Ising 모델에서 Reducable Markov 체인의 시공

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응용수학에서, 이싱 모델에서 불가해한 마르코프 체인의 구성은 마르코프 체인 몬테 카를로 방법을 사용하여 유한 이싱 모델에 대한 정확한 적합도 시험을 얻을 때 마주치는 연산 장애물을 극복하는 첫 번째 단계다.

Ising 모델은 초기 자기 위상 전환을 연구하기 위해 사용되었고, 현재는 상호 작용 시스템의 가장 유명한 모델 중 하나이다.^[1]

마르코프 기지

Every integer vector ${\displaystyle z\in Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d}}}$, can be uniquely written as ${\displaystyle z=z^{+}-z^{-}}$, where ${\displaystyle z^{+}}$ and ${\displaystyle z^{-}}$ are nonnegative vectors. Ising 모델의 Markov 기준은 다음과 같은 정수 벡터의$$ $Z{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle \stackrel{}{}~}$ Z ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\cdots }^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {N_{}}^{}}$ d ${\$이다.

(i) 모든 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\stackrel{}{}}$~ ${\$ z$\in {\widetilde{Z$에 대해 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}^{}}$+${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}^{}}$- )$${\$displaystyle T_{1$}($z^{+})=$가 있어야 한다.$T_{1}(z^{-})$ 및$$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T_{2}(z^{+})=$$T_{2}(z^{-})}$.

(ii) For any ${\displaystyle a,b\in Z_{>0}}$ and any ${\displaystyle x,y\in S(a,b)}$, there always exist ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}\in {\widetilde {Z}}}$ satisfy

${\displaystyle y=x+\sum _{i=1}^{k}z_{i}}}$

그리고

${\displaystyle x+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)}$

l = 1,...,k에 대해.

$Z{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 요소가 이동된다$$. 그리고 나서 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘을 이용하면, 우리는 주기적이고, 되돌릴 수 있고, 되돌릴 수 없고, 되돌릴 수 없는 마코프 체인을 얻을 수 있다.

P사에서 발행한 논문.디아콘리스와 B.1998년 STURMFELS의 '조건부 분포로부터 샘플링을 위한 Algebraic 알고리즘'은 마르코프 기초를 Ising 모델에서와 같이 대수적으로 정의할 수 있음을 보여준다.

그 다음 P가 발행한 논문에 의해.디아콘리스와 B.1998년 STURMFELS,^[2] $이상적$인 I ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \psi }$ϕ${\displaystyle \varphi }$ $){\displaystyle$ I$:=\ker({\psi }*{\phi }}}}})$에 대한 모든 생성 세트는 Ising 모델의 마르코프 기반이다$$.

불가역 마르코프 체인 건설

$우리$는^[who?] S${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle S (a,b)}$로부터 균일한 샘플을 얻을 수 없으며$$ 부정확한 p-값으로 이어질 수 없다.^[3] 따라서 우리는 이싱 모델에서 불가해한 마르코프 체인을 얻기 위해 논문에서 언급된 알고리즘을 수정하는 방법을 보여줄 것이다.

A simple swap is defined as ${\displaystyle z\in Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d}}}$ of the form ${\displaystyle z=e_{i}-e_{j}}$, where the ${\displaystyle e_{i}}$ is the canonical basis vector of ${\displaystyle z\in Z^{N_{1}\time$$s \cdots \time N_{d}}$간단$$ 스왑은 y의 두 격자 지점의 상태를 변경한다.

Z는 샘플 스왑 세트를 나타낸다. Then two configurations ${\displaystyle y',y\in S(a,b)}$ are ${\displaystyle S(a,b)}$-connected by Z, if there is a path between ${\displaystyle y}$ and ${\displaystyle y'}$ in ${\displaystyle S(a,b)}$ consisting of simple swaps ${\displaystyle z\in Z}$$$, 즉, $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle z_{}}$ k${\displaystyle {}_{}z}$ Z ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}\in$ Z$}$이(가) 존재한다는 것을$$ 의미한다.

${\displaystyle y'=y+\sum _{i=1}^{k}z_{i}}}$

와 함께

${\displaystyle y+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)}$

l = 1,...,k에 대해

알고리즘은 다음과 같이 설명할 수 있다.

(i) 구성 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$( ,${\displaystyle b}$) ${\displaystyle y\in S(a,b)}$에서 Markov 체인으로 시작

(ii) 임의로 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle$ z$\in Z}$을(를$$) ${\displaystyle \mathrm{균일}}$하게${\displaystyle {}^{}}$선택하고${\displaystyle }$y ${\displaystyle +}$ = ${\displaystyle y}$+ z {\$displaystyle$y'=y$+z}$을(를) 두십시오$.$

$($iii) ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ S${\displaystyle }$( a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle y'}$을(를)$수락$하고$,$ $그렇지$ 않으면 y에 남는다.

결과적인 마르코프 체인은 초기 상태를 떠날 수 없지만, 우리가 다음에 소개할 1차원 Ising 모델에는 문제가 발생하지 않는다. 높은 차원에서는 확장된 최소 샘플 공간 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\star }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle S^{\star }(a,b)}$에서 Metropolitan-Hastings 알고리즘을 사용하여 이 문제를 극복할 수 있다.

1차원 Ising 모델에서의 해석불가능성

1차원 Ising 모델에서 재확인이 불가능하다는 것을 증명하기 전에, 우리는 아래에 두 개의 보조정리기를 제시한다.

보조정리 1:1차원 Ising 모델에 $대한$ S${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$) ${\displaystyle S(a,b)}$의 최대 싱글톤 구성은 (연결된 구성 요소의 위치까지) 고유하며, b/2 - 1 단골격과 a/2 + 1 크기의 연결된 구성 요소 1개로 구성된다.

보조정리 2:${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a,b\in$ N$}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="a,b\backslash in\; N"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/63e2736bb029e25500b9815d2619d772ce3ad1d7"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:8.166ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="147">}}$ ${\displaystyle \in }$ S${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle$ y$\in S(a,b$의 경우 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\star }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(,${\displaystyle b}$) ${\displaystyle y^{\star }S(a,b)$가 고유한 최대 단일 톤 구성을 나타내도록$$ 한다. z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$z ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}\in$ Z$}$에 다음과 같은$$ 시퀀스가 있다.

${\displaystyle y^{\star }=y+\sum _{i=1}^{k}z_{i}}}$

그리고

${\displaystyle y+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)}$

l = 1,...,k에 대해

Since ${\displaystyle S^{\star }(a,b)}$ is the smallest expanded sample space, which contains ${\displaystyle S(a,b)}$. And any two configurations in ${\displaystyle S(a,b)}$ can be connected by simple swaps Z without leaving ${\displaystyle S^{\star }(a,b)}$. This 위에 제시된 보조정리법으로 증명할 수 있다. 그래서 우리는 1차원 Ising 모델에 대한 간단한 스왑을 바탕으로 마르코프 체인의 재확인을 받을 수 있다.

결론

1차원 아이싱 모델에 대한 단순한 스왑을 바탕으로 마르코프 체인의 재확정성을 보여주기만 해도 2차원 이상 아이싱 모델과 같은 결론을 얻을 수 있다.

참조