접촉 역학

Contact dynamics

접촉 역학은 일방적 접촉과 마찰에 따른 멀티바디 시스템의 움직임을 다룬다.그러한 시스템은 많은 멀티바디 다이내믹 애플리케이션에서 만능이다.예를 들어 고려하십시오.

  • 차량 동력학에서 휠과 접지 사이의 접점
  • 마찰 유발 진동으로 인한 브레이크 스퀼링
  • 깔때기에 떨어지는 여러 입자의 움직임, 혼합 과정(곡선 매체)
  • 클록웍스
  • 워킹머신
  • 임의의 기계들, 제한적인 정지, 마찰.
  • 해부 조직(피부, 홍채/렌즈, 눈꺼풀/전안경 표면, 관절 카르딜러, 혈관 내피/혈구, 근육/텐돈 등)

아래에서는 일방적 접촉과 마찰이 있는 그러한 기계적 시스템을 모델링할 수 있는 방법과 그러한 시스템의 시간 진화를 수치적 통합을 통해 얻을 수 있는 방법에 대해 논의한다.게다가 몇 가지 예를 들어준다.

모델링.

일방적 접촉과 마찰로 기계 시스템을 모델링하는 두 가지 주요 접근방식은 정규화 접근방식과 부드러운 접근방식이다.다음의 경우, 간단한 예를 이용하여 두 가지 접근법을 도입한다.테이블 위에 미끄러지거나 붙을 수 있는 블록을 고려하십시오(그림 1a 참조).블록의 움직임은 운동 방정식으로 설명되지만 마찰력은 알 수 없다(그림 1b 참조).마찰력을 얻기 위해서는 마찰력을 블록의 관련 속도에 연결하는 별도의 힘 법칙을 명시해야 한다.

그림 1: 테이블 위에 미끄러지거나 붙을 수 있는 블록.그림 a) 모델, 그림 b) 마찰력을 알 수 없는 운동 방정식을 나타낸다.

부드러운 접근 방식

보다 정교한 접근방식은 설정값의 힘 법칙을 사용하여 일방적인 접촉과 마찰로 기계적 시스템을 모델링하는 비매끄러운 접근방식이다.테이블 위에 슬라이딩하거나 붙이는 블록을 다시 생각해 보십시오.Sgn 타입의 관련 설정값 마찰 법칙은 그림 3에 묘사되어 있다.슬라이딩 케이스에 대해서는 마찰력이 주어진다.고착 케이스에 대해서는 마찰력을 설정하여 추가적인 대수적 제약조건에 따라 결정한다.

그림 3: 마찰력에 대한 설정 값 힘 법칙

결론적으로 말하면, 비원활한 접근방식은 필요한 경우 기초적인 수학 구조를 변경하고 일방적인 접촉과 마찰이 있는 기계 시스템에 대한 적절한 기술로 이어진다.수학적 구조의 변화로 인해 영향이 발생할 수 있으며, 위치 및 속도의 시간 진화는 더 이상 매끄러운 것으로 가정할 수 없다.따라서 추가 충격 방정식과 충격 법칙이 정의되어야 한다.변화하는 수학적 구조를 다루기 위해, 설정치 힘 법칙은 일반적으로 불평등이나 포함 문제로 쓰여진다.이러한 불평등/침입에 대한 평가는 일반적으로 선형(또는 비선형) 보완성 문제를 해결하거나, 2차 프로그래밍을 통해 또는 불평등/침입 문제를 자코비 또는 가우스-사이델 기법으로 반복적으로 해결할 수 있는 투영 방정식으로 변환함으로써 이루어진다.비원활한 접근방식은 일방적 접촉과 마찰이 있는 기계 시스템에 새로운 모델링 접근방식을 제공하며, 이는 또한 쌍방향 제약을 받는 고전적 역학 전체를 통합한다.이 접근방식은 고전적 DAE 이론과 연관되어 있으며 강력한 통합 계획으로 이어진다.

수치적 통합

정규화된 모델의 통합은 일반 미분방정식에 대한 표준 경직된 솔버에 의해 수행될 수 있다.그러나 규칙화에 의해 유발되는 진동은 발생할 수 있다.일방적 접촉과 마찰이 있는 기계 시스템의 부드러운 모델을 고려할 때, 두 가지 주요 등급의 통합자가 존재한다. 즉, 사건 주도형 통합자와 이른바 타임 스텝 통합자가 있다.

이벤트 중심 통합업체

사건 주도형 통합자는 미분방정식의 기초 구조가 변하지 않는 움직임의 매끄러운 부분과 이 구조가 변하는 사건이나 소위 전환점(즉, 일방적 접촉이 닫히거나 스틱 슬립 전환이 발생하는 시간)을 구별한다.이러한 전환점에서, 통합을 계속할 수 있는 새로운 기초 수학 구조를 얻기 위해 설정값 힘(및 추가 영향) 법칙을 평가한다.이벤트 중심 통합업체는 매우 정확하지만 접점이 많은 시스템에는 적합하지 않다.

타임스텝 통합업체

타임스텝 통합업체는 접점이 많은 기계 시스템을 위한 전용 수치 체계다.최초의 타임 스텝 통합자는 J.J. 모로에 의해 소개되었다.통합업체는 전환점을 해결하는 것을 목표로 하지 않으며 따라서 응용 분야에 매우 강하다.통합자들이 힘 그 자체가 아닌 접촉 힘의 통합체로 작업하기 때문에, 방법은 충격과 같은 움직임과 충동적인 사건 모두를 처리할 수 있다.단점으로는 타임스텝 통합업체의 정확도가 낮다.이는 전환 지점에서 스텝 크기 미세화를 사용하여 해결할 수 있다.동작의 매끄러운 부분은 더 큰 스텝 사이즈로 처리되며, 고차 통합 방법을 사용하여 통합 순서를 높일 수 있다.

예

이 절에는 일방적 접촉과 마찰이 있는 기계 시스템의 몇 가지 예가 수록되어 있다.그 결과는 타임 스텝 통합자를 사용하는 부드러운 접근법에 의해 얻어졌다.

세밀한 재료

타임스텝 방식은 특히 세분화된 재료의 시뮬레이션에 적합하다.그림 4는 1000개의 디스크를 혼합하는 시뮬레이션을 보여준다.

그림 4: 1,000개의 디스크 혼합

당구.

당구 놀이에서 두 개의 충돌구를 생각해 보라.그림 5a는 두 개의 충돌 구에 대한 스냅샷을 보여주고, 그림 5b는 관련 궤적을 보여준다.

그림 5: a) 스냅샷 b) 두 구의 궤적

오토바이의 휘리

오토바이가 너무 빨리 가속되면 바퀴를 돌게 된다.그림 6은 시뮬레이션의 일부 스냅샷을 보여준다.

그림 6: 오토바이 휘리

딱따구리 장난감의 동작

딱따구리 장난감은 접촉 역학에서 잘 알려진 벤치마크 문제다.장난감은 장대, 장대 지름보다 약간 큰 구멍이 있는 소매, 스프링, 딱따구리 몸통으로 구성되어 있다.작동 중에 딱따구리는 소맷자락에 의해 조절되는 일종의 투구 동작을 하면서 기둥 아래로 움직인다.그림 7은 시뮬레이션의 일부 스냅샷을 보여준다.

그림 7: 딱따구리 장난감 시뮬레이션

시뮬레이션과 시각화는 https://github.com/gabyx/Woodpecker에서 확인할 수 있다.

참고 항목

참조

추가 읽기

  • Acary V. and Brogliato, B.비부활 동력학적 시스템에 대한 수치적 방법기계 및 전자 분야의 응용 프로그램.Springer Verlag, LNACM 35, 하이델베르크, 2008.
  • 브로글리아토 B.매끄럽지 않은 역학.모델, 다이내믹스 및 제어 통신 및 제어 엔지니어링 시리즈 스프링거-버락, 2016년 런던(세 번째 Ed.
  • 드럼라이트, E.와 쉘, D.최대 소산의 원리를 이용한 동적 로보틱 시뮬레이션에서의 접촉 마찰 및 접합 마찰 모델링Springer Tracks in Advanced Robotics: 로봇공학 IX의 알고리즘 기반, 2010
  • 글로커, Ch. Dynamic von Starrkoerpersystemen Mit Reibung und Stoessen, VDI Fortschrittsberichte Mechanicalik/Bruch mechanisk 18/182권.VDI Verlag, Düseldorf, 1995
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  • Morau J.J. 유한자유역학에서의 일방적 접촉과 건조 마찰, 비매끄러운 기계와 응용, CISM 과정과 강의 302권.1988년 윈 스프링거
  • Pfeiffer F, Foerg M, Ulbrich H. 부드러운 멀티바디 역학의 수치적 측면.계산하다. 메서드 응용 프로그램. 메흐. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006
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  • 스터더 C.2008년 등장할 비 매끄러운 동적 시스템, 박사 논문 ETH 취리히, ETH E-Collection의 향상된 타임 스텝 통합
  • 스터더 C.일방적 접촉 및 마찰의 수치 - 비 매끄러운 역학에서의 모델링 및 수치적 시간 통합, 응용 및 계산 역학의 강의 노트, 제47권, 스프링거, 베를린, 하이델베르크, 2009

외부 링크