin (2021-06-29). "The logic of graph neural networks". Proceedings of the 36th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science. LICS '21. New York, NY, USA: Association for Computing Machinery: 1–17. arXiv:2104.14624. doi:10.1109/LICS52264.2021.9470677. ISBN 978-1-6654-4895-6. S2CID 233476550.

[3] Cardon, A.; Crochemore, M. (1982-07-01). "Partitioning a graph in O(¦A¦log2¦V¦)". Theoretical Computer Science. 19 (1): 85–98. doi:10.1016/0304-3975(82)90016-0. ISSN 0304-3975.

[4] Berkholz, Christoph; Bonsma, Paul; Grohe, Martin (2017-05-01). "Tight Lower and Upper Bounds for the Complexity of Canonical Colour Refinement". Theory of Computing Systems. 60 (4): 581–614. doi:10.1007/s00224-016-9686-0. ISSN 1433-0490. S2CID 12616856.

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