변량변수

통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
벤 다이어그램 트리 다이어그램
v t

랜덤 변수는 랜덤 사건의 결과에 따라 값이 달라지는 변수다.^[1] 무작위 수량, 음수 변수 또는 확률 변수라고도 한다. 그것은 공식적으로 측정 가능한 함수로 정의된다. 그것은 표본 공간에서 확률 공간의 측정 가능한 공간으로 매핑된다.^[2][3]

랜덤 변수의 가능한 값은 아직 수행되지 않은 실험의 가능한 결과 또는 이미 존재하는 값이 불확실한 과거 실험의 가능한 결과(예: 부정확한 측정 또는 양자 불확실성)를 나타낼 수 있다.^[1] 그것들은 또한 개념적으로 "객관적으로" 무작위 프로세스의 결과(다이를 굴리는 것과 같은) 또는 수량에 대한 불완전한 지식에서 비롯되는 "주관적" 무작위성을 나타낼 수 있다. 무작위 변수의 잠재적 값에 할당된 확률의 의미는 확률 이론 자체의 일부가 아니라 확률의 해석을 둘러싼 철학적 주장과 관련이 있다. 수학은 사용 중인 특정한 해석에 관계없이 동일하게 작용한다.

함수로써 랜덤 변수는 측정할 수 있어야 하며, 이를 통해 그 잠재적 값 집합에 확률을 할당할 수 있다. 결과는 예측할 수 없는 일부 물리적 변수에 의존하는 것이 일반적이다. 예를 들어 페어 코인을 던질 때 머리나 꼬리의 최종 결과는 불확실한 신체 조건에 따라 달라지기 때문에 관찰되는 결과가 불확실하다. 동전이 바닥 틈새에 끼일 수 있지만 그런 가능성은 고려 대상에서 제외된다.

랜덤 변수의 도메인을 표본 공간이라고 하며, 비결정적 사건의 가능한 결과 집합으로 정의한다. 예를 들어, 동전 던지기의 경우, 앞면과 뒷면의 두 가지 결과만 가능하다.

랜덤 변수는 그 범위의 보렐 부분 집합의 확률을 지정하는 확률 분포를 가진다. 랜덤 변수는 이산형(계산 가능한 범위를 갖는) 또는 카운트 가능한 특정 값 목록 중 하나를 취할 수 있으며, 랜덤 변수의 확률 분포의 특징인 확률 질량 함수를 부여하거나, 연속적으로 구간 또는 구간 집합에서 모든 숫자 값을 취할 수 있다(마운트되지 않은 값 포함).가능 범위), 랜덤 변수의 확률 분포의 특성인 확률 밀도 함수를 통해 또는 둘 다의 혼합을 통해.

확률 분포가 동일한 두 랜덤 변수는 다른 랜덤 변수와의 연관성 또는 독립성 측면에서 여전히 다를 수 있다. 변수의 실현, 즉 변수의 확률분포함수에 따라 랜덤하게 값을 선택하는 결과를 변량이라고 한다.

원래 크리스티아안 후이겐스가 도입했지만 무작위 변수의 관점에서 체계적으로 가장 먼저 생각한 사람은 파프누티 체비셰프였다.^[2][3]

정의

랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $X}$은${\displaystyle (}$는$)$ $측정{\displaystyle \mathrm{}}$ 가능한 함수 $X{\displaystyle }$ : Ω → E {\displaystyle $X\colon \$$Oomega \$$to E}$에서 측정 가능한 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$까지의 가능한 결과 집합이다$.$ 기술적 자명적 정의에서는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$이(가) 확률 삼중$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, F${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{P}}$ $){\displaystyle(\Oomega ,{mathcal$ {$F},\operatorname {P})}$의 샘플 공간이 되어야 한다$$($$측정-이론적 정의 참조). $랜덤{\displaystyle }$ 변수는 $종종{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$\},$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$\},$ Z ${\displaystyle Z$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$와 같은 대문자로 표시된다$.$^[4]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 측정 가능한 집합 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \subseteq }$ E ${\displaystyle S\subseteq E}$의 값을 가질$$ 확률은 다음과 같이 기록된다$$.

${\displaystyle \operatorname {P}(X\in S)=\operatorname {P}(\\\Oomega \mid X(\omega )\in S\})$

표준 케이스

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 실제 값인 경우가 많다. 즉,${\displaystyle }E{\displaystyle }$ = ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle$ E$=\mathb {R$ 어떤 맥락에서 랜덤 요소(확장 참조)라는 용어는 이 형식이 아닌 랜덤 변수를 나타내기 위해 사용된다.

언제 X{X\displaystyle}의 이미지(또는 범위)가산은 이미지, 확률 변수와 그것의 유통은 이산 확률 분포, 즉는 X{X\displaystyle}의 이미지에 각 값에 대한 확률을 할당할 확률 질량 함수로 기술될 수 있다. 이산 확률 variable[5]:399로 불린다. 있uncoun가능한 무한(일반적으로 간격) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 연속 랜덤 변수라고 한다$$.^[6][7] 절대적으로 연속적인 특별한 경우, 분포는 확률을 구간에 할당하는 확률밀도함수로 설명할 수 있다. 특히, 각 개별 점은 절대 연속 랜덤 변수에 대해 반드시 확률 0을 가져야 한다. 모든 연속 랜덤 변수가 절대적으로 연속적인 것은 아니며,^[8] 혼합물 분포는 그러한 counterexample 중 하나이다. 그러한 랜덤 변수는 확률 밀도 또는 확률 질량 함수로 설명할 수 없다.

임의 랜덤 변수는 누적 분포 함수로 설명할 수 있으며, 이는 랜덤 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률을 설명한다.

확장

통계에서 "랜덤 변수"라는 용어는 전통적으로 실제 가치 사례로 제한된다${\displaystyle (E\mathbb{}}$ = R ${\$E=\$mathb$ {$R} }).$ 이 경우, 실수의 구조는 무작위 변수의 기대값과 분산, 그 누적분포함수, 그리고 그 분포의 순간과 같은 양을 정의할 수 있게 한다.

그러나 위의 정의는 값의$$ 측정 가능한 $공간{\displaystyle }$ E$${\$displaystyle E}$에 유효하다. 따라서 랜덤 부울 값, 범주형 값, 복잡한 숫자, 벡터, 행렬, 시퀀스, 트리, 세트, 형상, 다지관 및 함수와 같은 다른 $집합{\displaystyle }$ E ${\displaystyle$ E$}$의 랜덤 요소를 고려할 수 있다$.$ 그런 다음 유형 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 랜덤 변수$$$또는{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$ 값 랜덤$$ 변수를 구체적으로 언급할 수 있다.

이처럼 더 일반적인 무작위 요소의 개념은 그래프 이론, 머신러닝, 자연어 처리 및 이산 수학 및 컴퓨터 과학의 다른 분야와 같은 분야에서 특히 유용하며, 비수리적 데이터 구조의 무작위 변동을 모델링하는 데 관심이 많다. 그럼에도 불구하고 하나 이상의 실제 숫자를 사용하여$$$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 각 요소를 나타내는 것이 편리한 경우도 있다. 이 경우 무작위 요소는 선택적으로 실제 값 랜덤 변수의 벡터로 표현될 수 있다(모두 동일한 기본 확률 $공간{\displaystyle \mathrm{}}$ Ω$${\$displaystyle \Oomega$}에 정의되어 서로 다른 랜덤 변수가 공존할 수 있다). 예를 들면 다음과 같다.

• 임의의 단어는 가능한 단어의 어휘에 대한 색인 역할을 하는 임의의 정수로 표현될 수 있다. 또는 길이가 어휘의 크기와 동일한 임의 표시 벡터로 나타낼 수 있으며, 여기서 양의 확률의 유일한 값은$1$ ${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$ $0$ 0 0 0${\displaystyle }$0$\ 0\$ 0\$\cdots ),$$$(${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \text{1}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \text{⋯}}$),$$($0 1$\$0\$0\ 0\$\cdots ),$$$$($${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle \text{1}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \text{⋯}}$ ), (0 0 0 0 0 ${\displaystyle )}$ ) ${\staystylease$ ($0\)$이다$.$$0\ 1\ 0\ \cdots )}$과(와) 1의 위치는 단어를 나타낸다.
• 주어진 길이 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 임의 문장은 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 랜덤 워드의 벡터로 나타낼 수 있다$$.
• 정점이$$ 주어진 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 랜덤 그래프는 N ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ N$\times N}$ 행렬로$$ 나타낼 수 있으며, 이 행렬의 값은 랜덤 그래프의 인접 행렬을 지정할 수 있다.
• 무작위 함수 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$$}$은$($는$)$ 함수의 영역에 있는$$ 다양한 지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 함수의 값을 제공하는 임의 변수 $x$)의 집합으로 나타낼 수 있다$$. $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle F(x)}$은 함수가 실제 값인 경우 일반적인 실제 값 랜덤 변수다$$. 예를 들어 확률적 공정은 시간의 랜덤함수, ${\displaystyle \mathrm{랜덤}}$ 벡터는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle \dots ,}$ n ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$과 같은 일부 인덱스 집합의 랜덤함수$,$ 랜덤 필드는 임의의 집합(일반적으로 시간, 공간 또는 이산형 집합)에 대한 랜덤함수다.

분포함수

If a random variable ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ defined on the probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ is given, we can ask questions like "How likely is it that the value of ${\displaystyle X}$ is equal to 2?". This is the same as the probability of the event ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )=2\}\,\!}$ which is often written as ${\displaystyle P(X=2)\,\!}$ or ${\displaystyle p_{X}(2)}$ for short.

실제 값 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 출력 범위의 이러한 모든 확률을 기록하면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 확률 분포를 얻을 수 있다$$$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 정의하기$$ 위해 사용된 특정 확률 공간에 대한 "잊어버리고" $X$의 다양한 값의 확률만을 기록한다$.$ 이러한 확률 분포는 항상 누적 분포 함수에 의해 포착될 수 있다.

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P}(X\leq x)}$

and sometimes also using a probability density function, ${\displaystyle p_{X}}$. In measure-theoretic terms, we use the random variable ${\displaystyle X}$ to "push-forward" the measure ${\displaystyle P}$ on ${\displaystyle \Omega }$ to a measure ${\displaystyle p_{X}}$ on ${\displaysty$$\mathb {R$ $기본$ 확률 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 랜덤 변수의 존재를 보장하고, 때로는 이를 구성하기 위해 사용되며, 동일한 확률에 대해 둘 이상의 랜덤 변수의 공동 분포를 바탕으로 상관관계 및 의존성 또는 독립성과 같은 개념을 정의하는 데 사용되는 기술 디바이스다. 공간. 실제로 흔히 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Oomega}$을(를) 모두 처분하고 측정값 1을 전체 실제 라인에 $할당$하는 R ${\$에 측정값(즉, 무작위 변수 대신 확률 분포를 사용하여 작업한다. 자세한 내용은 정량적 함수에 대한 기사를 참조하십시오.

예

이산 랜덤 변수

실험에서 사람은 무작위로 선택될 수 있으며, 한 개의 무작위 변수는 그 사람의 키가 될 수 있다. 수학적으로 임의변수는 그 사람을 그 사람의 키에 매핑하는 함수로 해석된다. 무작위 변수와 연관된 확률 분포는 높이가 180cm에서 190cm 사이일 확률 또는 높이가 150cm 미만 또는 200cm 이상일 확률과 같이 가능한 값의 하위 집합에 있을 확률을 계산할 수 있다.

또 다른 무작위 변수는 개인의 자녀 수일 수 있다. 이것은 음수가 아닌 정수 값을 갖는 이산 랜덤 변수다. 개별 정수 값 - 확률 질량 함수(PMF) - 또는 무한 집합을 포함한 값 집합에 대한 확률을 계산할 수 있다. 예를 들어, 관심의 사건은 "동등한 수의 아이들"일 수 있다. For both finite and infinite event sets, their probabilities can be found by adding up the PMFs of the elements; that is, the probability of an even number of children is the infinite sum ${\displaystyle \operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots }$.

이와 같은 예에서는 수학적으로 설명하기 어렵기 때문에 표본 공간을 억제하는 경우가 많으며, 랜덤 변수의 가능한 값은 표본 공간으로 처리된다. 그러나 동일한 무작위인을 대상으로 계산되는 어린이의 키와 수와 같이 두 개의 무작위 변수를 동일한 결과 표본 공간에서 측정할 때, 예를 들어, 키와 어린이의 수가 모두 동일한 무작위 사람으로부터 온다고 인정되면 이들의 관계를 추적하기가 더 쉽다. 무작위 변수는 상관되거나 포즈될 수 없다.

If ${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$ are countable sets of real numbers, ${\textstyle b_{n}>0}$ and ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}=1}$, then ${\displaystyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}}$ is a discrete distribution function. x≥ t{\displaystylex\geq지}에 x의<>t{\displaystyle x&lt는},δ t())=1{\displaystyle \delta_{t}())=1}을 위한δ t()))0{\displaystyle \delta_{t}())=0}. 예를 들어{는 n}{\displaystyle\와 같이{a_{n}\로}모든 합리적인 숫자의 열거형}을 꺼내고, 한 분리된 distributi을 가져옵니다.보러에스텝 함수 또는 조각 상수가 아닌 nection.^[5]

동전 던지기

하나의 동전 던지기에서 가능한 결과는 샘플 공간 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle \text{heads},}$ ${\displaystyle \text{tails}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \Oomega=\{\text{details}\}}}}$로 설명할 수 있다$.$ 우리는 다음과 같이 헤드에서 성공적인 베팅을 위해 1달러의 보답을 모형화하는 실제$$ 가치 랜덤 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\\\\displaystyleday$ Y$}$를 소개할 수 있다.

${\displaystyle Y(\omega )={\begin{case}1, }{\text{{\text{heads}},\\\pt]0,&\{\text{}}}}}}.\end{case}}}$

만약 동전이 페어 코인이라면 ${\displaystyle Y_{}}$는 확률 질량 $함수{\displaystyle {}_{}}$ f ${\$$Y}$이(가) 다음을 통해 제공:

${\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{case}{\tfrac{1}{1}:{1}:{\{\ipt]{\tfrac{1}{1}:{1}{{text}{}}}}}{}y=0,\case{}}}}}}}$

주사위 굴리기

랜덤 변수는 주사위를 굴리는 과정과 가능한 결과를 설명하는 데 사용될 수도 있다. 2-dice 사례의 가장 분명한 표현은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}(두 주사위에 있는 숫자를 나타냄)에서 n과₁ n의₂ 쌍을 표본 공간으로 삼는 것이다. 롤링된 총 수(각 쌍의 숫자의 합)는 쌍을 합에 매핑하는 함수에 의해 주어진 랜덤 변수 X이다.

${\displaystyle X(n_{1},n_{2})=n_{1}+n_{2}}}$

그리고 (다이스가 공정한 경우) 확률 질량 함수 ƒ은_X 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f_{X}={\frac {\min(S-1,13-S)}{36},{{}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}}}$

연속 랜덤 변수

형식적으로 연속 랜덤 변수는 누적 분포 함수가 모든 곳에서 연속적인 랜덤 변수다.^[9] 발생 확률이 유한한 숫자에 해당하는 "갑"은 없다. 대신 연속 랜덤 변수는 정확히 규정된 값 c(공식적으로 $,\mathrm{}$ $c$ $\in$ $R\mathbb{}$: $Pr$ : $\mathrm{Pr}$:$$($X$= ) =$$ {\$forall c\$in $\forall$ c\$forall$ c$\in \$mathb {$R} :\;\Pr($X=c$)=0$을 거의 사용하지 않지만, 임의로 작을 수 있는 특정 간격으로 값이 존재할 확률은 양수 있다. 연속 랜덤 변수는 대개 확률밀도함수(PDF)를 수용하는데, 이는 CDF와 확률 측정의 특성을 나타낸다. 이러한 분포는 절대 연속 분포라고도 한다. 그러나 일부 연속 분포는 단수 분포 또는 절대 연속 부품과 단일 부품의 혼합이다.

연속 랜덤 변수의 예는 수평 방향을 선택할 수 있는 스피너에 기초한 변수의 예일 것이다. 그런 다음 랜덤 변수가 취하는 값은 방향이다. 우리는 이 방향을 북쪽, 서쪽, 동쪽, 남쪽, 남동쪽 등으로 나타낼 수 있다. 그러나 일반적으로 표본 공간을 실제 숫자인 값을 갖는 랜덤 변수에 매핑하는 것이 더 편리하다. 예를 들어, 방향을 북쪽으로부터 시계방향으로 베어링에 매핑하는 방법으로 수행할 수 있다. 그런 다음 랜덤 변수는 구간[0, 360]에서 실제 숫자인 값을 취하며, 범위의 모든 부분은 "동등하게 가능성"이 있다. 이 경우 X = 각도 스핀. 어떤 실수라도 선택될 확률은 0이지만, 양의 확률은 어떤 범위의 값에 할당될 수 있다. 예를 들어 [0, 180]에서 숫자를 선택할 확률은 다음과 같다. ½. 확률질량함수를 말하는 대신 X의 확률밀도는 1/360이라고 한다. [0, 360]의 부분집합 확률은 집합의 측도에 1/360을 곱하여 계산할 수 있다. 일반적으로 주어진 연속 랜덤 변수에 대한 집합 확률은 주어진 집합에 대한 밀도를 통합하여 계산할 수 있다.

More formally, given any interval ${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$, a random variable ${\displaystyle X_{$$I}\sim \operatorname {U}(I)=\operatorname {U}[a,b]}$은(는) 하위간격의 길이에만 따라 값이 달라지는 경우 "연속적 균일 랜덤 변수"(CURV)라고 한다$$. ${\displaystyle {이}_{}}$는 X I ${\$의 확률을 의미한다.$I}$ 어떤 하위 절연 [${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ,}$ d ${\displaystyle ]}{\displaystyle \subseteq }$[ a${\displaystyle }$, $b$ ${\displaystyle ]}$ ${\daystyle [c,$d]\$subseteq$[$a,b$]}}에 속하는$$ 것은 하위 절연체의 길이에 비례하는 것으로$$, 즉, c c d d b b에 해당하는 경우 다음과 같다.

마지막 평등이 확률의 단위성 공리에서 비롯된다. CRVERSE $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{U}}$ ${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ X$\sim \operatorname {U} [a,b]}$의 확률밀도 함수는 간격의 길이로 정규화된 지원 간격의 표시기 함수에 의해 주어진다$$.

Of particular interest is the uniform distribution on the unit interval${\displaystyle [0,1]}$. Samples of any desired probability distribution${\displaystyle \operatorname {D} }$ can be generated by calculating the quantile function of ${\displaystyle \operatorname {D} }$ on a randomly-generated number distributed uniformly on the unit interval. This exploits properties of cumulative distribution functions, which are a unifying framework for all random variables.

혼합형

혼합 랜덤 변수는 누적 분포 함수가 이산형 또는 전체-연속적이지 않은 랜덤 변수다.^[9] 이 값은 이산 랜덤 변수와 연속 랜덤 변수의 합으로 실현할 수 있으며, 이 경우 는 성분 변수의 CDF에 대한 가중 평균이 된다.^[9]

혼합형 변수의 예는 코인이 뒤집히고 동전 던지기 결과가 앞면이 될 경우에만 스핀너가 회전하는 실험에 기초한다. 결과가 꼬리인 경우 X = -1이고, 그렇지 않은 경우 X = 앞의 예와 같이 스피너의 값이다. 이 랜덤 변수가 -1 값을 가질 확률은 1/2이다. 다른 범위의 값은 마지막 예제의 확률의 절반을 가질 수 있다.

가장 일반적으로 실제 라인의 모든 확률 분포는 이산 부품, 단수 부품 및 절대적으로 연속적인 부품의 혼합물이다. 르베그의 분해 정리 § 정교화를 참조하라. 이산형 부분은 계수 가능한 집합에 집중되지만, 이 집합은 밀도(모든 이성적인 숫자의 집합처럼)일 수 있다.

측정-이론적 정의

무작위 변수의 가장 형식적이고 자명한 정의는 측정 이론을 포함한다. 연속 랜덤 변수는 그러한 집합을 확률에 매핑하는 함수와 함께 숫자 집합의 관점에서 정의된다. 그러한 집합이 불충분하게 제한될 경우 발생하는 다양한 어려움(예: Banach-Tarski 역설) 때문에, 어떤 확률을 정의할 수 있는 가능한 집합에 구속하기 위해 시그마-알지브라라고 불리는 것을 도입할 필요가 있다. 일반적으로 그러한 시그마-알지브라(Borel l-algebra)는 숫자의 연속적인 간격에서 직접 또는 유한하거나 카운트할 수 있는 무한의 유니언 수 및/또는 그러한 간격의 교차점에 의해 도출될 수 있는 모든 집합에 걸쳐 확률을 정의할 수 있도록 한다.^[10]

측정-이론적 정의는 다음과 같다.

$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, P${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal {F},P)}$은 확률공간이고${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$, ${\displaystyle E\mathcal{}}$ $){\displaystyle (E,{\mathcal$ {$E})$은 측정가능한 공간이다. Then an ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$-valued random variable is a measurable function ${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$, which means that, for every subset ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$, its preimage is ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-measurable; ${\displaystyle X^{-1}(B}$)∈ F{\displaystyle X^{)}(B)\in{{F\mathcal}}}, 여기서 X){ω:X(ω)∈ B}}{\displaystyle X^{)}(B)=\{\omega:X(\omega)\in B\}1(B)− .[11]이 정의는 우리에게 어떠한 부분 집합 B∈ E{\displaystyle B\in{{E\mathcal}을 측정하는데}}은 가정에 의해measur은 preimage를 살펴보면,에 맞는 목표 우주에서 가능하게 한다.able

좀 더 직관적인 $용어$로$$Ω {\$displaystyle \Oomega}$의 멤버는$$ 가능한 $결과물$이고,$$F {\$displaystyle${\$mathcal${F}의$$ 멤버는 가능한 결과물의 측정 가능한 하위 $집합$이며,$$P {\$displaystyle P}$ 함수는 그러한 측정 가능한 하위 집합의$$ 확률을 $제공$하며,$$E {\$displaystystytime E}$을 나타낸다$$.무작위 변수에서 (실수의 집합 등) 취할 수 있으며, $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 멤버는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 "잘된"(측정 가능한) 부분 집합이다$$($$확률을 결정할 수 있는 부분). 랜덤 변수는 임의 변수의 유용한 수량 부분 집합으로 이어지는 결과가 잘 정의된 확률을 가질 수 있도록 어떤 결과에서 양까지의 함수다.

When ${\displaystyle E}$ is a topological space, then the most common choice for the σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ is the Borel σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$, which is the σ-algebra generated by the collection of all open sets in ${\displaystyle E}$. In such case the ${\displaystyle (E}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}}$ 값$$ 랜덤 변수를 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 값 랜덤 변수라고 한다. 더욱이 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 실제 선 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$인 경우$,$ 이러한 실제 값을 가진 랜덤 변수를 단순히 랜덤 변수라고 부른다.

실제값 랜덤 변수

이 경우 관측 공간은 실수의 집합이다. 호출, (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal{F},P)}$은 확률 공간이다. 실제 관측 공간의 경우,${\displaystyle }X{\displaystyle }$ : ${\displaystyle \Omega \mathbb{}}$→ R$${\$displaystyle X\colon \Oomega \rightarrow \mathb {R}$함수 는 다음과 같은 경우 실제 값 랜덤 변수다$$.

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}\qquad \forall r\in \mathb {R}}}$

이 정의는 집합${\displaystyle }${${\displaystyle }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ]}$: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{(-\inflt ,r]:r\in \mathbb{R}$ \}}}}}})이 실제 숫자 집합에 보렐 al-알제브라(Borel --algebra)를$$ 생성하며, 모든 생성 집합에 대한 측정가능성을 확인하는 데 충분하기 때문에 위의 특별한 경우다. 여기서 우리는 {${\displaystyle \Omega }$: ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle \le }$ r ${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}(-\ft;r])}$라는 사실을 사용하여 이 생성 집합에 대한 측정 가능성을 증명할 수 있다$.$

순간

랜덤 변수의 확률 분포는 종종 적은 수의 모수에 의해 특징지어지는데, 이 모수는 또한 실제적인 해석을 가지고 있다. 예를 들어, 그것의 "평균값"이 무엇인지 아는 것이 충분할 때가 많다. 이는 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle \operatorname {E} [X$로 표시된 랜덤 변수의 기대값의 수학적 개념에 의해 포착되며, 첫 순간이라고도 한다. In general, ${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]}$ is not equal to ${\displaystyle f(\operatorname {E} [X])}$. Once the "average value" is known, one could then ask how far from this average value the values of ${\displaystyle X}$ typically are, a question that is answered by the variance and 랜덤 변수의 표준 편차 ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$은(는) 무한대 모집단에서 얻은 평균으로 직관적으로 볼 수 있으며$$, 그 $구성원$은 X$${\$displaystyle X}$의 특정 평가다$.$

Mathematically, this is known as the (generalised) problem of moments: for a given class of random variables ${\displaystyle X}$, find a collection ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ of functions such that the expectation values ${\displaystyle \operatorname {E} [f_{i}(X)]}$ fully characterise the dist$랜덤{\displaystyle }$ 변수 X ${\displaystyle X}$의 리볼루션$.$

순간은 무작위 변수(또는 복잡하게 계산된 등)의 실제 값 함수에만 정의될 수 있다. 랜덤 변수 자체가 실제 값이면 ${\displaystyle \mathrm{변수}}$ 자체의 모멘트를 취할 수 있는데, 이는 랜덤 변수의 ID$$ 함수 $f{\displaystyle (}$ X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)=X}$의 모멘트와 동일하다. 그러나 실제 값이 아닌 랜덤 변수의 경우에도 해당 변수의 실제 값 함수에 대한 순간을 취할 수 있다. 예를 들어 공칭 값 "빨간색", "파란색" 또는 "녹색"을 취할 수 있는 범주형 랜덤 변수 X의 경우, 실제 값${\displaystyle }$함수 ${\displaystyle [X}$ = $]{\displaystyle [X={\text{green}]$을 생성할$$ 수 $있으며{\displaystyle }$, 이는 Iverson 브래킷을 사용하며,$$X {\$displaystyle X}$의 값이 "녹색", 0인 경우 값이다. 그런 다음, 이 기능의 기대값과 다른 순간들을 결정할 수 있다.

랜덤 변수의 함수

A new random variable Y can be defined by applying a real Borel measurable function ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ to the outcomes of a real-valued random variable ${\displaystyle X}$. That is, ${\displaystyle Y=g(X)}$. $그러면$ Y ${\displaystyle$Y}의 누적 분포 함수가

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P}(g(X)\leq y).}$

$함수{\displaystyle }$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를$)$ 변환할 수 ${\displaystyle {}^{(\mathrm{예}}}$$:$ h = g - 1 {\$displaystyle$ h} $여기서$h${\$$displaystyle$ h}은(는) g {\displaystyle $g}$의$$역함수이거나 감소하는 경우 이전 관계를 확장하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P}(g(X)\leq y)={\begin{case}\operatorname {P}(X\leq h(y))=F_{X}(h(y)),&#{\text{}h=g^{-1}{\text{1}{\text},\\\\operatorname {P}(X\geq h(y)=1-F_{X}(y)),&#text{}{{h=g^{1}\text}.\end{case}}}$

$g{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle g}$의 반전성에 대한 동일한 가설과 함께$,$ $또한{\displaystyle }$ 다른 가능성을 가정할 때, 확률밀도함수의 $관계$는 y {\displaystyle $y}$에 대한 위의 표현식의 양쪽을 구별하여 얻을^[9] 수 있다$.$

${\displaystyle f_{Y}=f_{X}{\bigl (}h(y){\bigr )}\왼쪽 {\frac {dh(y)}{dy}}\오른쪽 .}$

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 반전성은 없지만$$ 각 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$은(는) 최대 카운트 가능한 루트 수(즉, 유한하거나 카운트다운 무한 x i$})$를 인정하는 경우 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle x_{}}$ $){\displaystystyle y=g(x_{i$와 $같은{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ $i$의 개수를 인정하고$,$ 확률 밀도 사이에 이전 관계를 표시한다. 함수는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

${\displaystyle f_{Y}=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1})(y)\왼쪽 {\frac {dg_{i}^{1}:{dy}}}}}}오른쪽 }$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle g_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$-${\displaystyle {}_{}^{}1}$ ( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle x_{i}=g_{i}^{-1}(y)}}$ 역함수 정리대로$.$ 밀도에 대한 공식은 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 증가할 것을$$ 요구하지 않는다.

In the measure-theoretic, axiomatic approach to probability, if a random variable ${\displaystyle X}$ on ${\displaystyle \Omega }$ and a Borel measurable function ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, then ${\displaystyle Y=g(X)}$ is also a random variable on ${\$측정 가능한 함수의 구성도 측정할 수 있기 때문에 디스플레이 $스타일 \Oomega$ $\}.$ ($단{\displaystyle }$, g ${\displaystyle g}$이(가) Lebesgue 측정 가능한 경우$$ 이는 반드시 사실이 아니다.)^{[citation needed]} 확률 공간$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle (\Oomega ,P)}$에서 $({\displaystyle R\mathbb{}}$, d ${\displaystyle F_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (\mathb {R} ,dF_{X})$로 이동할 수 있었던 것과 동일한 절차를 $사용$하여 Y ${\displaysty$Y}의 분포를 구할$$ 수 있다$.$

예 1.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 실제 값 연속 랜덤 변수로 설정하고$$ $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P}(X^{2}\leq y).}$

< ${\displaystyle y<0$ ${\displaystyle \mathrm{그렇다면}}$ $P{\displaystyle ({X2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P(X^{2}\leq$ y$)=0$ 따라서

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

If ${\displaystyle y\geq 0}$, then

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} ( X \leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

so

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

Example 2

Suppose ${\displaystyle X}$ is a random variable with a cumulative distribution

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

where ${\displaystyle \theta >0}$ is a fixed parameter. Consider the random variable ${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$ Then,

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

The last expression can be calculated in terms of the cumulative distribution of ${\displaystyle X,}$ so

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta }.\end{aligned}}}$

which is the cumulative distribution function (CDF) of an exponential distribution.

Example 3

Suppose ${\displaystyle X}$ is a random variable with a standard normal distribution, whose density is

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

Consider the random variable ${\displaystyle Y=X^{2}.}$ We can find the density using the above formula for a change of variables:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left {\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right .}$

In this case the change is not monotonic, because every value of ${\displaystyle Y}$ has two corresponding values of ${\displaystyle X}$ (one positive and negative). However, because of symmetry, both halves will transform identically, i.e.,

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right .}$

The inverse transformation is

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

and its derivative is

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

Then,

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

This is a chi-squared distribution with one degree of freedom.

Example 4

Suppose ${\displaystyle X}$ is a random variable with a normal distribution, whose density is

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

Consider the random variable ${\displaystyle Y=X^{2}.}$ We can find the density using the above formula for a change of variables:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left {\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right .}$

In this case the change is not monotonic, because every value of ${\displaystyle Y}$ has two corresponding values of ${\displaystyle X}$ (one positive and negative). Differently from the previous example, in this case however, there is no symmetry and we have to compute the two distinct terms:

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left {\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right +f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left {\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right .}$

역변형은

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1(y)=\pm {\sqrt {y}}$

그리고 그 파생상품은

${\dplaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1(y)}{dy}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

그러면.

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

이것은 자유도가 1도인 비중앙 카이-제곱 분포다.

일부 속성

• 두 개의 독립 랜덤 변수의 합계에 대한 확률 분포는 각 변수의 분포의 합이다.
• 확률 분포는 벡터 공간이 아니다. 즉, 비선형성 또는 총 적분 1을 보존하지 않기 때문에 선형 결합에서 닫히지 않지만 볼록 결합에서 닫히므로 함수(또는 측정) 공간의 볼록한 부분집합을 형성한다.

랜덤 변수의 등가성

랜덤 변수가 등가라고 볼 수 있는 여러 가지 다른 감각들이 있다. 두 개의 랜덤 변수는 분포에서 같거나 거의 확실하거나 같을 수 있다.

강도의 증가 순서에서 이러한 동등성의 개념에 대한 정확한 정의는 다음과 같다.

분포의 평등

표본 공간이 실제 선의 부분 집합인 경우 랜덤 변수 X와 Y는 분포에서 동일하다(표시된 $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\daystyle X{{d}{d}{}}}Y$

${\displaystyle \operatorname {P}(X\leq x)=\operatorname {P}(Y\leq x)\quad {\text{\text{모든 }}$

분포가 같기 위해서는 동일한 확률 공간에서 랜덤 변수를 정의할 필요가 없다. 모멘트 생성 함수가 동일한 두 랜덤 변수는 동일한 분포를 가진다. 예를 들어, 이것은 독립적이고 동일한 분포의 무작위 변수의 특정 함수의 동일성을 확인하는 유용한 방법을 제공한다. 그러나 모멘트 생성 함수는 정의된 라플라스 변환이 있는 분포에 대해서만 존재한다.

거의 확실한 평등

두 개의 랜덤 변수 X와 Y는 거의 확실하다($표시$된${\displaystyle \stackrel{}{}}$X = ${\displaystyle \stackrel{}{\text{.s).}}}$${\displaystyle$$}}{=}}\;$$Y}$)이(가) 다를 확률은 0일 경우에만:

${\displaystyle \operatorname {P}(X\neq Y)=0.}$

확률 이론의 모든 실제적인 목적에서, 이 동등성의 개념은 실제 평등만큼 강하다. 다음과 같은 거리와 관련된다.

${\displaystyle d_{\infit }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup_{\omega }X(\omega )-Y(\omega )}$

여기서 "에스수프"는 측정 이론의 개념에서 필수적인 우월성을 나타낸다.

평등

마지막으로, 두 변수의 X와 Y는 측정할 수 있는 공간의 함수로 동일하다면 동일하다.

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad{\hbox{{}모든 }}$

이 개념은 일반적으로 확률 이론에서 가장 덜 유용하다. 왜냐하면 실제와 이론에서, 실험의 기초적인 측정 공간은 거의 명시적으로 특징지어지거나 심지어 특징지어질 수 없기 때문이다.

수렴

수학적 통계에서 중요한 테마는 예를 들어 대수의 법칙과 중심 한계 정리 등 특정 변수의 시퀀스에 대한 수렴 결과를 얻는 것으로 구성된다.

랜덤 변수의$$ 시퀀스 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle$X_${n$}가 랜덤 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 수렴할 수 있는 다양한 감각이 있다$.$ 이것들은 무작위 변수의 수렴에 관한 글에서 설명된다.

참고 항목

참조

인라인 인용구

문학

외부 링크

• "Random variable", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), arXiv:1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)