비넷 방정식

다음에 대한 시리즈 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}={\frac {d}{dt}(m{\textbf {v})}$ 운동 제2법칙
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공식화 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑기 역학 해밀턴 역학 루스 역학 해밀턴-자코비 방정식 호칭 운동 방정식 콥만-본 노이만 역학
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물리포털 카테고리
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자크 필리프 마리 비넷이 도출한 비넷 방정식은 평면 극좌표에서 궤도운동의 형상을 볼 때 중심력의 형태를 제공한다.이 방정식은 또한 주어진 힘 법칙에 대한 궤도의 모양을 도출하는 데 사용될 수 있지만, 이것은 보통 2차 비선형 일반 미분 방정식의 해법과 관련된다.힘의 중심에 대한 원형의 움직임의 경우에는 독특한 해결이 불가능하다.

방정식

궤도의 모양은 종종 $\theta {\displaystyle }${\$displaystyle$$r$}의 함수로서$$ 상대 $거리{\displaystyle }$ r$${\displaystyle $\theta}$의 관점에서 편리하게 설명된다.$$ Binet 방정식의 경우 궤도 모양은 $\theta$의 함수로서$$ 역수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle =1}$ / ${\displaystyle r}$${\displaystysty$ $u=1/r}$에 의해 보다 간결하게 설명된다.$\theta$ $\}.$ 특정 각도 운동량을 $h{\displaystyle }$= L${\displaystyle }$/ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h=L/m}$으로 정의하십시오. 여기서$$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은 각도 운동량이고 m ${\displaystyle m}$은 질량이다.다음 섹션에서 도출된 Binet 방정식은 함수 $u{\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$u$(\theta )}$의 측면에서 힘을 준다$.$

${\displaystyle F({u}^{-1}=-mh^{2}u^{2}\왼쪽({\frac {\\mathrm {d}^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$

파생

순수하게 중심적인 힘에 대한 뉴턴의 제2법칙은

${\ddot}-r(r)=m({\dot{r}-r}-r{\dot{\tea }}^{2}).}$

각운동량 보존에는 다음이 필요하다.

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{data}}.}$

시간에 관한$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 파생상품은 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u=1/r}$의 파생상품으로 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{\frac{\mathrm{d}너}{\mathrm{d}\theta}}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{1}{r}}\right){\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta}}=-{\frac{\dot{r}}{r^{2}{\dot{\theta}}}}=-{\frac{\dot{r}}{h}}\\&,{\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}}=-{\frac{1}{h}}{\frac{\mathrm{d}. {\dot{r}}}{\mathrm{d} t}{\frac {d} t}{\mathrm {d}} \t}}} \theta }-{\frac{\dot{\r}}}}}}}}}{h^{{h^{2}}}\end}}}}}}}}}}}\mathrmathrmathrmathrmathrmathrmathrmiss {d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}}}}}$

위의 모든 것을 종합하면, 우리는 에 도착한다.

${\displaystyle F=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$

일반적인 해결책은

$displaystyle \mathrm {\theta =\int_{r_{0}^{r}{\frac {r^}{r^}{$$2m$$L^{2}}}(E-V)-{\frac$ {$1}{r^{2}}}}}} +\\theta _{0}}}}$ 여기서$$ (${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $){\$은 입자의 초기 좌표다$$.

예

케플러 문제

고전적인

역제곱 법칙의 궤도를 계산하는 전통적인 케플러 문제는 미분 방정식의 해법으로서 비넷 방정식에서 읽을 수 있다.

${\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\좌측값\frac {\mathrm {d}{2}u}{\mathrm {d}{d} \the ^{2}}}+우측)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{{2}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv{\text{d}}}0.}$

$만약{\displaystyle }$ 각 {$${\$displaystyle \theta}$을 periapsis에서 측정한다면, (reciprocal) 극좌표로 표현된 궤도에 대한 일반적인 해법은 다음과 같다.

$\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$

위의 극지 방정식은 원추형 단면을 $설명$하며$,$ 원추형 단면(l {\$displaystyle$ $h$^ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= h 2m${\displaystyle }$/${\displaystyle {}^{}k}$ ${\displaystyle$ h$^{2}/\mu$= $h^{2}m/k$ 및 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaysty \$varepsilon $}.$

상대론적

슈바르츠실트 좌표에 대해 도출된 상대론 방정식은^[2]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{{2}}:00}+u={\frac {r_{s}c^{2}}:{2h^{2}}+{{{3r_{s}}}}}{2}}:00}{2}}:00}$

여기서 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(는) 빛의 속도, r ${\displaystyle s_{}}$ ${\$은(는) 슈바르츠실트 반지름이다.그리고 레이스너-노르드스트룀 측정기준은

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\오른쪽)$

여기서 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은 전하가 되고$$ ${\displaystyle {\epsilon \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은 진공 허용률이다.

역 케플러 문제

역 케플러 문제를 고려해보자.어떤 종류의 힘 법칙이 타원의 초점 주위에 비원형 타원형 궤도(또는 더 일반적으로 비원형 원뿔 단면)를 생성하는가?

타원에 대해 위의 극성 방정식의 두 배를 구별하는 것은

${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^2}}=-\barepsilon \cos \theta .}$

그러므로 힘 법칙은 다음과 같다.

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$

예상 역제곱법칙이다.궤도 $h{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle l}$= $[\displaystyle h^{2}/l=\mu }$을(를) $G$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle {또는}_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2/${\displaystyle k_{e}q_{$1}$q_{2$}/$m}$와 같은 물리적 값에 매칭하면 각각 뉴턴의 만유인력 법칙이 재현된다$$.

슈바르츠실트 좌표에 대한 효과적인 힘은^[3]

${\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right)}$.

여기서 두 번째 항은 근막의 각도 이동과 같은 4극 효과에 해당하는 역 사분위수 힘이다(지체된 전위를^[4] 통해서도 얻을 수 있다).

매개변수화된 뉴턴 이후의 형식주의에서 우리는 얻을 것이다.

${\displaystyle F}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle G\frac{}{}}$ M ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( ${\displaystyle 1}$+ (${\displaystyle }$2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2{\beta \frac{}{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}\beta }$) ( ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ r ${\displaystyle {\frac{c}{}}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ F$=-{\frac$ {GM$}{r^{2}}}\1+(2+2$\gamma -\$beta )\왼쪽({\frac${h}}{$rc}}}}\rig}}}}}}$오른쪽$)\}\}.$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$= 1 일반 상대성인 경우$$ ${$ = \$displaystyle \gamma =\beta =1},$ 고전적인 경우$$ $\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \gamma =\beta$= $0}$

코테스 나선형

역입방력 법칙은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}.}$

역큐브 법칙의 궤도의 모양은 Cotes 나선형이라고 알려져 있다.Binet 방정식은 궤도가 방정식에 대한 해법이어야 함을 보여준다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}=Cu.}$

미분 방정식은 케플러 문제의 다른 원뿔 부분과 유사하게 세 종류의 해법이 있다.${\displaystyle \mathrm{C}}$< ${\displaystyle C<1$ $C{\displaystyle }$ = 0 ${\displaystyle$ C$=0$ C${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C=1}$일 때 해결책은 쌍곡선 나선형이다$.$> ${\displaystyle C>1}$일 때 해결책은 Poinsot의 나선형이다.

오프 축 원형 운동

비넷 방정식은 힘의 중심에 대한 순환 운동을 위한 독특한 힘 법칙을 주지는 못하지만, 원의 중심과 힘의 중심이 일치하지 않을 때 이 방정식은 힘 법칙을 제공할 수 있다.예를 들어 힘의 중심을 직접 통과하는 원형 궤도를 생각해 보자.지름 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 원형 궤도에 대한 A (수집) 극 방정식은$$

$D\,u(\theta )=\sec \theta.}$

$u{\displaystyle }${\$displaystyle u}$을(를) 두 번$$ 차별화하고 피타고라스의 아이덴티티를 활용하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$

힘의 법칙은 다음과 같다.

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\왼쪽(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}:{r^{5}}}}}.}$

일반적인 역문제의 해결, 즉 $매력적$인${\displaystyle }$1 / ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 5 ${\$1/$r^{5}$힘$$ 법칙의 궤도를 구성하는 것은 해결과 같기 때문에 상당히 어려운 문제라는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}+u=Cu^{3}}}}}$

2차 비선형 미분 방정식이다.

참고 항목

• 보어-소머펠트 양자화 § 상대성 궤도
• 고전적 중앙력 문제
• 일반상대성
• 일반 상대성에서의 두 신체 문제
• 베르트랑 정리

참조