총공분산 법칙

확률론에서 총공분산법,^[1] 공분산분해식 또는 조건부 공분산식의 법칙은 X, Y, Z가 동일한 확률공간에 랜덤 변수라면 X와 Y의 공분산이 유한하다고 명시한다.

${\displaystyle \operatorname {cov}(X,Y)=\operatorname {E}(X,Y\mid Z)+\operatorname {cov}(\operatorname {E}(X\mid Z),\operatorname {E}(Y\mid Z)).}$

이 글의 제목에 나오는 명칭은 완전한 분산이라는 문구 법칙과 유사하다.확률상의 일부 작가들은 이것을 "조건적인 공분산 공식"^[2]이라고 부르거나 다른 이름을 사용한다.

참고: 조건부 기대값 E( X Z )와 E(Y Z )는 값이 Z 값에 따라 달라지는 랜덤 변수다.사건 Z = z가 주어진 조건부 기대값 X는 z의 함수라는 점에 유의한다.E(X Z = z) = g(z)라고 쓰면 랜덤 변수 E(X Z )는 g(Z)가 된다.유사한 의견이 조건부 공분산에도 적용된다.

증명

총공분산의 법칙은 총 기대의 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.먼저

${\displaystyle \operatorname {cov}(X,Y)=\operatorname {E}[XY]-\operatorname {E}[Y]}$

공생에 대한 단순한 표준 정체성으로부터.그런 다음 무작위 변수 Z:에 대한 조건화를 통해 전체 기대치의 법칙을 적용한다.

${\displaystyle =\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [XY\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}$

이제 공분산의 정의를 사용하여 첫 번째 기대치 안에 용어를 다시 쓴다.

${\displaystyle =\operatorname {E} \!{\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)+\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}$

총액에 대한 기대는 기대의 합이므로, 우리는 다음과 같은 조건을 다시 조합할 수 있다.

${\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)]+\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Z]]\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]}$

마지막으로, 최종 두 항을 조건부 기대치 E[X Z]와 E[Y Z]의 공분산으로 인식한다.

${\displaystyle =\operatorname {E} {\big [}\operatorname {cov}(X,Y\mid Z){\big ]+\operatorname {cov} {\big(}\operatorname {E}[X\mid Z]\opername {E} [Y\mid Z]{\big}}}}}}}}}}}}).$

참고 항목

• 총 분산의 법칙, X = Y에 해당하는 특수한 경우.
• 총공헌의 법칙, 이 중 총공분산의 법칙은 특별한 경우다.

참고 및 참조