러더퍼드 산란

러더포드 산란은 쿨롱 상호작용에 의해 충전된 입자의 탄성 산란이다. 1911년^[1] 어니스트 러더포드가 설명한 물리적 현상으로 원자의 행성 러더포드 모델과 결국 보어 모델의 개발을 이끈 것이다. 러더포드 산란은 정전기(쿨롱브) 전위에만 의존하고 있으며 입자 사이의 최소 거리는 전적으로 이 전위에 의해 설정되기 때문에 처음에는 쿨롱 산란이라고 불렸다. 황금핵에 대한 알파 입자의 고전적 러더포드 산란 과정은 알파 입자도 금핵도 내부적으로 흥분하지 않기 때문에 '탄성 산란'의 한 예다. 러더포드 공식(아래 참조)은 거대한 표적핵의 반동 운동 에너지를 더욱 소홀히 한다.

초기 발견은 1909년 한스 가이거와 어니스트 마스덴이 러더포드와 협력하여 금박 실험을 했을 때 이루어졌는데, 이 실험에서 몇 개의 원자 두께의 금잎의 포일에 알파 입자(헬리움 핵)를 발사하였다. 실험 당시 원자는 자두 푸딩(J. J. 톰슨이 제안한 대로)과 유사하다고 생각되었는데, 음전하를 띤 전자(자두)가 양의 구면 매트릭스(푸딩)에 걸쳐 박혀 있었다. 만일 매실 퍼딩 모델이 정확하다면, 농축핵의 정확한 모델보다 더 넓게 퍼져 있는 양의 '퍼딩'은 이렇게 큰 쿨롱의 힘을 발휘할 수 없을 것이며, 알파 입자는 통과할 때 작은 각도로만 비껴야 한다.

그러나 흥미로운 결과는 2000년에 약 1개의 알파 입자가 매우 큰 각도(90° 이상)로 꺾인 반면 나머지는 거의 굴절되지 않은 채 통과했다는 것을 보여주었다. 이를 통해 러더포드는 질량의 대다수가 전자로 둘러싸인 1분 양전하 영역(핵)에 집중되어 있다고 결론지었다. (양) 알파 입자가 핵에 충분히 근접했을 때, 높은 각도에서 반동할 수 있을 정도로 강하게 반발되었다. 핵의 작은 크기는 이런 식으로 퇴치되는 소수의 알파 입자를 설명하였다. 러더포드는 아래에 요약된 방법을 사용하여 핵의 크기가 약 10m⁻¹⁴ 미만임을 보여주었다(이 크기보다 얼마나 적은지, 러더포드는 이 실험만으로 알 수 없었다; 이 가능한 가장 낮은 크기의 문제에 대해 아래를 더 보라). 시각적 예로서, 그림 1은 구름실 기체에서 핵에 의한 알파 입자의 편향을 보여준다.

러더포드 산란은 현재 러더포드 백스캐터링이라는 분석 기법으로 재료과학계에 의해 이용되고 있다.

파생

미분 단면은 중심 전위와 상호작용하는 입자의 운동 방정식에서 도출될 수 있다. 일반적으로 중심적인 힘 아래에서 상호작용하는 두 개의 입자를 설명하는 운동 방정식은 질량의 중심과 서로 상대적인 입자의 운동으로 분리될 수 있다. 러더포드의 실험에서처럼 가벼운 알파 입자가 중핵에서 산란하는 경우, 감소된 질량은 본질적으로 알파 입자의 질량이며, 그것이 산란하는 핵은 본질적으로 실험실 프레임에 고정되어 있다.

표적$$(스캐터러${\displaystyle )}$에 좌표계$($ ,$display ){\displaystyle$(r$,\$theta )}의 원점을 사용하여 Binet 방정식으로 대체하면 다음과 같은 궤적의 방정식이 산출된다.

${\dplaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-{\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}:{4\pi \epsilon _{0}mv_{0}^{2}b^{2}}}}}=-\appa ,}},}$

어디에 ux.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-.무한원 Parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/r, v0은 속도, 그리고 b은 충격 변수이다.

위의 미분 방정식의 일반적인 해법은

$\displaystyle u=u_{0}\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)-\kappa ,}$

그리고 경계조건은

${\displaystyle u\to 0\text{and}\data r\sin \to b\to b\text{as}\theta \to \pi.}$

이러한 경계 조건을 사용하여 u → 0 방정식을 푸는 방법:

${\displaystyle {\frac {sin\pi }{b}=u_{0}cos(\pi -\theta _{0}-\appa .})$

그리고 그 경계조건을 이용한 파생상품 du/du → -1/b

${\displaystyle {du}{d\theta}}=-u_{0}sin(\pi -\theta _{0})={\frac {cos(\pi )}{b}}}}}}}$

우리는 얻을 수 있다.

${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}+\arctan b\kappa .}$

충돌 후 편향각 θ에서 $u{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle u\to.}$:

${\displaystyle 0=u_{0}코스(\)세타 -\theta _{0}-\kappa }$

그러면 편향각 θ은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Theta &=2\theta _{0}-\pi =2\arctan b\cappa \\\&=2\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}:{4\pi \epsilon _{0}mv_{0}^{0}^{2}b}}.\end{정렬}}}$

b는 줄 수 있다

${\displaystyle b={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}:{4\pi \epsilon_{0}mv_{0}^{0}}}}}}\cot {\frac {\\\\\\\\\세타 }{2}.}$

이 결과에서 산란 단면을 찾으려면 해당 단면의 정의를 고려하십시오.

${\d\sigma}{d\sigma}{d\Oomega}}}{\frac {{\hbox{number of Parts angle로 흩어진 입자 수{\d\Oomega{\hbox{단위시간당}}{\hbox{incent intensity}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

쿨롱 전위와 들어오는 입자의 초기 운동 에너지를 감안할 때 산란 각도 angle은 충격 매개변수 b에 의해 고유하게 결정된다. 따라서 θ과 θ + D between 사이의 각도로 흩어진 입자의 수는 b와 b + db 사이에 관련된 충격 파라미터를 가진 입자의 수와 같아야 한다. 사건 강도 I의 경우, 이는 다음과 같은 평등을 의미한다.

${\displaystyle 2\pi Ib\left db\right =I{\frac {d\sigma}{d\Oomega}}d\Oomega }}$

쿨롱 전위의 경우와 같이 방사상 대칭 산란 전위의 경우, DΩ = 2 2 sin Dθ, 산란 단면에 대한 식을 산출한다.

${\d\sigma}{d\sigma}{d\Oomega}}={\frac {b}{\sin {\\\세타 }}}\왼쪽 {\frac {db}{d\세타 }}\오른쪽 }$

충격 매개변수 B(RCM)에 대해 이전에 파생된 식을 연결하면 러더포드 차동 산란 단면을 찾을 수 있다.

${\d\sigma}{d\sigma }{d\Oomega }}=\좌측({\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}:{8\pi \epsilon _{0}mv_{0}^{0}}}}}}\right)^{2}{4}{\c^{\frac {\frac {\c}세타 }{2}.}$

이와 같은 결과는 다음과 같이 대안으로 표현할 수 있다.

${\디스플레이 스타일 {\frac {d\sigma}{d\Oomega}}=\왼쪽({\frac {Z_{1}Z_{2}\알파(\hbar c)}{4}E_{\mathrm {K}\sin ^{2}{\frac {\\세타 }{2}}:}\오른쪽)^{2}}$

여기서 α ≈ 1/137은 치수 없는 미세구조 상수, E는_K MeV에서 입자의 비상대적 운동에너지로, ħc ≈ 197 MeV·fm이다.

최대 핵 크기 계산 세부 정보

알파 입자와 핵(충격 매개변수 0) 사이의 정면 충돌의 경우 알파 입자의 모든 운동에너지를 전위 에너지로 바꾸고 입자는 정지한다. 이 지점에서 알파 입자의 중심에서 핵(r_min)의 중심까지의 거리는 산란 과정이 위에서 주어진 단면 공식에 준하는 것이 실험을 통해 명백하다면 핵 반경의 상한이다.

알파 입자와 핵에 대한 전하 사이에 역제곱법을 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있다. 가정: 1. 그 시스템에 작용하는 외부 힘은 없다. 따라서 시스템의 총 에너지(K.E.+P.E.)는 일정하다. 2. 처음에 알파 입자는 핵으로부터 매우 큰 거리에 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}:^{2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}\cdot {\frac {q_{1}q_{2}}:{r_{\text{min}}}}}}}}}}}}}}$

재배열:

${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {1}{4\pi \epsilon_{0}}\cdot {\frac {2q_{1}q_{2}}:{frap^{2}}:}$

알파 입자의 경우:

• m(질량) = 6.64424×10⁻²⁷ kg = 3.7273×10⁹ eV/c²
• q₁ (헬륨의 경우) = 2 × 1.6×10⁻¹⁹ C = 3.2×10⁻¹⁹ C
• q₂ (금) = 79 × 1.6×10⁻¹⁹ C = 1.27×10⁻¹⁷ C
• v(속도) = 2×10⁷ m/s(이 예시)

이를 대체하면 약 2.7×10m⁻¹⁴, 즉 27fm의 값을 얻을 수 있다(실제 반경은 약 7.3fm). 이러한 실험에서는 실제 금반경이 7.3fm일 때 알피스가 핵 중심부의 27fm 이상까지 침투할 수 있는 충분한 에너지를 가지고 있지 않기 때문에 핵의 실제 반경이 회복되지 않는다. 러더포드는 이것을 깨달았고, 또한 1/r 쿨롱 전위로부터의 어떤 힘 이탈을 유발하는 금에 대한 강조의 실제 영향은 고 산란 각도(최소 충격 파라미터)에서의 그의 산란 곡선의 형태를 하이퍼볼라에서 다른 것으로 변화시킬 것이라는 것을 깨달았다. 이것은 보이지 않았으며, 이는 러더포드도 금핵(또는 금과 알파 반경의 합)이 27fm보다 작다는 것을 알도록 금핵의 표면이 '고정'되어 있지 않았음을 나타낸다.

상대론적 입자 및 대상 반동이 있는 상황까지 확장

저에너지 러더포드형 산란을 내적인 스핀을 갖는 상대론적 에너지와 입자로 확장하는 것은 이 글의 범위를 벗어난다. 예를 들어 양성자로부터 전자가 산란하는 것을 모트 산란(Mott)으로 설명하는데,^[2] 비-상대성 전자에 대해서는 러더포드 공식으로 감소하는 단면을 가지고 있다. 어떤 경우에도 에너지와 운동량을 보존해야 하기 때문에 빔이나 표적 입자의 내부 에너지 소모가 발생하지 않으면 그 과정을 "탄성 산란"이라고 한다. 충돌로 인해 한 성분이나 다른 성분이 흥분하거나 상호작용에서 새로운 입자가 생성되면 그 과정은 "탄성 산란"이라고 한다.

참고 항목

• 러더퍼드 백스캐터링 분광법

참조

교과서

• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002). Classical Mechanics (third ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.

외부 링크

• E. 러더포드, 물질에 의한 α 및 β 입자의 산란과 원자의 구조, 철학적 잡지. 시리즈 6권 21. 1911년 5월
• Geiger, H.; Marsden, E. (1909). "On a Diffuse Reflection of the α-Particles". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 82 (557): 495–500. Bibcode:1909RSPSA..82..495G. doi:10.1098/rspa.1909.0054. Archived from the original on January 2, 2008.