볼록스 선호도

경제학에서 볼록한 선호도는 일반적으로 소비되는 다양한 상품의 양과 관련하여 "평균이 극한보다 낫다"는 속성을 가진 개인의 다양한 결과의 순서다. 이 개념은 효용 함수를 요구하지 않고 한계 효용을 감소시키는 개념에 대략 해당한다.

표기법

실제 숫자에 대한$$ 주문 관계보다 크거나 같은 값인$\$ {\$displaystyle \geq }$과 비교할 때, 아래의$$ 표기법 $⪰{\displaystyle }$ ${\displaystyle \succeq }$은(선호도 만족도에서) '이상'으로 번역할 수 있다.

마찬가지로 $\succ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \such }$은(는) '보다 완전히 낫다'(선호 만족도에서)로 번역할$$ 수 있고$,{\displaystyle }$ 마찬가지로 ~ ${\displaystyle \sim }$도 '과 동등하다'(선호 만족도에서)로 번역할$$ 수 있다.

정의

x, y, z를 사용하여 세 가지 소비 번들(다양한 수량의 다양한 상품의 조합)을 나타낸다. 공식적으로 소비 세트 X에 대한$$ 선호 관계 {${\displaystyle \succeq }$을(를) 볼록스라고 한다.

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,z\in X}$ $여기$서 y ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\succeq$ $x$$}$ 및$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\succeq$ x$\},$

그리고 모든${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y}$+ (${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ⪰}$ x ${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\\ceq$ x$}$.

즉, 각각 적어도 세 번째 번들만큼 좋은 것으로 간주되는 두 번들에 대해, 두 번들의 가중 평균은 적어도 세 번째 번들만큼 좋은 것으로 간주된다.

선호 관계 $⪰{\displaystyle }$ ${\displaystyle \succeq }$은(는) 엄격히 볼록(bolfx)이라고 한다$$.

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,z\in X}$ $여기$서 y ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\succeq$ x$\},$ z ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\succeq x$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystystyley y\neq z$

및 ${\displaystyle \mathrm{모든}}\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$에 대해$:$

$\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\based x}$

즉, 각각 적어도 세 번째 번들만큼 좋다고 간주되는 두 개의 구별되는 번들에 대해, 두 번들(각 번들의 양의 양)의 가중 평균은 세 번째 번들보다 엄격하게 더 나은 것으로 간주된다.^[1][2]

대체 정의

x와 y를 사용하여 두 개의 소모품 번들을 표시하십시오. 선호 관계 $⪰{\displaystyle }$ ${\displaystyle \succeq }$을(를) 볼록스라고 한다.

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}($$여기$서 y${\displaystyle x}$ x {\$displaystyle y\succeq x})$

그리고 모든${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y}$+ (${\displaystyle }$1 -${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle x}$ x${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\\ceq$ x$}$.

즉, 번들 y가 번들 x보다 선호되는 경우, y와 x를 함께 사용하는 것이 여전히 x보다 선호된다.^[3]

선호 관계는 엄격히 볼록하다고 한다.

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$,y\in X}$ 여기서$$ $y{\displaystyle }$ ~${\displaystyle }$x ${\displaystyle$ y$\$$sim x}$및 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaysty$ x\$neq y$

및 ${\displaystyle \mathrm{모든}}\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$에 대해$:$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y}$+ (${\displaystyle }$1 -${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle x}$ x${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \theta$ y$+(1-\theta )x\\ x}$.

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y}$+ (${\displaystyle }$1 -${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \succ }$ y ${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\\ y}$.

즉, 동등하다고 간주되는 두 묶음의 가중 평균이 이러한 각 묶음보다 낫다.^[4]

예

1. 하나의 상품 유형만 있는 경우, 약하게 단조롭게 증가하는 선호 관계는 볼록하다. 이는 y${\displaystyle }y{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\geq$ $x$$\}$일 경우 y와 ס의 모든 가중 평균도 $\ge {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \geq$ x$}$이기 때문이다$.$

2. 1과 2의 상품 유형을 가진 경제를 고려하라. 다음 Lontief 유틸리티 함수로 대표되는 선호 관계를 고려하십시오.

${\displaystyle u(x_{1},x_{2}=\min(x_{1},x_{2})}$

이 선호 관계는 볼록하다. Proof: suppose x and y are two equivalent bundles, i.e. ${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})=\min(y_{1},y_{2})}$. If the minimum-quantity commodity in both bundles is the same (e.g. commodity 1), then this implies ${\displaystyle x_{1}=y_{1}\leq x_{$$2},y_{2}}$. Then, any weighted average also has the same amount of commodity 1, so any weighted average is equivalent to ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$. If the minimum commodity in each bundle is different (e.g. ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ but ${\displaystyle y_{1}\$$geq y_{2$}}$$}),$$ 그러면 이것은 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$= y ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$를 암시한다$.$ Then ${\displaystyle \theta x_{1}+(1-\theta )y_{1}\geq x_{1}}$ and ${\displaystyle \theta x_{2}+(1-\theta )y_{2}\geq y_{2}}$, so ${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\succeq x,y}$. 이 선호 관계는 볼록하지만, 엄격하게 콘벡스는 아니다.

3. 선형 효용 함수로 대표되는 선호 관계는 볼록하지만 엄격히 볼록하지는 않다. $x{\displaystyle }$~ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\sim y$ $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,y}$의 모든 볼록 조합은 그 중 어느 것과도 동등하다$$.

4. 다음과 같이 대표되는 선호 관계를 고려한다.

${\displaystyle u(x_{1},x_{2}=\max(x_{1},x_{2})}$

이 선호 관계는 볼록하지 않다. $증명{\displaystyle }$: $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 5}$) ${\displaystyle x=(3,5)}$ 및 $y$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle y=(5,3$ 그러면 x${\displaystyle }$~ y ${\displaystyle x\sim y}$ 둘 다 유틸리티 5가 있으므로$$. ${\displaystyle \mathrm{그러나}}$볼록 조합 0.5 ${\displaystyle x}$+${\displaystyle 0}$.5 ${\displaystyle y}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle 0.5x+0.5y=(4,$4)는 효용성이 4이므로 둘 다보다 나쁘다$$.

무관심 곡선 및 효용 함수와의 관계

볼록한 모양의 무관심 곡선 세트는 볼록한 선호도를 나타낸다. 모두 똑같이 원하는 것으로 보이는 (두 개 이상의 상품) 묶음 세트를 포함하는 볼록한 무관심 곡선으로 볼 때, 무관심 곡선에 있는 상품 묶음 세트는 볼록한 세트다.

관련 볼록한 무관심 매핑이 있는 볼록스 선호도는 선호도 분석에 필요하지 않지만 준 콘카브 효용 함수에서 발생한다.

참고 항목

• 볼록함수
• 레벨 세트
• 준콘벡스 함수
• 반연속함수
• 샤플리-폴크만 보조정리

참조