연속파형변환

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수학에서 연속파형파형변환(CWT)은 파형의 변환과 스케일 파라미터가 연속적으로 변화하도록 하여 신호의 과완성 표현을 제공하는 공식(즉, 비수치적) 도구다.

척도(${\displaystyle a}$)에서 함수 $x{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle x(t)}$을(를)${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$scale R + $∗ {\displaystyle$ a\in \mathb$$${R^{+*}}}$ 및 변환 $값{\displaystyle }$ b${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$in$\mathb$ {$R}}}$의 연속파형 변환은 다음과 같은 적분으로 표현된다$$.

$${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{{\1}{1/2}}\int_{-\\\\\\\\\\\\\not }^{\\notline{\psi}}}}{\frac-b}}}\,dt}$$

여기서 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \psi (t)}$은 시간 영역과 주파수 영역 모두에서 모파(mother wavelet)라고 하는 연속 함수와 오버라인은 복합 결합의 작동을 나타낸다. 어미 파랑의 주요 목적은 어미 파랑의 단순한 번역 및 스케일 버전인 딸 파랑새를 생성하기 위한 원천 기능을 제공하는 것이다. 원래 신호 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x(t)}$을(를) 복구하기 위해 첫 번째 역 연속 파장 변환을 이용할 수 있다$.$

$[\displaystyle x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{ a ^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ {\frac {da}{a^{2}}}}$

${\displaystyle \stackrel{}{\psi }}$~ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {\tilde {\\displaystyle }}}(t)$은 $\psi {\displaystyle (t}$){\$displaystyle \psi(t)}$의 이중 기능이다.

${\displaystyle C_{\psi }=\int_{-\nothy}^{\noth{\frac {{\cHAT{\psi }}}}(\omega){\tilde{\psi }}}}{\omega \\\\\mosta }}}}}}}}$

허용 상수, 여기서 모자는 푸리에 변환 연산자를 의미한다. 때때로 ${\displaystyle \psi \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \psi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\tild {\psi }}=\psi (t)},$ 그러면$$허용 상수가 된다.

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\inflit }^{+\\inflit }{\frac {\\hat {\\\\psi }}}(\오메가)\right ^{{\좌측 \omega \}}}}}{{{{{\좌측 \opega \openega \openega \}}}}}}}}}}}}}$

전통적으로 이 상수는 웨이블렛 허용 상수라고 불린다. 허용 상수가 만족하는 웨이블렛

${\displaystyle 0<C_{\psi }}<\flotty }$

허용 가능한 파랑이라고 불린다. $허용{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 가능한 파장은 issible ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle 0}$) = 0$${\$displaystyle {\hat {\psi$ }}($0)=0$을 의미하므로 허용 파장은 0에 통합되어야 한다. 원래 신호 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x(t)}$을(를) 복구하기 위해 두 번째 역방향 연속 파장 변환을 이용할 수 있다$.$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ da}$

이 역변형은 파장을 다음과 같이 정의해야 함을 암시한다.

$[\displaystyle \property(t)=w(t)\exp(it)}$

$여기$서 w${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ w$(t)}$은 창입니다. 이러한 정의된 파장은 시간 빈도 분석을 인정하기 때문에 분석 파월이라고 할 수 있다. 분석하는 파장은 인정될 필요가 없다.

척도계수

스케일 팩터 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$은(는) 신호를 확장하거나 압축한다$$. 스케일 팩터가 상대적으로 낮으면 신호가 더 수축되어 결과 그래프가 더 상세해진다. 단, 단점은 저축계수가 신호의 전체 지속시간 동안 지속되지 않는다는 점이다. 반면에 스케일 팩터가 높을 때 신호가 확장되므로 결과 그래프가 더 상세하게 표시되지 않는다. 그럼에도 불구하고, 그것은 보통 신호의 전체 지속시간 동안 지속된다.

연속 파장 변환 속성

정의상 연속파울렛 변환은 모파울렛에 의해 생성된 일련의 함수를 가진 입력 데이터 시퀀스의 콘볼루션이다. 콘볼루션은 빠른 FFT(Fast Fourier Transform) 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다. 일반적으로 출력 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle w_{}}$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle X_{w}(a,b)}$은 모파울렛이 복잡한 경우를 제외하고 실제 값 함수다$$. 복잡한 어미 웨이블렛은 연속적인 웨이블렛 변환을 복합적인 가치 함수로 변환시킬 것이다. 연속 파장 변환의 전력 스펙트럼은 ${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle w_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$a ,${\displaystyle b}$) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$로 나타낼 수 있다.$$

웨이브릿 변환의 응용

웨이브릿 변환의 가장 인기 있는 응용 프로그램 중 하나는 이미지 압축이다. 이미지 압축에 웨이블렛 기반 코딩을 사용하는 장점은 기존 기법보다 높은 압축비로 화질을 크게 개선한다는 점이다. 웨이블렛 변환은 복잡한 정보와 패턴을 기본적인 형태로 분해하는 기능이 있기 때문에 음향 처리와 패턴 인식에 흔히 사용되지만, 순간 주파수 추정기로도 제안되어 왔다.^[1] 또한 파월트 변환은 에지 및 코너 검출, 부분 미분방정식 해결, 과도 검출, 필터 설계, 심전도(ECG) 분석, 텍스처 분석, 비즈니스 정보 분석, 걸음걸이 분석 등의 과학 연구 분야에 적용할 수 있다.^[2] 웨이브렛 변환은 뇌전파학(EEG) 데이터 분석에서도 간질증에서 오는 간질성 급증을 식별하기 위해 사용될 수 있다.^[3] 웨이브릿 변환은 산사태의 시계열 해석에도 성공적으로 사용되었다.^[4]

연속파형 변환(CWT)은 진동 신호의 댐핑 비율을 결정하는 데 매우 효율적이다(예: 동적 시스템에서 댐핑 식별). CWT는 또한 신호의 노이즈에 매우 저항적이다.^[5]

참고 항목

• 연속파장
• S 변환
• 시간 빈도 분석

참조

• ^[6]
• A. 그로스만 & J. 몰레, 1984년, 하디 기능을 일정한 형태의 정사각형 통합형 파동으로 분해, Soc. Int. 아, 수학. (SIAM), J. 수학. 분석, 15, 723-736
• 린타오 류와 후체 슈 (2012) "시간주파수 변환의 반전 및 정상화" AMIS 6 No. 1S 페이지 67S-74S.
• Stéphane Mallat, "신호 처리의 웨이브릿 투어" 1999년 2월호, Academical Press, ISBN0-12-466606-X
• 2008년 1월 19일에 본 딩, 젠지운(2008) 시간 빈도 분석 및 웨이블렛 변환
• 폴리카르, 로비(2001) 2008년 1월 19일 Wavelet 튜토리얼
• WaveMetrics(2004), 시간 빈도 분석, 2008년 1월 18일 조사
• 발렌스, 클레멘스(2004) 정말 친절한 웨이블렛 가이드, 2018년 9월 18일 관람]
• Mathematica Continuous Wavelet 변환
• 르왈레, 자크: 2010년 2월 6일 연속 웨이브릿 변환^{[permanent dead link]} 보기