과거의 커플링

마르코프 체인 몬테카를로(MCMC) 알고리즘 중에서 과거로부터의 결합은 마르코프 체인의 고정된 분포로부터 표본을 추출하는 방법이다.많은 MCMC 알고리즘과는 반대로, 과거의 결합은 원칙적으로 고정된 분포로부터 완벽한 표본을 제공한다.1996년 제임스 프로프와 데이비드 윌슨에 의해 발명되었다.

기본 아이디어

상태 공간 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및 (고유한$$) 고정 분포 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를$)$ 가진$$ 유한 상태 unreducable aperiodic $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \pi$}을$($를) 고려하십시오.$$맵 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle S}$ ${\$$displaystyle \mu }$ $확률{\displaystyle }$ 분포$$ μ {\$displaystyle f:$모든 고정 $s{\displaystyle }$ $to$ ${\displaystyle S}$ $displaystyle s\in S}$에$$대해 이미지 $f{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle f}$이($가$) $상태{\displaystyle }$ $s$ ${\displaystyle s}$로부터 M {\$displaystyle$ M$}$의 전환 확률에 따라 분포하는$$ 속성을 가진$$ $S\to$ S$\}.$ 그러한 확률 분포의 예는 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$s ) ${\displaylor$ f.$e f(s)}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$${\displaystyle \prime }$ {\$displaystyle$ s\$neq$ s$'}$일 때마다 f(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (}$ )${\displaystyle f$$'$s$}$과(와) 독립적이지만 종종 다른 분포를 고려할 가치가 있다$.$이제 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$에 대한 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}${\$displaystyle f_{j}}$를 μ$${\$displaystyle \mu}$에서 추출한 독립$$ 표본으로 삼으십시오$.$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에 따라 임의로 선택되고$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$j}$ 시퀀스 f {\$displaystyle x}$과(우리는 이 $x{\displaystyle }$ ${\}$이(가 어디에서$$ 오는 것인지)에 대해 현재 걱정하지 않는다.그런 $다음{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$f${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle f_{-11}(x)}$도 {$${\$displaystyle \pi$}에 따라 배포된다$.$ ${$ {\$displaystyle$$\$$pi }$은(는) M ${\displaystystyle$ M$$} $-stationary이고$f}의 법칙에 대한 우리의 가정을 정의한다$.$

${\displaystyle F_{j}=f_{-1}\circule f_{-2}\circdots \circdots \circ f_{-j}.}$

그리고 나서 유도에 따라${\displaystyle {}_{}}F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle F_{j}(x)}$도 ${\displaystyle 모든\mathbb{}}$ j${\displaystyle }$n N$${\$displaystyle j\in \mathb {N}$에 $대해{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \pi$}에 따라 배포된다$.$ 자, 여기서 요점을 제시한다.일부 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$대해 지도 ${\displaystyle F_{}}$ ${\$의 이미지가$$ S ${\displaystyle S}$의 단일 요소일$$ 수 있다$.$ 즉, $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F{}_{}}$( y${\displaystyle }$)$$= ${\displaystystyle F_{n}(x$)각 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y\in S}$에 대한 $F_{n}(y$$)\}.$ 따라서 F ${\displaystyle n_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{n}(x)}$을(를) 계산하기 위해$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$에 액세스할 필요가 없다$.$그런 다음 ${\displaystyle 알고리즘}$에는 F ${\displaystyle n_{}}$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{n}(S)}$이(${\displaystyle 가}$) 싱글톤인 것과 같은$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ N ${\$ {$N}}}$을(를) 찾아 해당 싱글톤의 요소를 출력하는 작업이 포함된다.이러한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과(와) 계산 ${\displaystyle F_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 찾는 작업이 비용이 많이 들지 않는$$$$ 양호한 분포 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}의 설계는 항상 명백하지는 않지만 몇 가지 중요한 경우 성공적으로 달성되었다.^[1]

모노톤 케이스

특히$\mu {\displaystyle }$[\$displaystyle \mu }$에 대해 좋은 선택이 있는 마코프 체인의 특별한 등급이 있으며$$, ${\displaystyle \mathrm{F}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}S}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle F_{n}(S) =$1.$$$($여기 ${\displaystyle \cdot }$ $displaysty \cdot }$은 카디널리티를 나타낸다$$.)$S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle S$$}$이$($가$)$ 순서${\displaystyle }${$${\$displaystyle$ $s_{0}$와(와) 함께 부분적으로 순서화된 집합이라고 가정합시다. 이 순서는 ${\displaystyle \mathrm{고유}}$한 최소 $원소{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ s_{0}와$$ 고유 최대 $원소$ s 1$${\${\displaystyle \mathrm{displaystystyle}}$ ${$}을$($${\displaystyle {매\mathrm{}}_{}}$ s${\displaystyle )}$로 만족함$).$$레이스타일 s_{0}\leq s\leq s_{1$ 또한 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$을(를$$) 모노톤 맵 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ S ${\displaystyle f:$$S\to S$ 그렇다면 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle {}_{}S}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F_{n}(S)$= F ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle {}_{}{s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) = F ( 1 ) ${\$displaysty F_{$n}(s_{0})=$인 경우에만$$ F ${\displaystyle n_{}}$ =$$1임을 쉽게 알 수 있다.$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 모노톤이므로$$F_${n}(s_{1}}).$따라서, 이것을 확인하는 것은 오히려 쉬워진다.The algorithm can proceed by choosing ${\displaystyle n:=n_{0}}$ for some constant ${\displaystyle n_{0}}$, sampling the maps ${\displaystyle f_{-1},\dots ,f_{-n}}$, and outputting ${\displaystyle F_{n}(s_{0})}$ if ${\displaystyle F_n(s_0)=F_n(s_1}$${\displaystyle F_{n}(s_{0})=$$F_{n}(s_{1})}$. If ${\displaystyle F_{n}(s_{0})\neq F_{n}(s_{1})}$ the algorithm proceeds by doubling ${\displaystyle n}$ and repeating as necessary until an output is obtained. (But the algorithm does not resample the maps ${\displaystyle f_{-j}}$ which were already sampled;필요한 경우 이전에 샘플링한 지도를 사용한다.)

참조

• Propp, James Gary; Wilson, David Bruce (1996), Proceedings of the Seventh International Conference on Random Structures and Algorithms (Atlanta, GA, 1995), pp. 223–252, MR 1611693
• Propp, James; Wilson, David (1998), "Coupling from the past: a user's guide", Microsurveys in discrete probability (Princeton, NJ, 1997), DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., vol. 41, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 181–192, doi:10.1090/dimacs/041/09, ISBN 9780821808276, MR 1630414, S2CID 2781385