직렬 가속

수학에서 직렬 가속은 직렬의 수렴 속도를 향상시키기 위한 시퀀스 변환의 모음 중 하나이다.직렬 가속 기법은 흔히 수치 해석에 적용되는데, 수치 통합의 속도를 향상시키기 위해 사용된다.예를 들어, 직렬 가속 기법은 특수 기능에 대한 다양한 ID를 얻기 위해 사용될 수 있다.따라서 초기하학 시리즈에 적용된 오일러 변환은 고전적이고 잘 알려진 초기하학 시리즈 정체성의 일부를 제공한다.

정의

시퀀스 지정

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathb{N}}}}}}}$

한계가 있는

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }s_{n}=\ell ,}$

가속 시리즈는 두 번째 순서다.

${\displaystyle S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathb{N}}}}}}$

$that{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$에 원래 순서보다 빠르게$$ 수렴됨

${\displaystyle \lim _{n\to \flt }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}{s_{n}-\}=0.}$

원래 시퀀스가 다른 경우 시퀀스 변환은 앤틸리밋 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$에 대한 외삽법 역할을 한다$.$

원본에서 변환된 시리즈로의 매핑은 (기사 시퀀스 변환에서 정의된 대로) 선형이거나 비선형일 수 있다.일반적으로 비선형 시퀀스 변환은 더 강력한 경향이 있다.

개요

직렬 가속을 위한 두 가지 고전적 기법은 오일러의 직렬^[1] 변환과 쿠머의 직렬 변환이다.^[2]20세기 초 루이스 프라이 리처드슨에 의해 소개되었지만 1722년에 카타히로 다케베에 의해서도 알려져 사용되고 있는 리처드슨 외삽을 포함하여 훨씬 더 빠르게 수렴되고 특수한 경우의 다양한 도구들이 20세기에 개발되었다; 1926년에 알렉산더 에이트켄에 의해서도 소개되었지만 우리나로도 알려져 있는 아이트켄 델타 스퀘어드 공정.18세기 세키 다카카즈에의해 ed; 1956년 피터 윈이 준 엡실론법; 레빈 u-변환법; 그리고 윌프-질베르거-에크하드법 또는 WZ법.

교번 시리즈의 경우, $5{\displaystyle {.828}^{}}$-$$ {\$displaystyle$ 5.$828^{-n}$부터 $17{\displaystyle }$${\displaystyle {\mathrm{.}}^{\mathrm{93}}}$- n ${\displaystyle 17$$.93^{-n$$}$까지의 모든$$ 범위에서$$ 정합률을 제공하는 몇 가지 강력한 기법이 코헨 외 연구진에 의해 설명된다.^[3]

오일러의 변신

향상된 수렴성을 제공하는 선형 시퀀스 변환의 기본적인 예는 오일러의 변환이다.이것은 교대 시리즈에 적용되도록 되어 있으며, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \sum \{n=0}^{n1}a_{n}=\sum _{n=0}^{n=0}^{n1}-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}{2^{n+1}:{n+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 공식을 갖는 전진 차이 연산자다.

${\displaystyle(\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n(-1)^{k}{n \n \선택 k}a_{n-k}.}$

만약 원래의 시리즈가 왼쪽에서 천천히 수렴되고 있다면, 전방 차이는 상당히 빠르게 작아지는 경향이 있을 것이다; 두 개의 추가 파워는 오른쪽이 수렴되는 속도를 더욱 향상시킨다.

오일러 변환의 특히 효율적인 수학적 구현은 판 빈가르덴 변환이다.^[4]

등각 매핑

A 시리즈

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\\flt }a_{n}}}$

f(1)로 기록할 수 있으며, 여기서 함수 f는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\n={n}^{n}a_{n}z^{n}}.}$

함수 f(z)는 복합 평면(지점 특이점, 극 또는 필수 특이점)에서 특이점을 가질 수 있으며, 이는 연속체의 수렴 반경을 제한할 수 있다.점 z = 1이 수렴 원반의 경계나 근접한 경우, S에 대한 시리즈는 매우 천천히 수렴한다.그런 다음, z = 1로 매핑된 점이 새로운 컨버전스 디스크에서 더 깊게 끝나도록 특이점을 이동하는 정합성 매핑을 통해 시리즈의 컨버전스를 개선할 수 있다.

등정 변환 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \phi }$( w${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $z=\$$Phi$$(w)}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{선택}}$할 필요가$$ 있으며, 일반적으로 φ${\displaystyle }$($0)=0$에서 유한 파생상품이 있는 함수를 w = 0으로 선택한다.$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Phi(1)=1$} 일반성의 손실 없이$$ \Phi(1)를 추정할 수 있다$.$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle \Phi}$을(를) 재정의하기 위해 항상 크기를 조정할 수 있기 때문이다$.$ 그런 다음 기능을 고려한다.

${\displaystyle g(w)=f(\Phi(w))}$

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Phi(1)=1$ f(1) = g(1)가 있다.We can obtain the series expansion of g(w) by putting ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ in the series expansion of f(z) because ${\displaystyle \Phi (0)=0}$; the first n terms of the series expansion for f(z) will yield the first n terms of the series expansion for g(w) if ${\displaystyle \Phi '($$0)\neq 0$ 그 시리즈 확장에 w = 1을 넣으면 시리즈가 생성되어 수렴하면 원래 시리즈와 동일한 값으로 수렴된다.

비선형 시퀀스 변환

이러한 비선형 시퀀스 변환의 예로는 Padé 근사치, Shanks 변환 및 Levin형 시퀀스 변환이 있다.

특히 비선형 시퀀스 변환은 예를 들어 섭동 이론에서 발생하는 다이버전트 계열 또는 점증적 계열의 합산을 위한 강력한 수치적 방법을 제공하는 경우가 많으며, 매우 효과적인 외삽법으로 사용될 수 있다.

아이트켄법

단순한 비선형 시퀀스 변환은 Aitken 외삽법 또는 델타 제곱법이다.

${\displaystyle \mathb {A} :S\to S'=\mathb {A}(S)={(s_{n})_{n\in \mathb {N}}}}}}}}}}$

에 의해 정의된.

${\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1}^{2}}:{s_{n+2}-2s_{n+1}+1}s_{n}}}}.}$

이 변환은 일반적으로 천천히 수렴되는 시퀀스의 수렴 속도를 향상시키기 위해 사용된다; 경험적으로 절대 오차 중 가장 큰 부분을 제거한다.

참고 항목

• 샨크스 변환
• 최소 다항식 외삽법
• 반 빈가르덴 변신

참조

• C. 브레진스키와 M. 레디보 자글리아, 외삽법. 1991년 노스홀랜드의 이론과 실천.
• G. A. 베이커 주니어, P. 그레이브스 모리스, 파데 근시먼츠, 1996년 캠브리지 U.P.
• Weisstein, Eric W. "Convergence Improvement". MathWorld.
• 허버트 H.H.Homeier:Scalar Levin-Type 순서 Transformations면 필기장 전산 및 응용 수학의, vol. 122, 안돼. 1–2, p81(2000년).Homeier, H.H.H.(2000년)."Scalar Levin-type 순서 변화".필기장 전산 및 응용 수학의.122:81.arXiv:math/0005209.Bibcode:2000JCoAM.122...81H.doi:10.1016(00)00359-9., arXiv:math/0005209.
• Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela : "Aitken 프로세스, Shanks 변환, $the{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ -algorithm$$, 관련 고정 포인트 방법의 발생 및 초기 개발", 수치 알고리즘, Vol.80, No.1, (2019), pp.11-13.3.33.
• Delahaye J. P. : 베를린 스프링거-베를라크, ISBN 978-3540152835 (1988)
• Sidi Avram : "애플리케이션을 이용한 벡터 외삽법", SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9(2017).
• Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michaela 및 Saad Yousef : "상크 시퀀스 변환 및 앤더슨 가속", Vol.60, No.3(2018), pp.646–669. doi:10.11337/17M1120725.
• Brezinski Claude : "Peter Wynn의 재발견", 수치 알고리즘, Vol.80 (2019), pp.5-10.
• Brezinski Claude와 Redivo-Zaglia Michaela : "Extracolation and Rational Nearimation", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7(2020).

외부 링크

• 직렬의 수렴 가속도
• GNU 과학 라이브러리, 시리즈 가속
• 디지털 수학적 기능 라이브러리