유클리드 공간에서의 이소메트리 활용에 관한 연구

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집단에서 h의 g에 의한 결합은 ghg이다⁻¹.

번역

h가 번역인 경우, 등계측정에 의한 그것의 결합은 등계측정을 번역에 적용하는 것으로 설명될 수 있다.

• 번역에 의한 번역의 활용은 제1번역이다.
• 회전에 의한 번역의 활용은 회전된 번역 벡터에 의한 번역이다.
• 반사에 의한 번역의 활용은 반사된 번역 벡터에 의한 번역이다.

따라서 번역의 유클리드 그룹 E(n) 내의 결합 클래스는 동일한 거리에 의한 모든 번역의 집합이다.

주어진 거리에 의한 모든 번역을 포함하는 유클리드 그룹의 가장 작은 부분군은 모든 번역의 집합이다.자, 이것이 번역이 들어 있는 싱글톤에 대한 결합 폐쇄 입니다.

따라서 E(n)는 직교 그룹 O(n)와 번역 T의 하위 그룹의 직접적인 산물이며, O(n)는 E(n)의 지수 그룹과 T:

O(n) $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$(n) / T

따라서 유클리드 집단의 칸막이는 각 부분집합에서 기원을 고정하는 등위계와 모든 번역과의 결합을 가지고 있다.

각 등각도는 O(n)의 직교 행렬 A와 벡터 b에 의해 주어진다.

$Ax+b}$

그리고 지수 그룹의 각 부분 집합은 매트릭스 A에 의해서만 주어진다.

마찬가지로, 특수 직교 그룹 SO(n)의 경우

SO(n) $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$⁺(n) / T

반전

번역에 의한 점에서의 역행의 결합은 번역점등의 역행이다.

따라서 한 점의 반전 그룹 E(n) 내의 결합 등급은 모든 점의 반전 집합이다.

두 개의 반전 조합은 번역이므로, 한 점에 반전을 포함하는 단일톤의 결합 폐쇄는 모든 번역과 모든 점에서의 반전의 집합이다.이것은 일반화된 이음계 그룹 dih(Rⁿ)이다.

이와 유사하게 { I, -I }은(는) O(n)의 정상적인 부분군이며, 다음이 있다.

E(n) / dih(Rⁿ) $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ $O$(n) / { I, -I }

홀수 n의 경우 다음 사항도 있다.

O(n) $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ SO$$(n) × { I, -I }

그리고 따라서 뿐만 아니라

O(n) / SO(n) $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ $${ I, -I }

다음 항목도 포함:

O(n) / { I, -I } $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ SO$$(n)

단, 다음 중 하나를 선택하십시오.

E⁺(n) / dih(Rⁿ) $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ SO$$(n) / { I, -I }

회전

3D에서 축에 대한 회전의 번역에 의한 결합은 변환된 축에 대한 해당 회전이다.그러한 결합은 샤슬스의 정리에 따라 임의의 유클리드 운동을 표현하는 것으로 알려진 변위를 발생시킨다.

축에 대한 회전의 유클리드 그룹 E(3) 내의 결합 등급은 어떤 축에 대해서도 동일한 각도에 의한 회전을 말한다.

3D 회전을 포함하는 싱글톤의 결합 폐쇄는 E(3⁺)이다.

2D에서는 k-폴드 회전의 경우 다르다. 즉, 공극 폐쇄는 모든 번역과 결합된 k-회전(정체성 포함)을 포함한다.

E(2)는 O(2) / C를_k 가지며⁺, E(2)는 SO(2) / C를_k 가진다. k = 2의 경우 이는 이미 위에서 다루었다.

반성하다.

반사의 결합체는 변환, 회전 및 반사 미러 면과의 반사이다.반사를 포함하는 단일톤의 결합 폐쇄는 전체 E(n)이다.

로토레선택

수직 축에 대해 주어진 각도에 의한 회전과 결합된 평면의 반사 왼쪽 및 오른쪽 코세트는 동일 또는 평행 평면에 있는 반사와의 모든 조합의 집합이며, 동일 또는 평행 축에 대하여 동일한 각도에 의한 회전과 결합되어 방향을 보존한다.

등축군

한 그룹의 모든 원소를 다른 그룹의 모든 원소의 해당 원소의 결합 변환을 통해 결합을 얻음으로써 한 그룹의 모든 원소를 얻을 수 있는 결합 변환이 있는 경우, 두 이등계 그룹은 결합 변환과 관련하여 결합과 동등하다고 한다.이는 예를 들어 특정 벽지 그룹 유형인 두 패턴의 대칭 그룹에 적용된다.만약 우리가 등각도에 관한 결합을 고려한다면, 우리는 스케일링을 허용하지 않을 것이고, 평행사변형 격자의 경우 평행사변형의 형태변화를 허용하지 않을 것이다.단, 부피(2D: 면적)와 방향은 보존되지만 등측도의 부착 변형과 관련된 결합은 일반적으로 등측도가 아니다.

순환군

순환군은 아벨리아어이므로 모든 원소의 모든 원소에 의한 결합은 후자다.

$Z$_mnn / Z_m $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$ Z.

Z는_mn m과 n이 동일시되는 경우에만_m Z와_n Z의 직접적인 산물이다.따라서 예를 들어 Z는₁₂ Z와₃ Z의₄ 직접적인 산물이지만 Z와₆ Z의₂ 직접적인 산물은 아니다.

디헤드랄군

2D 등각점 그룹 D를_n 고려한다.회전의 결합체는 동일하고 역회전이다.반사의 결합체는 전체 회전 단위의 배수로 회전하는 반사들이다.홀수 n에게 이것들은 모두 반사된 것이며, 심지어 절반도 반사되지 않은 것이다.

이 그룹, 그리고 보다 일반적으로 추상적인 그룹 Dih는_n n 자체를 포함한 n의 모든 divisor m에 대해 정규 부분군_m Z를 가지고 있다.

또한 Dih는_2n Dih와_n 함께 두 개의 정상 부분군 이형성을 가지고 있다.이 두 가지 모두 그룹_n Z를 구성하는 동일한 그룹 요소를 포함하고 있지만 각각 Dih_2n \ Z의_2n 두 가지 결합 등급 중 하나를 추가로 가지고 있다.

사실:

Dih_mn / Z_n $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$Dih$$_n

Dih_2n / Dih_n $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$₂ $}$ Z

Dih_4n+2 $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$Dih_2n+12 × Z