통근 관측용 전체 세트

양자역학에서, 통근 관측 가능성의 완전한 집합(CSCO)은 공통의 고유 벡터를 어떤 양자 상태를 나타내는 기초로 사용할 수 있는 통근 운영자의 집합이다.이산 스펙트럼을 가진 연산자의 경우 CSCO는 동시 에겐스페이스가 힐버트 공간에 걸쳐 있는 통근 관측 가능성의 집합이므로, 해당 에겐벡터가 해당 고유값 집합에 의해 고유하게 지정된다.

집합 통근에 있는 각 관측 가능성의 쌍은 모두 호환되므로 관측 가능한 한 관측 가능성의 측정이 집합에서 관측 가능한 다른 관측 가능성의 측정 결과에 영향을 미치지 않도록 한다.따라서 서로 다른 관측치를 측정하는 순서를 지정할 필요는 없다.관측 가능성의 전체 집합의 측정은 시스템의 양자 상태를 연산자 집합에 의해 정의된 기초로 고유하고 알려진 벡터에 투영한다는 점에서 완전한 측정을 구성한다.즉, 완전히 지정된 상태를 준비하기 위해서는 임의로 어떤 상태를 취한 다음, 힐버트 공간에서 고유하게 지정된 벡터가 될 때까지(상까지) 집합의 모든 관측 가능성에 해당하는 측정을 연속적으로 수행해야 한다.

호환성 정리

${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ ${\$ $displaystyle$ { $A$ 과 ${\hat {A}}$ $B$ 와) ${\hat {B}}$ ${\hat {B}}$ ${\$ 로 $A$ 되는 두 개의 관측치를 사용합시다 ${\hat {B}}$ 그러면 다음 문장이 동등하다.

$A$ $A$ 및 $B$ $B$ 은(는) 호환 가능한 관찰 대상이다 $B$ .
${\hat {A}}$ ^ ${\hat {A}}$ {\ $displaystyle {\hat {A}$ 과 ${\hat {A}}$ (와) ${\hat {B}}$ B $^$ {\ $displaystyle$ {\ $hat$ { $B}$ 은(는) 공통의 고유기반을 가지고 ${\hat {B}}$ 있다.
연산자 ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ {\ $displaystyle {\hat$ { $A}$ 과 ${\hat {A}}$ (와) ${\hat {B}}$ B $^$ {\ $displaystyle {\b}}$ 은(는) 통근 중 ${\hat {B}}$ $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$ 즉 [ $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$ $^$ = $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$ {\ $displaystyle [{\hat$ {A $},{\hat {B}}]=0$

교정쇄

호환되는 관찰물이 통근한다는 증거

Let $\{ \psi _{n}\rangle \}$ be a complete set of common orthonormal eigenkets of the two compatible observables $A$ and $B$ (both are self-adjoint operator), corresponding to the sets of real-valued eigenvalues $\{a_{n}\}$ and $\{b_{n}\}$ 각각 $\{b_{n}\}$ $\{b_{n}\}$ $\{b_{n}\}$ n $}$ {\ $displaystyle$ \{ $b_{n}\}}.$ 그러면 우리는 쓸 수 있다.

AB \psi _{n}\rangele =A_{n}b_{n}\psi _{n}\rangele =b_{n}a_{n} \psi _{n}\n}\rangele =BA \psi _{n}\si _{n}\n}\n}}}

이제 전체 세트 $\{|\psi _{n}\rangle \}$ { $\{|\psi _{n}\rangle \}$ $\{|\psi _{n}\rangle \}$ ${\$ $displaystyle \PSI \rangele }$ 에 임의 $|\Psi \rangle$ 상태 케트 $|\Psi \rangle$ ${\psi _{n}\rangele$ }을 $\{|\psi _{n}\rangle \}$ (를) 확장하면 된다.

\psi \rangele =\sum _{n}c_{n} \psi _{n}\rangele

그래서 위의 결과를 통해서 우리는 그 결과를 알 수 있다.

(AB-BA) \psi \rangele =\sum _{n}c_{n}(AB-BA) \psi _{n}\rangele =0

이것은 $[A,B]=0$ [ $[A,B]=0$ , $[A,B]=0$ $[A,B]=0$ = $[A,B]=0$ $[A,B]=0$ 을 의미하며 $[A,B]=0$ 이는 두 운영자가 통근한다는 것을 의미한다.

통근 관측용품이 완전한 공통 고유 기능을 가지고 있다는 증거

$A$ 에 소멸되지 않는 고유값이 있는 $A$ 경우:

Let $\{ \psi _{n}\rangle \}$ be a complete set of orthonormal eigenkets of the self-adjoint operator $A$ corresponding to the set of real-valued eigenvalues $\{a_{n}\}$ . If the self-adjoint operators $A$ and ${\displaysty$ $레 B}$ 통근 $B$ , 우리는 글을 쓸 수 있다.

A(B \psi _{n}\rangele )=BA \psi _{n}\rangele =a_{n}(B \psi _{n}\rangele )

So, if $B \psi _{n}\rangle \neq 0$ , we can say that $B \psi _{n}\rangle$ is an eigenket of $A$ corresponding to the eigenvalue $a_{n}$ . Since both $B \psi _{n}\rangle$ and $|\psi _{n}\rangle$ $⟩{\displaystyle \psi_{n}\rangele }$ 은 $|\psi_n\rangle$ (는) $a_{n}$ ${\$ 과(와) 동일한 비분산 고유값과 연관된 고유개체로서 $a_{n}$ 최대 승수 상수로 차이를 보일 수 있다.우리는 이것을 $b_{n}$ b ${\$ 라고 부른다 $b_{n}$ 그래서

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

= b

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle

{\displaystyle

B

\psi _{n}\rangele =b_{n} \psi _{n}\rangele },

즉, $|\psi _{n}\rangle$ $|\psi _{n}\rangle$ $\psi _{n}\rangele$ 은(는) $B$ ${\displaystyle$ $B$ $B$ 의 고유켓이므로 $A$ ${\displaystyle$ A $}$ 과 $A$ ( $)$ B {\ $displaystyty B}$ 의 $B$ 고유켓이다 $|\psi _{n}\rangle$ . $B|\psi _{n}\rangle =0$ $B|\psi _{n}\rangle =0$ $B|\psi _{n}\rangle =0$ = 0 ${\displaystyle$ B $\psi _{n}\rangele$ = $0}$ 의 경우 $B|\psi _{n}\rangle =0$ 0이 아닌 벡터 $|\psi _{n}\rangle$ $ψ$ n $|\psi _{n}\rangle$ ${\displaystyle \psi \{$ $n}\$ $rangele }}$ 은 $B$ $고유값$ $b_{n}=0$ = 0 ${\displaystyle$ $B}$ 의 고유켓이다 $|\psi _{n}\rangle$ $b_{n}=0$

$A$ $A$ 에 퇴보 고유값이 있는 $A$ 경우:

$a_{n}$ n $a_{n}$ {\ $displaystyle a_{n}$ 이 $a_{n}$ g ${\displaystyle$ g $}-$ 폴드 $g$ 퇴화라고 가정해 보십시오.Let the corresponding orthonormal eigenkets be $\psi _{nr}\rangle ,r\in \{1,2,\dots ,g\}$ . Since $[A,B]=0$ , we reason as above to find that $B \psi _{nr}\rangle$ is an eigenket of $A$ c $a_{n}$ n ${\$ 의 퇴행성 고유값에 반응하는 경우 $a_{n}$ $a_{n}$ n {\ $displaystyle a_{n$ }}의 퇴행성 고유개킷을 $B|\psi _{nr}\rangle$ 으로 $B|\psi_{nr}\rangle$ B $B|\psi _{nr}\rangle$ r ${{nr}\rangele }$ 을(를) 확장할 수 있다 $a_{n}$

B \psi _{nr}\rangele =\sum _{s=1}^{g_{rs} \psi _{ns}\rangele

$c_{rs}$ $c_{rs}$ $c_{rs}$ ${\$ 는 $c_{rs}$ 팽창 계수다.The coefficients $c_{rs}$ form a self-adjoint matrix, since $\langle \psi _{ns} B \psi _{nr}\rangle =c_{rs}$ . Next step would be to diagonalize the matrix $c_{rs}$ . To do so, we sum over all $r$ $r$ $g$ $g$ 상수 $g$ $d_{r}$ ${\$ 을(를) 사용하여 . . $d_{r}$

B\sum _{r=1}^{g}d_{r}{r}}\psi _{nr}\randle =\sum _{r=1}^{g}d_{r}c_{rs} \psi _{ns}\r}\randle

$\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ $\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ r $\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ = 1 $\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ $\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ $\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ n $\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle$ ⟩ ${\displaystyle \sum _{r=1}^{g_{r} \psi$ _ ${nr}\rangele$ }}}}은(는 $b_{n}$ ) $b_{n}$ b $b_{n}$ n {\ $displaystyle b_{$ n}과 $B$ (는)의 고유값 $B$ 가 $\sum_{r=1}^gd_r|\psi_{nr}\rangle$ 될 것이다 $.$

\sum _{r=1}^{g_{r}c_{rs}=b_{n}d_{s}s=1,2,...g

이것은 상수 $d_{r}$ r ${\$ 에 $대해$ g $g$ 선형 $g$ 방정식의 시스템을 구성한다 $d_{r}$ 비종교적 솔루션은 다음과 같은 경우에 존재한다.

\det[c_{rs}-b_{n}\reason _{rs}=0

$b_{n}$ 은 b $b_{n}$ {\ $displaystyle b_{n$ 의 $g$ $순서$ g{\ $displaystyle g$ }의 $g$ 으로 g{\ $displaystyle$ g $}뿌리$ 를 $g$ 가지고 있다.For each root $b_{n}=b_{n}^{(k)},k=1,2,...g$ we have a non-trivial solution $d_{r}$ , say, $d_{r}^{(k)}$ . Due to the self-adjoint of $c_{rs}$ , all solutions are linearly independen그러므로 그들은 새로운 기초를 형성한다.

\phi \phi _{n}^{n}^{r=1}\sum _{r=1}^{g}d_{r}^{r(k) \regl }

$|\phi _{n}^{(k)}\rangle$ ( $k$ $⟩{\displaystyle \pi \pi$ _{n}^{ $n}\rangele$ }}은 $b_n^{(k)}$ (는 $)$ $각각$ n {\displaystyle $a_{n$ $}$ 과 $a_{n}$ $($ 의 고유값을 갖는 $B$ $동시$ 에 A {\ $displaystystystyle A$ $}$ 와 $A$ B $}{n}^(k$ $)$ 의 $|\phi _{n}^{(k)}\rangle$ 고유값이다.

토론

We consider the two above observables $A$ and $B$ . Suppose there exists a complete set of kets $\{ \psi _{n}\rangle \}$ whose every element is simultaneously an eigenket of $A$ and $B$ . Then we say that ${\d$ $isplaystyle A}$ 과 $A$ (와) $B$ $B$ 이 $B$ (가) 호환된다. $a_{n}$ ${\$ 및 $b_{n}$ ${\$ $displaystyle$ $b_{n}}$ 에 해당하는 $B$ $|\psi _{n}\rangle$ $A$ ${\displaystyle$ $\psi _{n}\rangele$ }에 해당하는 A {\ $displaystystyle$ $A}$ 및 $A$ $B$ {n $}$ 의 고유값을 나타내면 쓸 수 있다 $b_{n}$

A \psi _{n}\rangele =a_{n} \psi _{n}\rangele

B \psi _{n}\rangele =b_{n} \psi _{n}\rangele

만일 시스템이 고유 상태(예: $|\psi _{n}\rangle$ $|\psi _{n}\rangle$ $\\displaystyle \psi _{n}\rangele$ $|\psi _{n}\rangle$ 중 하나에 있다면, $A$ $A$ 과 $A$ $B$ $a_{n}$ ${\$ $displaysty$ $B$ $}$ 을(를) 임의의 정밀도로 동시에 측정할 수 있으며 $B$ , $a_{n}$ 를 $b_{n}$ $b_{n}$ $a_{n}$ 이다 $.$ $tyle$ $b_{n}}.$ 이 아이디어는 두 개 이상의 관찰 대상으로 확장될 수 있다.

호환 가능한 관측 가능성의 예

위치 연산자 $\mathbf {r}$ ${\$ 의 데카르트 구성 요소는 $x$ ${\displaystyle$ x $x$ $y$ $y$ $z$ z ${\displaystyle$ z $}$ 이다 $z$ 이 부품들은 모두 호환이 된다.마찬가지로 모멘텀 연산자 $\mathbf {p}$ ${\$ p $\mathbf {p}$ $p_{x}$ $p_{x}$ ${\$ $p_{y}$ $p_{y}$ ${\$ $p_$ ${y},$ $p_{z}$ z ${\$ 의 데카르트 구성 요소도 호환된다 $p_{z}$ .

형식 정의

관측할 수 있는 $A,$ $B,$ C $...$ . ${\displaystyle A,B,C...$ 다음과 같은 경우^[1]}을(를) CSCO라고 한다 $A,B,C...$ .

모든 관측소는 2인 1조로 통근한다.
CSCO에 있는 모든 연산자의 고유값을 지정하면 시스템의 Hilbert 공간에서 고유 고유 고유 벡터(최대 위상)를 식별한다.

CSCO가 주어진다면 해당 연산자의 공통 고유 벡터로 만들어진 상태 공간의 근거를 선택할 수 있다.우리는 각각의 고유 벡터를 그것이 대응하는 고유값의 집합에 의해 고유하게 식별할 수 있다.

토론

관측 가능한 $A$ ${\$ $displaystyle {\hat{A}$ 연산자 A ${\hat {A}}$ ${\$ $displaystyle A$ 을 ${\hat {A}}$ (를) 두자 $\{a_{n}\}$ 모든 비감발성 고유값이 $\{a_{n}\}$ { $\{a_{n}\}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}\}\}}}.$ 그 결과 각 고유값에 해당하는 고유한 고유 상태가 ${\hat {A}}$ 있어 각각의 고유값으로 라벨을 표시할 수 있다.예를 들어, $a_{n}$ $a_{n}$ ${\$ 에 ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ 하는 A ${\hat {A}}$ {\ $displaystyle {\hat{A}}$ 의 고유 상태는 $|a_{n}\rangle$ $|a_{n}\rangle$ $a_{n}\rangele}$ 로 라벨을 $a_{n}$ 표시할 수 있다 $|a_{n}\rangle$ 이러한 관찰 가능은 그 자체로 충분한 CSCO이다.

단, $a_{n}$ {\ $displaystyle a_{n}$ 의 고유값 중 일부가 퇴보(예: 에너지 레벨이 퇴보하는 경우)되면 $a_{n}$ 위의 결과는 더 이상 유지되지 않는다.이런 경우에는 동일한 고유값에 해당하는 고유특성을 구별할 필요가 있다.이를 위해 두 번째 관측 가능( $B$ $B$ 이라 함) $B$ 이 도입되며, A ${\displaystyle A$ 과(와) 호환된다.호환성 정리를 통해 ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ ${\$ 과 ${\hat {A}}$ (와) ${\hat {B}}$ ${\hat {B}}$ ${\$ 의 고유특성의 공통적인 근거를 찾을 수 있음을 ${\hat {B}}$ 알 수 있다.Now if each pair of the eigenvalues $(a_{n},b_{n})$ uniquely specifies a state vector of this basis, we claim to have formed a CSCO: the set $\{A,B\}$ . The degeneracy in ${\hat {A}}$ is completely removed.

그럼에도 불구하고 그런 일이 일어나면 퇴폐가 완전히 풀리지 않는다.즉, 하나 이상의 고유 벡터를 고유하게 식별하지 않는 $(a_{n},b_{n})$ 하나 이상의 쌍 $(a_{n},b_{n})$ , $(a_{n},b_{n})$ n $(a_{n},b_{n})$ ) ${\displaystyle(a_{n},b_{n}})$ 이 존재한다. ${\hat {A}}$ 경우 $A$ 는 A^ ${\$ $displaystyle A}$ 및 B $A$ $B$ 과 $C$ $와$ ) 모두 호환되는 관찰 $C$ 한 C $C$ 을(를) 하나 더 추가함으로써 위의 과정을 반복한다 $B$ A ${\hat {A}}$ ^ {\ $displaystystyle$ ${\A$ ${\hat {A}}$ ${\hat {B}}$ ^ ${\$ $d$ ${\hat {C}}$ ^. $laystyle {\hat {C}}}$ is unique, that is, uniquely specified by the set of eigenvalues $(a_{n},b_{n},c_{n})$ , then we have formed a CSCO: $\{A,B,C\}$ . If not, we add one more compatible observable and continue the process till a CSCO is obtained.

동일한 벡터 공간은 통근 운전자의 완전한 집합이 구별될 수 있다.

우리에게 유한 CSCO $\{A,B,C,...,\}$ { $\{A,B,C,...,\}$ , $\{A,B,C,...,\}$ , C $\{A,B,C,...,\}$ , $\{A,B,C,...,\}$ . $\{A,B,C,...,\}$ $\{A,B,C,...,\$ 이 $\{A,B,C,...,\}$ 가) 주어진다고 가정해 보자. 그러면 우리는 힐버트 공간에 있는 어떤 일반 상태라도 다음과 같이 확장할 수 있다.

\displaystyle \rangele =\sum _{i,j,k,k,...}}{\mathcal{C}_{i,j,k,k,...} a_{i},b_{j},c_{k},...\rangele }

$|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$ 서 $|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$ b $|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$ $|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$ $|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$ . . . . $|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle$ ${\displaystyle a_{i},b_{j},c_{k},...$ $\rangle }$ 은 $|a_i, b_j, c_k,...\rangle$ (는) ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}$ ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}$ ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}$ C ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}$ ^ {\ $displaystyle {\hat$ {A $},{\hat$ {B $},{\hat {$ C ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}$ 의 고유 항목으로 기본 공간을 형성한다.그것은

{\displaystyle {\hat} a_{i},b_{j},c_{k},

\rangele =a_{i} a_{i},b_{j},c_{k},...

\rangele }

등

$a_{i},b_{j},c_{k},...$ 우리가 상태 $|\psi \rangle$ {\ $displaystyle \$ $a_{i},b_{j},c_{k},...$ $\rangele}$ 에서 $A, B, C,...$ $|\psi \rangle$ $A,$ $B,$ $C$ $,$ $.{\$ $displaystyle A_,$ . $a_{i},b_{j},c_{k},...$ . $a_{i},b_{j},c_{k},...$ . . $a_{i},b_{j},c_{k},...$ . $a_{i},b_{j},c_{k},...$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $}}$ 은 $a_i, b_j, c_k,...$ (는) $|{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}$ $|{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}$ $|{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}$ $|{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}$ . $|{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}$ . . $|{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}$ ${\$ {\ $mathcal {C}_{i,j,k,$ k,... $} ^{2}}$ .

완전한 통근 운전자의 경우, 우리는 그들 모두를 동시에 대각선으로 만드는 단일 변형을 찾을 수 있다.

예

전자나 양성자 스핀이 없는 수소 원자

각운동량 연산자 $\mathbf {L}$ ${\$ 의 두 구성 요소는 통근하지 않지만 $\mathbf {L}$ 정류 관계를 만족한다.

[L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}

따라서 어떤 CSCO도 $\mathbf {L}$ ${\$ 둘 이상의 구성요소를 포함할 수 없다 $\mathbf {L}$ 각운동량 $L^{2}$ L 2 ${\$ L $^{2$ }}의 $L^{2}$ $\mathbf {L}$ 은 L $\mathbf {L}$ {\ $displaystyle \mathbf$ { $L}}$ 과(와)로 통한다는 것을 알 수 있다 $\mathbf {L}$

[L_{x},L^{2}]=0, [L_{y},L^{2}]=0, [L_{z},L^{2}]=0

Also, the Hamiltonian ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {Ze^{2}}{r}}$ is a function of $r$ only and has rotational invariance, where $\mu$ is the reduced mass of the system. $\mathbf {L}$ ${\$ 의 성분은 회전 생성기이므로 $\mathbf {L}$ 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[\mathbf {L},H]=0, [L^{2},H]=0

Therefore, a commuting set consists of $L^{2}$ , one component of $\mathbf {L}$ (which is taken to be $L_{z}$ ) and $H$ . The solution of the problem tells us that disregarding spin of the electrons, the set ${\$ 디스플레이 $스타일 \{H,L^{2},L_{z}\}}}}$ 은(는) CSCO를 형성한다 $\{H,L^{2},L_{z}\}$ .E $|E_{n},l,m\rangle$ , $|E_{n},l,m\rangle$ , $|E_{n},l,m\rangle$ $|E_{n},l,m\rangle$ $E_{n},l,m\angle}$ 을(를) 수소 원자의 힐버트 공간에 있는 어떤 기본 상태가 되도록 $|E_{n},l,m\rangle$ 한다.그러면

H E_{n}l,m\rangele =E_{n}E_{n}E_{n},l,m\rangele

L^{2} E_{n}l,m\rangele =l(l+1)\hbar ^{2} E_{n}l,m\rangele

L_{z}E_{n}l,m\rangele =m\hbar E_{n}l,m\rangele

즉 고유값 집합 $\{E_{n},l,m\}$ { $\{E_{n},l,m\}$ , $\{E_{n},l,m\}$ , $\{E_{n},l,m\}$ $\{E_{n},l,m\}$ $\{E_{n},l,m\$ 또는 $\{E_{n},l,m\}$ 그 이상 단순하게 $\{n,l,m\}$ { $\{n,l,m\}$ , $\{n,l,m\}$ $\{n,l,m\}$ $\{n,l,m\}$ {\ $displaystyle$ \{ $n,l,m\}}}}}}$ 은(는) 수소 원자의 고유 상태를 완전히 $\{n,l,m\}$ 지정한다.

자유 입자

자유 입자의 경우 해밀턴 $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$ = - $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$ 2 $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$ $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$ $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$ ${\$ }}:00 $}}}}$ 는 번역 $H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$ 시 불변이다.번역은 해밀턴어: $[H,\mathbf {\hat {T}} ]=0$ [ $[H,\mathbf {\hat {T}} ]=0$ , $[H,\mathbf {\hat {T}} ]=0$ $[H,\mathbf {\hat {T}} ]=0$ $[H,\mathbf {\hat {T}} ]=0$ = $[H,\mathbf {\hat {T}} ]=0$ ${\displaystyle [H,\mathbf {\hat{T} ]=0$ 그러나 해밀턴어를 번역 연산자 기준으로 표현하면 $H$ ${\displaysty H}$ 이(가) 두 배로 퇴보하는 고유값을 갖는다는 $H$ 것을 알게 될 것이다.It can be shown that to make the CSCO in this case, we need another operator called the parity operator $\Pi$ , such that $[H,\Pi ]=0$ . $\{H,\Pi \}$ forms a CSCO.

Again, let $k\rangle$ and $-k\rangle$ be the degenerate eigenstates of $H$ corresponding the eigenvalue $H_{k}={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}$ , i.e.

H k\rangele ={\frac {{\hbar ^{2}}:{k^{2}}:{2m}k\rangele }

H -k\rangele ={\frac {{\hbar ^{2}}:{k^{2}}:{2m} -k\rangele }

$H$ $H$ 의 변질성은 모멘텀 연산자 $\mathbf {\hat {p}}$ $\mathbf {\hat {p}}$ ${\$ 에 의해 제거된다 $H$ $\mathbf {\hat {p}}$

\mathbf {\p}k\rangele =k k\rangele

\mathbf {\hat} -k\rangele =-k -k -k\rangele

따라서 $\{\mathbf {\hat {p}} ,H\}$ { $\{\mathbf {\hat {p}} ,H\}$ $\{\mathbf {\hat {p}} ,H\}$ $\{\mathbf {\hat {p}} ,H\}$ $\{\mathbf {\hat {p}} ,H\}$ $\{\mathbf {\p},H\}$ 은(는) CSCO를 형성한다 $\{\mathbf {\hat {p}} ,H\}$ .

각도 모멘트의 추가

We consider the case of two systems, 1 and 2, with respective angular momentum operators $\mathbf {J_{1}}$ and $\mathbf {J_{2}}$ . We can write the eigenstates of $J_{1}^{2}$ and $J_{1z}$ as $|j_{1}m_{1}\rangle$ $j_{1}m_{1}}\rangele$ 과(와 $J_{2}^{2}$ $J_{2z}$ ) $|j_{2}m_{2}\rangle$ $J_{2}^{2}$ 2 $J_{2}^{2}$ ${\$ 및 $J_{2z}$ $|j_{2}m_{2}\rangle$ $|j_{2}m_{2}\rangle$ ${\\displaystyle J_{2}$ m_{2} $m_{2$ }\ $rangele$

J_{1}^{2} j_{1}m_{1}m_{1}{1}\rangele =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2} j_{1}m_{1}}\rangele

J_{1z}j_{1}m_{1}\1}\rangele =m_{1}\hbar j_{1}m_{1}\rangele

J_{2}^{2}m_{2}m_{2}}\rangele =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}j_{2}m_{2}m_{2}\rangele }

J_{2z}j_{2}m_{2}}\rangele =m_{2}\hbar j_{2}m_{2}\rangele

그런 다음 전체 시스템의 기본 상태는 j $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ 1 $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ ${\displaystyle j_{1}m_{1};j_{2}m_{2$ }m_{2 $}}\rangele$ }에 의해 $|j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle$ 주어진다.

j_{1}m_{1}m_{1}m_{2}}\rangele = j_{1}m_{1}1}\rangele \otimes j_{2}m_{2}m_{2}\rangele }

Therefore, for the complete system, the set of eigenvalues $\{j_{1},m_{1},j_{2},m_{2}\}$ completely specifies a unique basis state, and $\{J_{1}^{2},J_{1z},J_{2}^{2},J_{2z}\}$ forms a CSCO.Equivalently, there exists another set of basis states for the system, in terms of the total angular momentum operator $\mathbf {J} =\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}}$ . The eigenvalues of $J^{2}$ are $j(j+1)\hbar ^{2}$ where $j$ takes on the values $j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,..., j_{1}-j_{2}$ , and those of $J_{z}$ are $m$ where ${\displaystyle m=-j,-j+1,.$ $..j-1,j$ The basis states of the operators $J^{2}$ and $J_{z}$ are $j_{1}j_{2};jm\rangle$ . Thus we may also specify a unique basis state in the Hilbert space of the complete system by the set of eigenvalues ${\d$ $isplaystyle \{j_{1},j_{2},j,m$ 해당하는 CSCO는 $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$ { $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$ $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$ , $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$ 2, $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$ z $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$ ${\displaystyle\{J_{1}^{2}^{2$ }, $J^{2$ },J $^{$ 2}, $J_{z}\}}}}$ 입니다 $\{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}$

참고 항목

참조

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