커플링(확률)

확률론에서 커플링은 주변 분포가 X ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\$displaystyle $Y}$에 해당하는$$ 임의 $벡터{\displaystyle }$ W ${\displaystyle W}$을(를) 생성하여$$ 관련되지 않은 두 개의 랜덤 변수(분산) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$와 $Y{\displaystyle }$ ${\$$displaysty$ Y$}$를 비교할 수 있는 증명 기법이다.속셈으로$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 선택은 일반적으로 독특하지$$ 않으며, "커플링"의 전체 아이디어는 X ${\displaystyle$ X$}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaysty Y}$이(가) 특히 바람직한 방식으로 관련될 수 있도록$$ 그러한 선택을 하는 것이다.

정의

Using the standard formalism of probability, let ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$ be two random variables defined on probability spaces ${\displaystyle (\Omega _{1},F_{1},P_{1})}$ and ${\displaystyle (\Omega _{2},F_{2},P_{2})}$. Then a coupling of ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$ is a new probability space ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ over which there are two random variables ${\displaystyle Y_{1}}$ and ${\displaystyle Y_{2}}$ such that ${\displaystyle Y_{1}}$$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와 동일한 분포를 갖는$$ 반면$$, $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$

${\displaystyle {흥미}_{}}$로운 경우는 $Y{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$}와$$ Y ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}이 독립적이지 않은 경우다.

예

무작위 보행

두 입자 A와 B가 2차원에서 간단한 무작위 보행을 수행한다고 가정해 보자. 그러나 다른 지점에서 시작한다.그들을 커플링하는 가장 간단한 방법은 단지 그들이 함께 걷도록 강요하는 것이다.걸음마다 A가 올라오면 B도 올라가고, A가 왼쪽으로 움직이면 B도 올라간다.따라서, 두 입자 사이의 차이는 고정되어 있다.A에 관한 한 완벽한 무작위 산책을 하고 있는 반면, B는 모방범이다.B는 정반대의 견해, 즉 사실상 원본이고 A는 사본이라는 견해를 가지고 있다.그리고 어떤 의미에서는 그들 둘 다 옳다.즉, 어떤 수학적인 정리, 즉 규칙적인 무작위 걷기를 위한 결과도 A와 B 둘 다에 대해 지탱할 것이다.

이제 좀 더 정교한 예를 들어보자.A는 점(0,0)에서, B는 점(10,10)에서 시작한다고 가정한다.먼저 그들을 커플링하여 수직 방향으로 함께 걷게 한다. 즉, A가 올라가면 B도 같이 걷지만, 수평 방향으로 거울상이다. 즉, A가 왼쪽으로 가면 B가 오른쪽으로 가고 그 반대도 마찬가지다.우리는 A와 B가 동일한 수평 좌표를 가질 때까지 또는 다시 말해서 수직선(5,y)에 있을 때까지 이 결합을 계속한다.만약 그들이 결코 만나지 않는다면, 우리는 영원히 이 과정을 계속한다(하지만 그럴 확률은 0이다).이 이벤트가 끝나면 연결 규칙을 변경한다.우리는 그들이 수평 방향으로 함께 걷게 했지만, 수직 방향으로의 거울 이미지 규칙으로 걷게 했다.우리는 그들이 수직 방향으로도 만날 때까지 이 규칙을 계속하며, 그 때부터 함께 걷게 한다.

이것은 그 어떤 입자도 우리가 한 어떤 것을 "느낌"할 수 없다는 의미에서 결합한 것이다.다른 입자가 그것을 어느 쪽으로든 따라간다는 사실이나, 우리가 연결 규칙을 바꾼 사실이나 우리가 언제 그것을 했는지도 아니다.각 입자는 간단한 무작위 보행을 한다.그럼에도 불구하고, 우리의 연결 규칙은 그들을 거의 확실하게 만나고 그 시점부터 영원히 함께 계속하도록 강요한다.이것은 많은 흥미로운 결과를 증명할 수 있게 해주는데, 그것은 "장기적으로" 그 특정한 결과를 얻기 위해 어디에서 시작했는지는 중요하지 않다는 것이다.

편향된 동전

두 개의 편향된 동전을 가정해 보자. 첫째는 머리가 나올 확률 p, 둘째는 머리가 나올 확률 q > p.직관적으로 두 동전을 같은 횟수만큼 던지면 첫 번째 동전은 두 번째 동전보다 더 적은 헤드를 내야 한다.좀 더 구체적으로, 고정된 k의 경우, 첫 번째 동전이 적어도 k 헤드를 산출할 확률은 두 번째 동전이 적어도 k 헤드를 산출할 확률보다 작아야 한다.그러나 그러한 사실을 증명하는 것은 표준적인 계산 논거로는 어려울 수 있다.^[1]결합은 이 문제를 쉽게 회피한다.

X₁, X₂, ..., X를_n 첫 번째 동전의 연속 플립에서 헤드의 지표 변수가 되게 하라.두 번째 동전의 경우, 다음과 같은 새로운 시퀀스₁₂ Y, Y, ..., Y를_n 정의한다.

• X가_i 1이면 Y = 1이면_i
• X_i = 0이면 Y_i = 1 확률(q - p)/(1 - p)

그러면 Y의_i 순서는 정확히 두 번째 동전으로 만들어진 토스의 확률 분포를 가진다.그러나 Y는_i X에_i 의존하기 때문에 두 동전을 비교해서 던질 수 있다.즉, 어떤 k ≤ n에 대해서도 말이다.

${\displaystyle \Pr(X_{1}+\cdots +X_{n}>k)\leq \Pr(Y_{1}+\cdots +Y_{n}}k).}$

참고 항목

• 코풀라 (확률론)

메모들

참조

• Lindvall, T. (1992). Lectures on the coupling method. New York: Wiley. ISBN 0-471-54025-0.
• Thorisson, H. (2000). Coupling, Stationarity, and Regeneration. New York: Springer.